Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovoliun2 Structured version   Unicode version

Theorem ovoliun2 19407
 Description: The Lebesgue outer measure function is countably sub-additive. (This version is a little easier to read, but does not allow infinite values like ovoliun 19406.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t
ovoliun.g
ovoliun.a
ovoliun.v
ovoliun2.t
Assertion
Ref Expression
ovoliun2
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()

Proof of Theorem ovoliun2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.t . . 3
2 ovoliun.g . . 3
3 ovoliun.a . . 3
4 ovoliun.v . . 3
51, 2, 3, 4ovoliun 19406 . 2
6 nnuz 10526 . . . . . . . 8
7 1z 10316 . . . . . . . . 9
87a1i 11 . . . . . . . 8
9 fvex 5745 . . . . . . . . . . 11
10 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . 14
11 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . 15
12 nfcsb1v 3285 . . . . . . . . . . . . . . 15
1311, 12nffv 5738 . . . . . . . . . . . . . 14
14 csbeq1a 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15
1514fveq2d 5735 . . . . . . . . . . . . . 14
1610, 13, 15cbvmpt 4302 . . . . . . . . . . . . 13
172, 16eqtri 2458 . . . . . . . . . . . 12
1817fvmpt2 5815 . . . . . . . . . . 11
199, 18mpan2 654 . . . . . . . . . 10
2019adantl 454 . . . . . . . . 9
214ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . 11
2210nfel1 2584 . . . . . . . . . . . 12
2313nfel1 2584 . . . . . . . . . . . 12
2415eleq1d 2504 . . . . . . . . . . . 12
2522, 23, 24cbvral 2930 . . . . . . . . . . 11
2621, 25sylib 190 . . . . . . . . . 10
2726r19.21bi 2806 . . . . . . . . 9
2820, 27eqeltrd 2512 . . . . . . . 8
296, 8, 28serfre 11357 . . . . . . 7
301feq1i 5588 . . . . . . 7
3129, 30sylibr 205 . . . . . 6
32 frn 5600 . . . . . 6
3331, 32syl 16 . . . . 5
34 1nn 10016 . . . . . . . 8
35 fdm 5598 . . . . . . . . 9
3631, 35syl 16 . . . . . . . 8
3734, 36syl5eleqr 2525 . . . . . . 7
38 ne0i 3636 . . . . . . 7
3937, 38syl 16 . . . . . 6
40 dm0rn0 5089 . . . . . . 7
4140necon3bii 2635 . . . . . 6
4239, 41sylib 190 . . . . 5
43 ovoliun2.t . . . . . . . . 9
441, 43syl5eqelr 2523 . . . . . . . 8
456, 8, 20, 27, 44isumrecl 12554 . . . . . . 7
46 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . 13
4746adantl 454 . . . . . . . . . . . 12
4847, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11
49 simpr 449 . . . . . . . . . . . 12
5049, 6syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . 11
51 simpl 445 . . . . . . . . . . . . 13
5251, 46, 27syl2an 465 . . . . . . . . . . . 12
5352recnd 9119 . . . . . . . . . . 11
5448, 50, 53fsumser 12529 . . . . . . . . . 10
551fveq1i 5732 . . . . . . . . . 10
5654, 55syl6eqr 2488 . . . . . . . . 9
57 fzfid 11317 . . . . . . . . . . 11
58 elfznn 11085 . . . . . . . . . . . . 13
5958ssriv 3354 . . . . . . . . . . . 12
6059a1i 11 . . . . . . . . . . 11
613ralrimiva 2791 . . . . . . . . . . . . . 14
62 nfv 1630 . . . . . . . . . . . . . . 15
63 nfcv 2574 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6412, 63nfss 3343 . . . . . . . . . . . . . . 15
6514sseq1d 3377 . . . . . . . . . . . . . . 15
6662, 64, 65cbvral 2930 . . . . . . . . . . . . . 14
6761, 66sylib 190 . . . . . . . . . . . . 13
6867r19.21bi 2806 . . . . . . . . . . . 12
69 ovolge0 19382 . . . . . . . . . . . 12
7068, 69syl 16 . . . . . . . . . . 11
716, 8, 57, 60, 20, 27, 70, 44isumless 12630 . . . . . . . . . 10
7271adantr 453 . . . . . . . . 9
7356, 72eqbrtrrd 4237 . . . . . . . 8
7473ralrimiva 2791 . . . . . . 7
75 breq2 4219 . . . . . . . . 9
7675ralbidv 2727 . . . . . . . 8
7776rspcev 3054 . . . . . . 7
7845, 74, 77syl2anc 644 . . . . . 6
79 ffn 5594 . . . . . . . . 9
8031, 79syl 16 . . . . . . . 8
81 breq1 4218 . . . . . . . . 9
8281ralrn 5876 . . . . . . . 8
8380, 82syl 16 . . . . . . 7
8483rexbidv 2728 . . . . . 6
8578, 84mpbird 225 . . . . 5
86 supxrre 10911 . . . . 5
8733, 42, 85, 86syl3anc 1185 . . . 4
886, 1, 8, 20, 27, 70, 78isumsup 12632 . . . 4
8987, 88eqtr4d 2473 . . 3
9010, 13, 15cbvsumi 12496 . . 3
9189, 90syl6eqr 2488 . 2
925, 91breqtrd 4239 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601  wral 2707  wrex 2708  cvv 2958  csb 3253   wss 3322  c0 3630  ciun 4095   class class class wbr 4215   cmpt 4269   cdm 4881   crn 4882   wfn 5452  wf 5453  cfv 5457  (class class class)co 6084  csup 7448  cr 8994  cc0 8995  c1 8996   caddc 8998  cxr 9124   clt 9125   cle 9126  cn 10005  cz 10287  cuz 10493  cfz 11048   cseq 11328   cli 12283  csu 12484  covol 19364 This theorem is referenced by:  ovoliunnul  19408  vitalilem5  19509 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-cc 8320  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-pm 7024  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-sup 7449  df-oi 7482  df-card 7831  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-fz 11049  df-fzo 11141  df-fl 11207  df-seq 11329  df-exp 11388  df-hash 11624  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-clim 12287  df-rlim 12288  df-sum 12485  df-ovol 19366
 Copyright terms: Public domain W3C validator