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Theorem ovolscalem1 18888
Description: Lemma for ovolsca 18890. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
ovolsca.5  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolsca.6  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
ovolsca.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolsca.8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolsca.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ovolsca.10  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolscalem1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n    n, F, x    n, G    x, R    C, n, x    ph, n    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( n)    S( n)    G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
2 ssrab2 3271 . . . . 5  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ph  ->  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR )
41, 3eqsstrd 3225 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
5 ovolcl 18853 . . 3  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( vol
* `  B )  e.  RR* )
64, 5syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR* )
7 ovolsca.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
8 ovolfcl 18842 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
97, 8sylan 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
109simp3d 969 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
119simp1d 967 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
129simp2d 968 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
13 ovolsca.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1413rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1514adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
16 lediv1 9637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <_  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
1711, 12, 15, 16syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n )
)  <->  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n ) )  /  C ) ) )
1810, 17mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
19 df-br 4040 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.  e.  <_  )
2018, 19sylib 188 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  )
2113adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  RR+ )
2211, 21rerpdivcld 10433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
2312, 21rerpdivcld 10433 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
24 opelxpi 4737 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2522, 23, 24syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
26 elin 3371 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  /\  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) ) )
2720, 25, 26sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 ovolsca.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
2927, 28fmptd 5700 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
31 eqid 2296 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)
3230, 31ovolsf 18848 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
3329, 32syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
34 frn 5411 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
3533, 34syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
36 icossxr 10750 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3735, 36syl6ss 3204 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* )
38 supxrcl 10649 . . 3  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3937, 38syl 15 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
40 ovolsca.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
4140, 13rerpdivcld 10433 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  /  C
)  e.  RR )
42 ovolsca.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4342rpred 10406 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
4441, 43readdcld 8878 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR )
4544rexrd 8897 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR* )
461eleq2d 2363 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } ) )
47 oveq2 5882 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( C  x.  x )  =  ( C  x.  y ) )
4847eleq1d 2362 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  x.  x
)  e.  A  <->  ( C  x.  y )  e.  A
) )
4948elrab 2936 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )
5046, 49syl6bb 252 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) ) )
51 simprr 733 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( C  x.  y
)  e.  A )
52 ovolsca.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
53 ovolsca.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
54 ovolfioo 18843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5553, 7, 54syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5652, 55mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
5756adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
58 breq2 4043 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
59 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
6058, 59anbi12d 691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  < 
( C  x.  y
)  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) ) )
6160rexbidv 2577 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6261rspcv 2893 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  x.  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6351, 57, 62sylc 56 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
64 opex 4253 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V
6528fvmpt2 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
6664, 65mpan2 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)
6766fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
68 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
69 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
7068, 69op1st 6144 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )
7167, 70syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7271adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7372breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <  y
) )
7411adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  e.  RR )
75 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
7615adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
77 ltdivmul 9644 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7874, 75, 76, 77syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7973, 78bitr2d 245 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  <->  ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y
) )
8012adantlr 695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR )
81 ltmuldiv2 9643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8275, 80, 76, 81syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8366fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
8468, 69op2nd 6145 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )
8583, 84syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8685adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8786breq2d 4051 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8882, 87bitr4d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) )
8979, 88anbi12d 691 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  n ) )  < 
y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) ) )
9089rexbidva 2573 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9163, 90mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
9291ex 423 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9350, 92sylbid 206 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9493ralrimiv 2638 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
95 ovolfioo 18843 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
964, 29, 95syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9794, 96mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9831ovollb 18854 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  B  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol * `  B )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9929, 97, 98syl2anc 642 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
100 fzfid 11051 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
10113rpcnd 10408 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
102101adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
103 simpl 443 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
104 elfznn 10835 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
10512, 11resubcld 9227 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  e.  RR )
106103, 104, 105syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
107106recnd 8877 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  CC )
10813rpne0d 10411 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
109108adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
110100, 102, 107, 109fsumdivc 12264 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
11185, 71oveq12d 5892 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
112111adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
11330ovolfsval 18846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
11429, 113sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
11512recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11611recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11713rpcnne0d 10415 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
118117adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
119 divsubdir 9472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  e.  CC  /\  ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
120115, 116, 118, 119syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
121112, 114, 1203eqtr4d 2338 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C ) )
122103, 104, 121syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
123 simpr 447 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
124 nnuz 10279 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
125123, 124syl6eleq 2386 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
126105, 21rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  RR )
127126recnd 8877 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
128103, 104, 127syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
129122, 125, 128fsumser 12219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
130110, 129eqtrd 2328 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
131 ovolsca.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
132 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
133 ovolsca.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
134132, 133ovolsf 18848 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1357, 134syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
136 frn 5411 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
137135, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
138137, 36syl6ss 3204 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
13913, 42rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR+ )
140139rpred 10406 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR )
14140, 140readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR )
142141rexrd 8897 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )
143 supxrleub 10661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
144138, 142, 143syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
145131, 144mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
146 ffn 5405 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
147135, 146syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
148 breq1 4042 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S `  k )  ->  (
x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  ( S `  k )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
149148ralrn 5684 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
150147, 149syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
151145, 150mpbid 201 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
152151r19.21bi 2654 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
1537adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
154132ovolfsval 18846 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
155153, 104, 154syl2an 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
156155, 125, 107fsumser 12219 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
) `  k )
)
157133fveq1i 5542 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
158156, 157syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  ( S `  k ) )
15941recnd 8877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  /  C
)  e.  CC )
16042rpcnd 10408 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
161101, 159, 160adddid 8875 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( C  x.  ( ( vol * `  A
)  /  C ) )  +  ( C  x.  R ) ) )
16240recnd 8877 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  CC )
163162, 101, 108divcan2d 9554 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( vol * `  A )  /  C
) )  =  ( vol * `  A
) )
164163oveq1d 5889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( ( vol * `  A )  /  C
) )  +  ( C  x.  R ) )  =  ( ( vol * `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
165161, 164eqtrd 2328 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( vol * `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
166165adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R ) )  =  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
167152, 158, 1663brtr4d 4069 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  <_  ( C  x.  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
168100, 106fsumrecl 12223 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
16944adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR )
17014adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
171 ledivmul 9645 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
173167, 172mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  <_  ( (
( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
174130, 173eqbrtrrd 4061 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  <_  ( (
( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
175174ralrimiva 2639 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
176 ffn 5405 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
17733, 176syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
178 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  ->  ( y  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) )
179178ralrn 5684 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) )  Fn  NN  ->  ( A. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
180177, 179syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
181175, 180mpbird 223 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) )
182 supxrleub 10661 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
/\  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R ) ) )
18337, 45, 182syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
184181, 183mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
1856, 39, 45, 99, 184xrletrd 10509 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   {crab 2560   _Vcvv 2801    i^i cin 3164    C_ wss 3165   <.cop 3656   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    o. ccom 4709    Fn wfn 5266   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1stc1st 6136   2ndc2nd 6137   supcsup 7209   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   (,)cioo 10672   [,)cico 10674   ...cfz 10798    seq cseq 11062   abscabs 11735   sum_csu 12174   vol
*covol 18838
This theorem is referenced by:  ovolscalem2  18889
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-clim 11978  df-sum 12175  df-ovol 18840
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