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Theorem ovoliunlem2 18878
Description: Lemma for ovoliun 18880. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ovoliun.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovoliun.h  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
ovoliun.j  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
ovoliun.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovoliun.x1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.x2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, n, B    k, F, n    k, J, n    n, H    ph, k, n    S, k    k, G    T, k    n, G    T, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)    U( k, n)    H( k)

Proof of Theorem ovoliunlem2
Dummy variables  j  m  x  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
21ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
3 iunss 3959 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
42, 3sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  RR )
5 ovolcl 18853 . . 3  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  e.  RR* )
7 ovoliun.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
87adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 ovoliun.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
10 f1of 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  J : NN --> ( NN  X.  NN ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J : NN --> ( NN 
X.  NN ) )
12 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k
)  e.  ( NN 
X.  NN ) )
1311, 12sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  e.  ( NN  X.  NN ) )
14 xp1st 6165 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
16 ffvelrn 5679 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( 1st `  ( J `  k ) )  e.  NN )  ->  ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
178, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
18 reex 8844 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
1918, 18xpex 4817 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
2019inex2 4172 . . . . . . . . 9  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
21 nnex 9768 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
2220, 21elmap 6812 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2317, 22sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
24 xp2nd 6166 . . . . . . . 8  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
2513, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
26 ffvelrn 5679 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( 2nd `  ( J `  k ) )  e.  NN )  ->  (
( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) `
 ( 2nd `  ( J `  k )
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2723, 25, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( J `
 k ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 ovoliun.h . . . . . 6  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
2927, 28fmptd 5700 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
31 ovoliun.u . . . . . 6  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
3230, 31ovolsf 18848 . . . . 5  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
33 frn 5411 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  U 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
3429, 32, 333syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
0 [,)  +oo ) )
35 icossxr 10750 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3634, 35syl6ss 3204 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
37 supxrcl 10649 . . 3  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3836, 37syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
39 ovoliun.r . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
40 ovoliun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4140rpred 10406 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4239, 41readdcld 8878 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR )
4342rexrd 8897 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e. 
RR* )
44 eliun 3925 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  E. n  e.  NN  z  e.  A
)
45 ovoliun.x1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
46453adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
4713adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
48 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
497, 48sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
5020, 21elmap 6812 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  n
) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
52513adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
53 ovolfioo 18843 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( F `  n
) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) ) )
5546, 54mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
56 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  A )
57 rsp 2616 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
z  e.  A  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5855, 56, 57sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
59 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
60 f1ocnv 5501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  `' J :
( NN  X.  NN )
-1-1-onto-> NN )
619, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN )
62 f1of 5488 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) --> NN )
6359, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  `' J : ( NN  X.  NN ) --> NN )
64 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
65 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
66 fovrn 6006 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' J : ( NN 
X.  NN ) --> NN 
/\  n  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( n `' J j )  e.  NN )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
n `' J j )  e.  NN )
68 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( J `  k
)  =  ( J `
 ( n `' J j ) ) )
6968fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( J `  k )
)  =  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
7069fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
7168fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( J `  k )
)  =  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
7270, 71fveq12d 5547 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
73 fvex 5555 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) ) `
 ( 2nd `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) )  e.  _V
7472, 28, 73fvmpt 5618 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n `' J j )  e.  NN  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
7567, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
76 df-ov 5877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n `' J j )  =  ( `' J `  <. n ,  j >.
)
7776fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J `
 ( n `' J j ) )  =  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. )
)
7859, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
79 opelxpi 4737 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> 
<. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
8064, 65, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  <. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
81 f1ocnvfv2 5809 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  /\  <. n ,  j
>.  e.  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
8278, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
8377, 82syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( n `' J j ) )  =  <. n ,  j
>. )
8483fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  <. n ,  j >. )
)
85 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  e. 
_V
86 vex 2804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
8785, 86op1st 6144 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. n ,  j
>. )  =  n
8884, 87syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  n )
8988fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( F `  n ) )
9083fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  <. n ,  j >. )
)
9185, 86op2nd 6145 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. n ,  j
>. )  =  j
9290, 91syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  j )
9389, 92fveq12d 5547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
9475, 93eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
9594fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9695breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  <->  ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z
) )
9794fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9897breq2d 4051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) )
9996, 98anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) )  <->  ( ( 1st `  ( ( F `
 n ) `  j ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) ) )
10099biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
101 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( H `  m
)  =  ( H `
 ( n `' J j ) ) )
102101fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( H `  m )
)  =  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
103102breq1d 4049 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  < 
z ) )
104101fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( H `  m )
)  =  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
105104breq2d 4051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( z  <  ( 2nd `  ( H `  m ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( H `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
106103, 105anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) )  <->  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
107106rspcev 2897 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n `' J
j )  e.  NN  /\  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
10867, 100, 107ee12an 1353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
109108rexlimdva 2680 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
11058, 109mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) )
111110rexlimdv3a 2682 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  z  e.  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
11244, 111syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
113112ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
114 ovolfioo 18843 . . . . 5  |-  ( (
U_ n  e.  NN  A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
1154, 29, 114syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
116113, 115mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
11731ovollb 18854 . . 3  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U_ n  e.  NN  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
11829, 116, 117syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
119 fzfi 11050 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... j )  e. 
Fin
120 elfznn 10835 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( 1 ... j )  ->  w  e.  NN )
121 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( J `  w
)  e.  ( NN 
X.  NN ) )
122 xp1st 6165 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  w )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w
) )  e.  NN )
123 nnre 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  NN  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
124121, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
12511, 120, 124syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
126125ralrimiva 2639 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
127126adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
128 fimaxre3 9719 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x )
129119, 127, 128sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x )
130 fllep1 10949 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
131130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
132125adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
133 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  e.  RR )
134 flcl 10943 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
135134peano2zd 10136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
136135zred 10133 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
137136ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
138 letr 8930 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 1st `  ( J `  w
) )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
139132, 133, 137, 138syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  -> 
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
140131, 139mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  ->  ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
141140ralimdva 2634 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
142141adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
143 ovoliun.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
144 ovoliun.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
145 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ph )
146145, 1sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
147 ovoliun.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
148145, 147sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
149145, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
150145, 40syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
151 ovoliun.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
152145, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
153145, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
154145, 45sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
155 ovoliun.x2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
156145, 155sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
157 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
158135ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  ZZ )
159 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
160143, 144, 146, 148, 149, 150, 151, 31, 28, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 159ovoliunlem1 18877 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
161160expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
162142, 161syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
163162rexlimdva 2680 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
164129, 163mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
165164ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
16629, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
167 ffn 5405 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  U  Fn  NN )
168 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( U `  j )  ->  (
z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
169168ralrn 5684 . . . . 5  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
170166, 167, 1693syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
171165, 170mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
172 supxrleub 10661 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
17336, 43, 172syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
174171, 173mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
1756, 38, 43, 118, 174xrletrd 10509 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    i^i cin 3164    C_ wss 3165   <.cop 3656   U.cuni 3843   U_ciun 3921   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   `'ccnv 4704   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137    ^m cmap 6788   Fincfn 6879   supcsup 7209   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   ZZcz 10040   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798   |_cfl 10940    seq cseq 11062   ^cexp 11120   abscabs 11735   vol *covol 18838
This theorem is referenced by:  ovoliunlem3  18879
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ovol 18840
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