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Theorem ovoliunlem2 19391
Description: Lemma for ovoliun 19393. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
ovoliun.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovoliun.h  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
ovoliun.j  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
ovoliun.f  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovoliun.x1  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
ovoliun.x2  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    A, k    k, n, B    k, F, n    k, J, n    n, H    ph, k, n    S, k    k, G    T, k    n, G    T, n
Allowed substitution hints:    A( n)    S( n)    U( k, n)    H( k)

Proof of Theorem ovoliunlem2
Dummy variables  j  m  x  z  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovoliun.a . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
21ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
3 iunss 4124 . . . 4  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
42, 3sylibr 204 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  RR )
5 ovolcl 19366 . . 3  |-  ( U_ n  e.  NN  A  C_  RR  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  NN  A )  e.  RR* )
64, 5syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  e.  RR* )
7 ovoliun.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
87adantr 452 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
9 ovoliun.j . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
10 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  J : NN --> ( NN  X.  NN ) )
119, 10syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  J : NN --> ( NN 
X.  NN ) )
1211ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( J `
 k )  e.  ( NN  X.  NN ) )
13 xp1st 6368 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  k
) )  e.  NN )
158, 14ffvelrnd 5863 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
16 reex 9073 . . . . . . . . . . 11  |-  RR  e.  _V
1716, 16xpex 4982 . . . . . . . . . 10  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
1817inex2 4337 . . . . . . . . 9  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
19 nnex 9998 . . . . . . . . 9  |-  NN  e.  _V
2018, 19elmap 7034 . . . . . . . 8  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2115, 20sylib 189 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( 1st `  ( J `  k )
) ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
22 xp2nd 6369 . . . . . . . 8  |-  ( ( J `  k )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
2312, 22syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  k
) )  e.  NN )
2421, 23ffvelrnd 5863 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( J `
 k ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
25 ovoliun.h . . . . . 6  |-  H  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) ) )
2624, 25fmptd 5885 . . . . 5  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
27 eqid 2435 . . . . . 6  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
28 ovoliun.u . . . . . 6  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
2927, 28ovolsf 19361 . . . . 5  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
30 frn 5589 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  U 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
3126, 29, 303syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  (
0 [,)  +oo ) )
32 icossxr 10987 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3331, 32syl6ss 3352 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
34 supxrcl 10885 . . 3  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3533, 34syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
36 ovoliun.r . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
37 ovoliun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
3837rpred 10640 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  RR )
3936, 38readdcld 9107 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR )
4039rexrd 9126 . 2  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e. 
RR* )
41 eliun 4089 . . . . . 6  |-  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  <->  E. n  e.  NN  z  e.  A
)
42 ovoliun.x1 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( F `  n ) ) )
43423adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
4413adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A  C_  RR )
457ffvelrnda 5862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
4618, 19elmap 7034 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  n )  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  ( F `  n
) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
4745, 46sylib 189 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( F `
 n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
48473adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
49 ovolfioo 19356 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( F `  n ) : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5044, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( F `  n
) )  <->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) ) )
5143, 50mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  A. z  e.  A  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
52 simp3 959 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  z  e.  A )
53 rsp 2758 . . . . . . . . 9  |-  ( A. z  e.  A  E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
z  e.  A  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) ) ) )
5451, 52, 53sylc 58 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. j  e.  NN  ( ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `  j
) ) ) )
55 simpl1 960 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ph )
56 f1ocnv 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  `' J :
( NN  X.  NN )
-1-1-onto-> NN )
579, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN )
58 f1of 5666 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' J : ( NN 
X.  NN ) -1-1-onto-> NN  ->  `' J : ( NN 
X.  NN ) --> NN )
5955, 57, 583syl 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  `' J : ( NN  X.  NN ) --> NN )
60 simpl2 961 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  n  e.  NN )
61 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  j  e.  NN )
6259, 60, 61fovrnd 6210 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
n `' J j )  e.  NN )
63 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( J `  k
)  =  ( J `
 ( n `' J j ) ) )
6463fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( J `  k )
)  =  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
6564fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( F `  ( 1st `  ( J `  k ) ) )  =  ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
6663fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( J `  k )
)  =  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )
6765, 66fveq12d 5726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( n `' J j )  -> 
( ( F `  ( 1st `  ( J `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  k
) ) )  =  ( ( F `  ( 1st `  ( J `
 ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
68 fvex 5734 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) ) `
 ( 2nd `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) )  e.  _V
6967, 25, 68fvmpt 5798 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n `' J j )  e.  NN  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
7062, 69syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 ( 1st `  ( J `  ( n `' J j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) )
71 df-ov 6076 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n `' J j )  =  ( `' J `  <. n ,  j >.
)
7271fveq2i 5723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J `
 ( n `' J j ) )  =  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. )
)
7355, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
74 opelxpi 4902 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  NN  /\  j  e.  NN )  -> 
<. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
7560, 61, 74syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  <. n ,  j >.  e.  ( NN  X.  NN ) )
76 f1ocnvfv2 6007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  /\  <. n ,  j
>.  e.  ( NN  X.  NN ) )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
7773, 75, 76syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( `' J `  <. n ,  j >. ) )  = 
<. n ,  j >.
)
7872, 77syl5eq 2479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( J `  ( n `' J j ) )  =  <. n ,  j
>. )
7978fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  <. n ,  j >. )
)
80 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  n  e. 
_V
81 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  j  e. 
_V
8280, 81op1st 6347 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( 1st `  <. n ,  j
>. )  =  n
8379, 82syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  n )
8483fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( F `  ( 1st `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( F `  n ) )
8578fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  <. n ,  j >. )
)
8680, 81op2nd 6348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 2nd `  <. n ,  j
>. )  =  j
8785, 86syl6eq 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( J `  ( n `' J
j ) ) )  =  j )
8884, 87fveq12d 5726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( F `  ( 1st `  ( J `  ( n `' J
j ) ) ) ) `  ( 2nd `  ( J `  (
n `' J j ) ) ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
8970, 88eqtrd 2467 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( H `  ( n `' J j ) )  =  ( ( F `
 n ) `  j ) )
9089fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9190breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  <->  ( 1st `  ( ( F `  n ) `  j
) )  <  z
) )
9289fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  =  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )
9392breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) )
9491, 93anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) )  <->  ( ( 1st `  ( ( F `
 n ) `  j ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( ( F `  n ) `
 j ) ) ) ) )
9594biimprd 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  (
( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
96 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( H `  m
)  =  ( H `
 ( n `' J j ) ) )
9796fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 1st `  ( H `  m )
)  =  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
9897breq1d 4214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( H `  (
n `' J j ) ) )  < 
z ) )
9996fveq2d 5724 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( 2nd `  ( H `  m )
)  =  ( 2nd `  ( H `  (
n `' J j ) ) ) )
10099breq2d 4216 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( z  <  ( 2nd `  ( H `  m ) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( H `
 ( n `' J j ) ) ) ) )
10198, 100anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( m  =  ( n `' J j )  -> 
( ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) )  <->  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J
j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) ) )
102101rspcev 3044 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( n `' J
j )  e.  NN  /\  ( ( 1st `  ( H `  ( n `' J j ) ) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  ( n `' J j ) ) ) ) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
10362, 95, 102ee12an 1372 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A )  /\  j  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
104103rexlimdva 2822 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  ( E. j  e.  NN  (
( 1st `  (
( F `  n
) `  j )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  (
( F `  n
) `  j )
) )  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
10554, 104mpd 15 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN  /\  z  e.  A
)  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) )
106105rexlimdv3a 2824 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( E. n  e.  NN  z  e.  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
10741, 106syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( z  e.  U_ n  e.  NN  A  ->  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
108107ralrimiv 2780 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) )
109 ovolfioo 19356 . . . . 5  |-  ( (
U_ n  e.  NN  A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m )
) ) ) )
1104, 26, 109syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  U_  n  e.  NN  A E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  m
) ) ) ) )
111108, 110mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  U_ n  e.  NN  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
11228ovollb 19367 . . 3  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  U_ n  e.  NN  A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
11326, 111, 112syl2anc 643 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
114 fzfi 11303 . . . . . . 7  |-  ( 1 ... j )  e. 
Fin
115 elfznn 11072 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( 1 ... j )  ->  w  e.  NN )
116 ffvelrn 5860 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( J `  w
)  e.  ( NN 
X.  NN ) )
117 xp1st 6368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( J `  w )  e.  ( NN  X.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w
) )  e.  NN )
118 nnre 9999 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  NN  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
119116, 117, 1183syl 19 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J : NN --> ( NN 
X.  NN )  /\  w  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
12011, 115, 119syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
121120ralrimiva 2781 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
122121adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR )
123 fimaxre3 9949 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... j
)  e.  Fin  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  e.  RR )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x )
124114, 122, 123sylancr 645 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x )
125 fllep1 11202 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  RR  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
126125ad2antlr 708 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
127120adantlr 696 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  ( 1st `  ( J `  w ) )  e.  RR )
128 simplr 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  x  e.  RR )
129 flcl 11196 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  RR  ->  ( |_ `  x )  e.  ZZ )
130129peano2zd 10370 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  ZZ )
131130zred 10367 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  RR  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
132131ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )
133 letr 9159 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( J `  w )
)  e.  RR  /\  x  e.  RR  /\  (
( |_ `  x
)  +  1 )  e.  RR )  -> 
( ( ( 1st `  ( J `  w
) )  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )  ->  ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
134127, 128, 132, 133syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  /\  x  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) )  -> 
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
135126, 134mpan2d 656 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  x  e.  RR )  /\  w  e.  ( 1 ... j
) )  ->  (
( 1st `  ( J `  w )
)  <_  x  ->  ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )
136135ralimdva 2776 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
137136adantlr 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  A. w  e.  ( 1 ... j
) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )
138 ovoliun.t . . . . . . . . . 10  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
139 ovoliun.g . . . . . . . . . 10  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
140 simpll 731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ph )
141140, 1sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
142 ovoliun.v . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
143140, 142sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
144140, 36syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
145140, 37syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
146 ovoliun.s . . . . . . . . . 10  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( F `  n ) ) )
147140, 9syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  J : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
148140, 7syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  F : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
149140, 42sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( F `
 n ) ) )
150 ovoliun.x2 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) ) )
151140, 150sylan 458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  ( x  e.  RR  /\ 
A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) ) )  /\  n  e.  NN )  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
152 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  j  e.  NN )
153130ad2antrl 709 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  x )  +  1 )  e.  ZZ )
154 simprr 734 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `  w )
)  <_  ( ( |_ `  x )  +  1 ) )
155138, 139, 141, 143, 144, 145, 146, 28, 25, 147, 148, 149, 151, 152, 153, 154ovoliunlem1 19390 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  (
x  e.  RR  /\  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 ) ) )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
156155expr 599 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  ( ( |_
`  x )  +  1 )  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
157137, 156syld 42 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j  e.  NN )  /\  x  e.  RR )  ->  ( A. w  e.  (
1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
158157rexlimdva 2822 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( E. x  e.  RR  A. w  e.  ( 1 ... j ) ( 1st `  ( J `
 w ) )  <_  x  ->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
159124, 158mpd 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  j  e.  NN )  ->  ( U `
 j )  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
160159ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
16126, 29syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
162 ffn 5583 . . . . 5  |-  ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  U  Fn  NN )
163 breq1 4207 . . . . . 6  |-  ( z  =  ( U `  j )  ->  (
z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
164163ralrn 5865 . . . . 5  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
)  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
165161, 162, 1643syl 19 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. j  e.  NN  ( U `  j )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
166160, 165mpbird 224 . . 3  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
167 supxrleub 10897 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
16833, 40, 167syl2anc 643 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_ 
( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) ) )
169166, 168mpbird 224 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( sup ( ran 
T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
1706, 35, 40, 113, 169xrletrd 10744 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698    i^i cin 3311    C_ wss 3312   <.cop 3809   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   `'ccnv 4869   ran crn 4871    o. ccom 4874    Fn wfn 5441   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ^m cmap 7010   Fincfn 7101   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982   1c1 8983    + caddc 8985    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    <_ cle 9113    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   2c2 10041   ZZcz 10274   RR+crp 10604   (,)cioo 10908   [,)cico 10910   ...cfz 11035   |_cfl 11193    seq cseq 11315   ^cexp 11374   abscabs 12031   vol *covol 19351
This theorem is referenced by:  ovoliunlem3  19392
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-n0 10214  df-z 10275  df-uz 10481  df-rp 10605  df-ioo 10912  df-ico 10914  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-seq 11316  df-exp 11375  df-hash 11611  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ovol 19353
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