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Theorem ovolscalem1 18872
Description: Lemma for ovolsca 18874. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
ovolsca.5  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolsca.6  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
ovolsca.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolsca.8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolsca.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ovolsca.10  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolscalem1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n    n, F, x    n, G    x, R    C, n, x    ph, n    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( n)    S( n)    G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
2 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR )
41, 3eqsstrd 3212 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
5 ovolcl 18837 . . 3  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( vol
* `  B )  e.  RR* )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR* )
7 ovolsca.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
8 ovolfcl 18826 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
97, 8sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
109simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
119simp1d 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
129simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
13 ovolsca.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpregt0d 10396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
16 lediv1 9621 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <_  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
1711, 12, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n )
)  <->  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n ) )  /  C ) ) )
1810, 17mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
19 df-br 4024 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.  e.  <_  )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  )
2113adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  RR+ )
2211, 21rerpdivcld 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
2312, 21rerpdivcld 10417 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
24 opelxpi 4721 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
26 elin 3358 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  /\  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) ) )
2720, 25, 26sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 ovolsca.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
2927, 28fmptd 5684 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
31 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)
3230, 31ovolsf 18832 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
3329, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
34 frn 5395 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
36 icossxr 10734 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3735, 36syl6ss 3191 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* )
38 supxrcl 10633 . . 3  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3937, 38syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
40 ovolsca.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
4140, 13rerpdivcld 10417 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  /  C
)  e.  RR )
42 ovolsca.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4342rpred 10390 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
4441, 43readdcld 8862 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR )
4544rexrd 8881 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR* )
461eleq2d 2350 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } ) )
47 oveq2 5866 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( C  x.  x )  =  ( C  x.  y ) )
4847eleq1d 2349 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  x.  x
)  e.  A  <->  ( C  x.  y )  e.  A
) )
4948elrab 2923 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )
5046, 49syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) ) )
51 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( C  x.  y
)  e.  A )
52 ovolsca.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
53 ovolsca.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54 ovolfioo 18827 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5553, 7, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5652, 55mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
5756adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
58 breq2 4027 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
59 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
6058, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  < 
( C  x.  y
)  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) ) )
6160rexbidv 2564 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6261rspcv 2880 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  x.  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6351, 57, 62sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64 opex 4237 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V
6528fvmpt2 5608 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
6664, 65mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)
6766fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
68 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
69 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
7068, 69op1st 6128 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )
7167, 70syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7372breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <  y
) )
7411adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  e.  RR )
75 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
7615adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
77 ltdivmul 9628 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7874, 75, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7973, 78bitr2d 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  <->  ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y
) )
8012adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR )
81 ltmuldiv2 9627 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8275, 80, 76, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8366fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
8468, 69op2nd 6129 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )
8583, 84syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8685adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8786breq2d 4035 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8882, 87bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) )
8979, 88anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  n ) )  < 
y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) ) )
9089rexbidva 2560 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9163, 90mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
9291ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9350, 92sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9493ralrimiv 2625 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
95 ovolfioo 18827 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
964, 29, 95syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9794, 96mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9831ovollb 18838 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  B  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol * `  B )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9929, 97, 98syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
100 fzfid 11035 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
10113rpcnd 10392 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
102101adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
103 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
104 elfznn 10819 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
10512, 11resubcld 9211 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  e.  RR )
106103, 104, 105syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
107106recnd 8861 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  CC )
10813rpne0d 10395 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
109108adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
110100, 102, 107, 109fsumdivc 12248 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
11185, 71oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
112111adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
11330ovolfsval 18830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
11429, 113sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
11512recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11611recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11713rpcnne0d 10399 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
119 divsubdir 9456 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  e.  CC  /\  ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
120115, 116, 118, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
121112, 114, 1203eqtr4d 2325 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C ) )
122103, 104, 121syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
123 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
124 nnuz 10263 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125123, 124syl6eleq 2373 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
126105, 21rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  RR )
127126recnd 8861 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
128103, 104, 127syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
129122, 125, 128fsumser 12203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
130110, 129eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
131 ovolsca.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
132 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
133 ovolsca.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
134132, 133ovolsf 18832 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1357, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
136 frn 5395 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
138137, 36syl6ss 3191 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
13913, 42rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR+ )
140139rpred 10390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR )
14140, 140readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR )
142141rexrd 8881 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )
143 supxrleub 10645 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
144138, 142, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
145131, 144mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
146 ffn 5389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
147135, 146syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
148 breq1 4026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S `  k )  ->  (
x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  ( S `  k )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
149148ralrn 5668 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
150147, 149syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
151145, 150mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
152151r19.21bi 2641 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
1537adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
154132ovolfsval 18830 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
155153, 104, 154syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
156155, 125, 107fsumser 12203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
) `  k )
)
157133fveq1i 5526 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
158156, 157syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  ( S `  k ) )
15941recnd 8861 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  /  C
)  e.  CC )
16042rpcnd 10392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
161101, 159, 160adddid 8859 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( C  x.  ( ( vol * `  A
)  /  C ) )  +  ( C  x.  R ) ) )
16240recnd 8861 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  CC )
163162, 101, 108divcan2d 9538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( vol * `  A )  /  C
) )  =  ( vol * `  A
) )
164163oveq1d 5873 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( ( vol * `  A )  /  C
) )  +  ( C  x.  R ) )  =  ( ( vol * `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
165161, 164eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( vol * `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
166165adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R ) )  =  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
167152, 158, 1663brtr4d 4053 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  <_  ( C  x.  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
168100, 106fsumrecl 12207 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
16944adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR )
17014adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
171 ledivmul 9629 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
173167, 172mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  <_  ( (
( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
174130, 173eqbrtrrd 4045 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  <_  ( (
( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
175174ralrimiva 2626 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
176 ffn 5389 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
17733, 176syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
178 breq1 4026 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  ->  ( y  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) )
179178ralrn 5668 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) )  Fn  NN  ->  ( A. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
180177, 179syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
181175, 180mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) )
182 supxrleub 10645 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
/\  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R ) ) )
18337, 45, 182syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
184181, 183mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
1856, 39, 45, 99, 184xrletrd 10493 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    i^i cin 3151    C_ wss 3152   <.cop 3643   U.cuni 3827   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077    X. cxp 4687   ran crn 4690    o. ccom 4693    Fn wfn 5250   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1stc1st 6120   2ndc2nd 6121   supcsup 7193   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   (,)cioo 10656   [,)cico 10658   ...cfz 10782    seq cseq 11046   abscabs 11719   sum_csu 12158   vol
*covol 18822
This theorem is referenced by:  ovolscalem2  18873
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-ioo 10660  df-ico 10662  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-seq 11047  df-exp 11105  df-hash 11338  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-clim 11962  df-sum 12159  df-ovol 18824
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