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Theorem ovoliunlem2 18862
Description: Lemma for ovoliun 18864. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ovoliun.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovoliun.h  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
ovoliun.j  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
ovoliun.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovoliun.x1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.x2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, n, B    k, F, n    k, J, n    n, H    ph, k, n    S, k    k, G    T, k    n, G    T, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)    U( k, n)    H( k)

Proof of Theorem ovoliunlem2
Dummy variables  j  m  x  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
21ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
3 iunss 3943 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
42, 3sylibr 203 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  RR )
5 ovolcl 18837 . . 3  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  e.  RR* )
7 ovoliun.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
87adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 ovoliun.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
10 f1of 5472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  J : NN --> ( NN  X.  NN ) )
119, 10syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J : NN --> ( NN 
X.  NN ) )
12 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `  k
)  e.  ( NN 
X.  NN ) )
1311, 12sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  e.  ( NN  X.  NN ) )
14 xp1st 6149 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
16 ffvelrn 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  ( 1st `  ( J `  k ) )  e.  NN )  ->  ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
178, 15, 16syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
18 reex 8828 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
1918, 18xpex 4801 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
2019inex2 4156 . . . . . . . . 9  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
21 nnex 9752 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
2220, 21elmap 6796 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2317, 22sylib 188 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
24 xp2nd 6150 . . . . . . . 8  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
2513, 24syl 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
26 ffvelrn 5663 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( 2nd `  ( J `  k ) )  e.  NN )  ->  (
( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) `
 ( 2nd `  ( J `  k )
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2723, 25, 26syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( J `
 k ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 ovoliun.h . . . . . 6  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
2927, 28fmptd 5684 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2283 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
31 ovoliun.u . . . . . 6  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
3230, 31ovolsf 18832 . . . . 5  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
33 frn 5395 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  U 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
3429, 32, 333syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
0 [,)  +oo ) )
35 icossxr 10734 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3634, 35syl6ss 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
37 supxrcl 10633 . . 3  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3836, 37syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
39 ovoliun.r . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
40 ovoliun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
4140rpred 10390 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
4239, 41readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR )
4342rexrd 8881 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e. 
RR* )
44 eliun 3909 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  E. n  e.  NN  z  e.  A
)
45 ovoliun.x1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
46453adant3 975 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
4713adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
48 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `  n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
497, 48sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
5020, 21elmap 6796 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  n
) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
5149, 50sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
52513adant3 975 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
53 ovolfioo 18827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5447, 52, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( F `  n
) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) ) )
5546, 54mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
56 simp3 957 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  A )
57 rsp 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
z  e.  A  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5855, 56, 57sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
59 simpl1 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
60 f1ocnv 5485 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  `' J :
( NN  X.  NN )
-1-1-onto-> NN )
619, 60syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN )
62 f1of 5472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) --> NN )
6359, 61, 623syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  `' J : ( NN  X.  NN ) --> NN )
64 simpl2 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
65 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
66 fovrn 5990 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( `' J : ( NN 
X.  NN ) --> NN 
/\  n  e.  NN  /\  j  e.  NN )  ->  ( n `' J j )  e.  NN )
6763, 64, 65, 66syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
n `' J j )  e.  NN )
68 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( J `  k
)  =  ( J `
 ( n `' J j ) ) )
6968fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( J `  k )
)  =  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
7069fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
7168fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( J `  k )
)  =  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
7270, 71fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
73 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) ) `
 ( 2nd `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) )  e.  _V
7472, 28, 73fvmpt 5602 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n `' J j )  e.  NN  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
7567, 74syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
76 df-ov 5861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n `' J j )  =  ( `' J `  <. n ,  j >.
)
7776fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J `
 ( n `' J j ) )  =  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. )
)
7859, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
79 opelxpi 4721 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> 
<. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
8064, 65, 79syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  <. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
81 f1ocnvfv2 5793 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  /\  <. n ,  j
>.  e.  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
8278, 80, 81syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
8377, 82syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( n `' J j ) )  =  <. n ,  j
>. )
8483fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  <. n ,  j >. )
)
85 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  e. 
_V
86 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
8785, 86op1st 6128 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. n ,  j
>. )  =  n
8884, 87syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  n )
8988fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( F `  n ) )
9083fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  <. n ,  j >. )
)
9185, 86op2nd 6129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. n ,  j
>. )  =  j
9290, 91syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  j )
9389, 92fveq12d 5531 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
9475, 93eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
9594fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9695breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  <->  ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z
) )
9794fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9897breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) )
9996, 98anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) )  <->  ( ( 1st `  ( ( F `
 n ) `  j ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) ) )
10099biimprd 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
101 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( H `  m
)  =  ( H `
 ( n `' J j ) ) )
102101fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( H `  m )
)  =  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
103102breq1d 4033 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  < 
z ) )
104101fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( H `  m )
)  =  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
105104breq2d 4035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( z  <  ( 2nd `  ( H `  m ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( H `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
106103, 105anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) )  <->  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
107106rspcev 2884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n `' J
j )  e.  NN  /\  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
10867, 100, 107ee12an 1353 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
109108rexlimdva 2667 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
11058, 109mpd 14 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) )
111110rexlimdv3a 2669 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  z  e.  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
11244, 111syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
113112ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
114 ovolfioo 18827 . . . . 5  |-  ( (
U_ n  e.  NN  A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
1154, 29, 114syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
116113, 115mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
11731ovollb 18838 . . 3  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U_ n  e.  NN  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
11829, 116, 117syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
119 fzfi 11034 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... j )  e. 
Fin
120 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( 1 ... j )  ->  w  e.  NN )
121 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( J `  w
)  e.  ( NN 
X.  NN ) )
122 xp1st 6149 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  w )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w
) )  e.  NN )
123 nnre 9753 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  NN  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
124121, 122, 1233syl 18 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
12511, 120, 124syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
126125ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
127126adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
128 fimaxre3 9703 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x )
129119, 127, 128sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x )
130 fllep1 10933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
131130ad2antlr 707 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
132125adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
133 simplr 731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  e.  RR )
134 flcl 10927 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
135134peano2zd 10120 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
136135zred 10117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
137136ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
138 letr 8914 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 1st `  ( J `  w
) )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
139132, 133, 137, 138syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  -> 
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
140131, 139mpan2d 655 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  ->  ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
141140ralimdva 2621 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
142141adantlr 695 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
143 ovoliun.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
144 ovoliun.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
145 simpll 730 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ph )
146145, 1sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
147 ovoliun.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
148145, 147sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
149145, 39syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
150145, 40syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
151 ovoliun.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
152145, 9syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
153145, 7syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
154145, 45sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
155 ovoliun.x2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
156145, 155sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
157 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
158135ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  ZZ )
159 simprr 733 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
160143, 144, 146, 148, 149, 150, 151, 31, 28, 152, 153, 154, 156, 157, 158, 159ovoliunlem1 18861 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
161160expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
162142, 161syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
163162rexlimdva 2667 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
164129, 163mpd 14 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
165164ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
16629, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
167 ffn 5389 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  U  Fn  NN )
168 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( U `  j )  ->  (
z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
169168ralrn 5668 . . . . 5  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
170166, 167, 1693syl 18 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
171165, 170mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
172 supxrleub 10645 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
17336, 43, 172syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
174171, 173mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
1756, 38, 43, 118, 174xrletrd 10493 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643   U.cuni 3827   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   `'ccnv 4688   ran crn 4690    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121    ^m cmap 6772   Fincfn 6863   supcsup 7193   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   ZZcz 10024   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   ...cfz 10782   |_cfl 10924    seq cseq 11046   ^cexp 11104   abscabs 11719   vol *covol 18822
This theorem is referenced by:  ovoliunlem3  18863
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ovol 18824
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