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Theorem ovoliunnul 18866
Description: A countable union of nullsets is null. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Apr-2015.)
Assertion
Ref Expression
ovoliunnul  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Distinct variable group:    A, n
Allowed substitution hint:    B( n)

Proof of Theorem ovoliunnul
Dummy variables  f 
k  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iuneq1 3918 . . . . . 6  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  U_ n  e.  (/)  B )
2 0iun 3959 . . . . . 6  |-  U_ n  e.  (/)  B  =  (/)
31, 2syl6eq 2331 . . . . 5  |-  ( A  =  (/)  ->  U_ n  e.  A  B  =  (/) )
43fveq2d 5529 . . . 4  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  ( vol * `  (/) ) )
5 ovol0 18852 . . . 4  |-  ( vol
* `  (/) )  =  0
64, 5syl6eq 2331 . . 3  |-  ( A  =  (/)  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
76a1i 10 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
8 reldom 6869 . . . . . 6  |-  Rel  ~<_
98brrelexi 4729 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  A  e.  _V )
109adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  A  e.  _V )
11 0sdomg 6990 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( (/) 
~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 15 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  <->  A  =/=  (/) ) )
13 fodomr 7012 . . . . . 6  |-  ( (
(/)  ~<  A  /\  A  ~<_  NN )  ->  E. f 
f : NN -onto-> A
)
1413expcom 424 . . . . 5  |-  ( A  ~<_  NN  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  ->  E. f  f : NN -onto-> A ) )
16 eliun 3909 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  U_ n  e.  A  B  <->  E. n  e.  A  x  e.  B )
17 nfv 1605 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  f : NN -onto-> A
18 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n NN
19 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/_ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2018, 19nfiun 3931 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/_ n U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B
2120nfel2 2431 . . . . . . . . . . 11  |-  F/ n  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B
22 foelrn 5679 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  e.  A
)  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) )
2322ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k ) ) )
24 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  B  =  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )
2524adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  B  =  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
2625eleq2d 2350 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  <->  x  e.  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
2726biimpd 198 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  n  =  (
f `  k )
)  ->  ( x  e.  B  ->  x  e. 
[_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2827impancom 427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
2928reximdv 2654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
30 eliun 3909 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  <->  E. k  e.  NN  x  e.  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
3129, 30syl6ibr 218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : NN -onto-> A  /\  x  e.  B
)  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
3231ex 423 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  B  ->  ( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
3332com23 72 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. k  e.  NN  n  =  ( f `  k )  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) ) )
3423, 33syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( n  e.  A  ->  ( x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) )
3517, 21, 34rexlimd 2664 . . . . . . . . . 10  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( E. n  e.  A  x  e.  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3616, 35syl5bi 208 . . . . . . . . 9  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
( x  e.  U_ n  e.  A  B  ->  x  e.  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
3736ssrdv 3185 . . . . . . . 8  |-  ( f : NN -onto-> A  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
3837adantl 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )
39 fof 5451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : NN -onto-> A  -> 
f : NN --> A )
4039adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  f : NN --> A )
41 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : NN --> A  /\  k  e.  NN )  ->  ( f `  k
)  e.  A )
4240, 41sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  (
f `  k )  e.  A )
43 simpllr 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )
44 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n RR
4519, 44nfss 3173 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR
46 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n vol *
4746, 19nffv 5532 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  F/_ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )
4847nfeq1 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  F/ n
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0
4945, 48nfan 1771 . . . . . . . . . . . 12  |-  F/ n
( [_ ( f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
5024sseq1d 3205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( B  C_  RR  <->  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR ) )
5124fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  ( vol * `  B )  =  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
5251eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( vol * `  B )  =  0  <-> 
( vol * `  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5350, 52anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  ( f `  k )  ->  (
( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  <->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5449, 53rspc 2878 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( f `  k )  e.  A  ->  ( A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 )  ->  ( [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) ) )
5542, 43, 54sylc 56 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 ) )
5655simpld 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR )
5756ralrimiva 2626 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  A. k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
58 iunss 3943 . . . . . . . 8  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR 
<-> 
A. k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B  C_  RR )
5957, 58sylibr 203 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  C_  RR )
60 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  seq  1
(  +  ,  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )
61 eqid 2283 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  NN  |->  ( vol
* `  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B ) )
6255simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
63 0re 8838 . . . . . . . . . . 11  |-  0  e.  RR
6462, 63syl6eqel 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  ~<_  NN 
/\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B
)  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  /\  k  e.  NN )  ->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B )  e.  RR )
6562mpteq2dva 4106 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( k  e.  NN  |->  0 ) )
66 fconstmpt 4732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( k  e.  NN  |->  0 )
67 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
6867xpeq1i 4709 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( NN 
X.  { 0 } )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } )
6966, 68eqtr3i 2305 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  |->  0 )  =  ( ( ZZ>= ` 
1 )  X.  {
0 } )
7065, 69syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )  =  ( (
ZZ>= `  1 )  X. 
{ 0 } ) )
7170seqeq3d 11054 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) ) )
72 1z 10053 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  ZZ
73 serclim0 12051 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0 )
74 seqex 11048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  _V
75 c0ex 8832 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  e.  _V
7674, 75breldm 4883 . . . . . . . . . . . 12  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  ~~>  0  ->  seq  1 (  +  , 
( ( ZZ>= `  1
)  X.  { 0 } ) )  e. 
dom 
~~>  )
7772, 73, 76mp2b 9 . . . . . . . . . . 11  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( ZZ>= `  1 )  X.  { 0 } ) )  e.  dom  ~~>
7871, 77syl6eqel 2371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  seq  1 (  +  , 
( k  e.  NN  |->  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) ) )  e.  dom  ~~>  )
7960, 61, 56, 64, 78ovoliun2 18865 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B ) )
8062sumeq2dv 12176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  sum_ k  e.  NN  0
)
8167eqimssi 3232 . . . . . . . . . . . 12  |-  NN  C_  ( ZZ>= `  1 )
8281orci 379 . . . . . . . . . . 11  |-  ( NN  C_  ( ZZ>= `  1 )  \/  NN  e.  Fin )
83 sumz 12195 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( NN  C_  ( ZZ>= ` 
1 )  \/  NN  e.  Fin )  ->  sum_ k  e.  NN  0  =  0 )
8482, 83ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  sum_ k  e.  NN  0  =  0
8580, 84syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  sum_ k  e.  NN  ( vol * `  [_ ( f `  k )  /  n ]_ B )  =  0 )
8679, 85breqtrd 4047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  <_ 
0 )
87 ovolge0 18840 . . . . . . . . 9  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) )
8859, 87syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  0  <_  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B ) )
89 ovolcl 18837 . . . . . . . . . 10  |-  ( U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR* )
9059, 89syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  e. 
RR* )
91 0xr 8878 . . . . . . . . 9  |-  0  e.  RR*
92 xrletri3 10486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9390, 91, 92sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  (
( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0  <-> 
( ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B ) ) ) )
9486, 88, 93mpbir2and 888 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B )  =  0 )
95 ovolssnul 18846 . . . . . . 7  |-  ( (
U_ n  e.  A  B  C_  U_ k  e.  NN  [_ ( f `
 k )  /  n ]_ B  /\  U_ k  e.  NN  [_ (
f `  k )  /  n ]_ B  C_  RR  /\  ( vol * `  U_ k  e.  NN  [_ ( f `  k
)  /  n ]_ B )  =  0 )  ->  ( vol * `
 U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9638, 59, 94, 95syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 ) )  /\  f : NN -onto-> A )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
9796ex 423 . . . . 5  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( f : NN -onto-> A  ->  ( vol
* `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
9897exlimdv 1664 . . . 4  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( E. f 
f : NN -onto-> A  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
9915, 98syld 40 . . 3  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( (/)  ~<  A  -> 
( vol * `  U_ n  e.  A  B
)  =  0 ) )
10012, 99sylbird 226 . 2  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( A  =/=  (/)  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 ) )
1017, 100pm2.61dne 2523 1  |-  ( ( A  ~<_  NN  /\  A. n  e.  A  ( B  C_  RR  /\  ( vol
* `  B )  =  0 ) )  ->  ( vol * `  U_ n  e.  A  B )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   _Vcvv 2788   [_csb 3081    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   U_ciun 3905   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   dom cdm 4689   -->wf 5251   -onto->wfo 5253   ` cfv 5255    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740   RR*cxr 8866    <_ cle 8868   NNcn 9746   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046    ~~> cli 11958   sum_csu 12158   vol *covol 18822
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cc 8061  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xadd 10453  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-xmet 16373  df-met 16374  df-ovol 18824
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