MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovoliunlem3 Structured version   Unicode version

Theorem ovoliunlem3 19390
Description: Lemma for ovoliun 19391. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovoliun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
ovoliun.g  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
ovoliun.a  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
ovoliun.v  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
ovoliun.r  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
ovoliun.b  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovoliunlem3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Distinct variable groups:    B, n    ph, n    n, G    T, n
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem ovoliunlem3
Dummy variables  f 
g  j  k  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 nfcv 2571 . . . 4  |-  F/_ m A
2 nfcsb1v 3275 . . . 4  |-  F/_ n [_ m  /  n ]_ A
3 csbeq1a 3251 . . . 4  |-  ( n  =  m  ->  A  =  [_ m  /  n ]_ A )
41, 2, 3cbviun 4120 . . 3  |-  U_ n  e.  NN  A  =  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
54fveq2i 5723 . 2  |-  ( vol
* `  U_ n  e.  NN  A )  =  ( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)
6 ovoliun.a . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  A  C_  RR )
7 ovoliun.v . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR )
8 ovoliun.b . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  RR+ )
9 2nn 10123 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  NN
10 nnnn0 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  ->  n  e.  NN0 )
11 nnexpcl 11384 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  n  e.  NN0 )  -> 
( 2 ^ n
)  e.  NN )
129, 10, 11sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  NN )
1312nnrpd 10637 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  NN  ->  (
2 ^ n )  e.  RR+ )
14 rpdivcl 10624 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  RR+  /\  (
2 ^ n )  e.  RR+ )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
158, 13, 14syl2an 464 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )
16 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
)
1716ovolgelb 19366 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  e.  RR+ )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
186, 7, 15, 17syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
1918ralrimiva 2781 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
20 ovex 6098 . . . . 5  |-  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  e.  _V
21 nnenom 11309 . . . . 5  |-  NN  ~~  om
22 coeq2 5023 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( (,)  o.  f )  =  ( (,)  o.  (
g `  n )
) )
2322rneqd 5089 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  ( (,)  o.  f )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  n ) ) )
2423unieqd 4018 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  U. ran  ( (,)  o.  f )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) ) )
2524sseq2d 3368 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  <->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) ) ) )
26 coeq2 5023 . . . . . . . . . 10  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  f )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) )
2726seqeq3d 11321 . . . . . . . . 9  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2827rneqd 5089 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  f
) )  =  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) )
2928supeq1d 7443 . . . . . . 7  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
3029breq1d 4214 . . . . . 6  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( B  / 
( 2 ^ n
) ) )  <->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
3125, 30anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( f  =  ( g `  n )  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3220, 21, 31axcc4 8309 . . . 4  |-  ( A. n  e.  NN  E. f  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  f )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  f ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  ->  E. g
( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
3319, 32syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )
34 xpnnen 12798 . . . . . . 7  |-  ( NN 
X.  NN )  ~~  NN
3534ensymi 7149 . . . . . 6  |-  NN  ~~  ( NN  X.  NN )
36 bren 7109 . . . . . 6  |-  ( NN 
~~  ( NN  X.  NN )  <->  E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
3735, 36mpbi 200 . . . . 5  |-  E. j 
j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )
38 ovoliun.t . . . . . . . 8  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  G )
39 ovoliun.g . . . . . . . . 9  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  ( vol * `  A
) )
40 nfcv 2571 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ m
( vol * `  A )
41 nfcv 2571 . . . . . . . . . . 11  |-  F/_ n vol *
4241, 2nffv 5727 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ n
( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )
433fveq2d 5724 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  m  ->  ( vol * `  A )  =  ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4440, 42, 43cbvmpt 4291 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  NN  |->  ( vol
* `  A )
)  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol
* `  [_ m  /  n ]_ A ) )
4539, 44eqtri 2455 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( m  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A ) )
46 simpll 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ph )
476ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  A  C_  RR )
48 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m  A  C_  RR
49 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n RR
502, 49nfss 3333 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  RR
513sseq1d 3367 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  RR  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR ) )
5248, 50, 51cbvral 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  A  C_  RR  <->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5347, 52sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5453r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
5546, 54sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  RR )
567ralrimiva 2781 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  ( vol * `  A
)  e.  RR )
5740nfel1 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( vol * `  A )  e.  RR
5842nfel1 2581 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR
5943eleq1d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol * `  A )  e.  RR  <->  ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR ) )
6057, 58, 59cbvral 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( vol * `  A )  e.  RR  <->  A. m  e.  NN  ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6156, 60sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. m  e.  NN  ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6261r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol
* `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
6346, 62sylan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  e.  RR )
64 ovoliun.r . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
6564ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
668ad2antrr 707 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  B  e.  RR+ )
67 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) )
68 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `
 ( 1st `  (
j `  k )
) ) `  ( 2nd `  ( j `  k ) ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `
 k ) ) ) `  ( 2nd `  ( j `  k
) ) ) ) ) )
69 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k
) ) ) `  ( 2nd `  ( j `
 k ) ) ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( ( g `  ( 1st `  ( j `  k ) ) ) `
 ( 2nd `  (
j `  k )
) ) )
70 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )
71 simprl 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
72 simprr 734 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )
73 nfv 1629 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ m
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
74 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )
752, 74nfss 3333 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )
76 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )
77 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n  <_
78 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n  +
79 nfcv 2571 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n
( B  /  (
2 ^ m ) )
8042, 78, 79nfov 6096 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8176, 77, 80nfbr 4248 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) )
8275, 81nfan 1846 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
83 fveq2 5720 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
g `  n )  =  ( g `  m ) )
8483coeq2d 5027 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  =  ( (,)  o.  (
g `  m )
) )
8584rneqd 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  ran  ( (,) 
o.  ( g `  m ) ) )
8685unieqd 4018 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  =  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m ) ) )
873, 86sseq12d 3369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  <->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) ) )
8883coeq2d 5027 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  m  ->  (
( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m ) ) )
8988seqeq3d 11321 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9089rneqd 5089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  n )
) )  =  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) )
9190supeq1d 7443 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  =  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  ) )
92 oveq2 6081 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  m  ->  (
2 ^ n )  =  ( 2 ^ m ) )
9392oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  m  ->  ( B  /  ( 2 ^ n ) )  =  ( B  /  (
2 ^ m ) ) )
9443, 93oveq12d 6091 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  m  ->  (
( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  =  ( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  / 
( 2 ^ m
) ) ) )
9591, 94breq12d 4217 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  m  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) )  <->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9687, 95anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  m  ->  (
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 n ) )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) ) )
9773, 82, 96cbvral 2920 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A. n  e.  NN  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `  n ) )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n ) ) ) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) )  <->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9872, 97sylib 189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  A. m  e.  NN  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
9998r19.21bi 2796 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  ( [_ m  /  n ]_ A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  m
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  m
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) ) )
10099simpld 446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  [_ m  /  n ]_ A  C_  U. ran  ( (,)  o.  ( g `
 m ) ) )
10199simprd 450 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  /\  m  e.  NN )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
g `  m )
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  [_ m  /  n ]_ A )  +  ( B  /  ( 2 ^ m ) ) ) )
10238, 45, 55, 63, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 100, 101ovoliunlem2 19389 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN ) )  /\  (
g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A )  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B ) )
103102exp31 588 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  -> 
( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
104103exlimdv 1646 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. j  j : NN -1-1-onto-> ( NN  X.  NN )  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) ) )
10537, 104mpi 17 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
106105exlimdv 1646 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g ( g : NN --> ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  A. n  e.  NN  ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  ( g `  n
) )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( g `  n
) ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( B  /  ( 2 ^ n ) ) ) ) )  -> 
( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) ) )
10733, 106mpd 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ m  e.  NN  [_ m  /  n ]_ A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
1085, 107syl5eqbr 4237 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  U_ n  e.  NN  A
)  <_  ( sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  +  B
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   A.wral 2697   E.wrex 2698   [_csb 3243    i^i cin 3311    C_ wss 3312   U.cuni 4007   U_ciun 4085   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258    X. cxp 4868   ran crn 4871    o. ccom 4874   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   1stc1st 6339   2ndc2nd 6340    ^m cmap 7010    ~~ cen 7098   supcsup 7437   RRcr 8979   1c1 8981    + caddc 8983   RR*cxr 9109    < clt 9110    <_ cle 9111    - cmin 9281    / cdiv 9667   NNcn 9990   2c2 10039   NN0cn0 10211   RR+crp 10602   (,)cioo 10906    seq cseq 11313   ^cexp 11372   abscabs 12029   vol *covol 19349
This theorem is referenced by:  ovoliun  19391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7586  ax-cc 8305  ax-cnex 9036  ax-resscn 9037  ax-1cn 9038  ax-icn 9039  ax-addcl 9040  ax-addrcl 9041  ax-mulcl 9042  ax-mulrcl 9043  ax-mulcom 9044  ax-addass 9045  ax-mulass 9046  ax-distr 9047  ax-i2m1 9048  ax-1ne0 9049  ax-1rid 9050  ax-rnegex 9051  ax-rrecex 9052  ax-cnre 9053  ax-pre-lttri 9054  ax-pre-lttrn 9055  ax-pre-ltadd 9056  ax-pre-mulgt0 9057  ax-pre-sup 9058
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-sup 7438  df-oi 7469  df-card 7816  df-pnf 9112  df-mnf 9113  df-xr 9114  df-ltxr 9115  df-le 9116  df-sub 9283  df-neg 9284  df-div 9668  df-nn 9991  df-2 10048  df-3 10049  df-n0 10212  df-z 10273  df-uz 10479  df-rp 10603  df-ioo 10910  df-ico 10912  df-fz 11034  df-fzo 11126  df-fl 11192  df-seq 11314  df-exp 11373  df-hash 11609  df-cj 11894  df-re 11895  df-im 11896  df-sqr 12030  df-abs 12031  df-clim 12272  df-rlim 12273  df-sum 12470  df-ovol 19351
  Copyright terms: Public domain W3C validator