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Theorem ovolscalem1 19411
Description: Lemma for ovolsca 19413. (Contributed by Mario Carneiro, 6-Apr-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolsca.1  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
ovolsca.2  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolsca.3  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
ovolsca.4  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
ovolsca.5  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolsca.6  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
ovolsca.7  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
ovolsca.8  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolsca.9  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
ovolsca.10  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolscalem1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
Distinct variable groups:    x, n, A    B, n    n, F, x    n, G    x, R    C, n, x    ph, n    x, S
Allowed substitution hints:    ph( x)    B( x)    R( n)    S( n)    G( x)

Proof of Theorem ovolscalem1
Dummy variables  k 
y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolsca.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } )
2 ssrab2 3430 . . . 4  |-  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  C_  RR
31, 2syl6eqss 3400 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
4 ovolcl 19376 . . 3  |-  ( B 
C_  RR  ->  ( vol
* `  B )  e.  RR* )
53, 4syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR* )
6 ovolsca.7 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
7 ovolfcl 19365 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n ) )  <_ 
( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
86, 7sylan 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR  /\  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
98simp3d 972 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n ) ) )
108simp1d 970 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  RR )
118simp2d 971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  RR )
12 ovolsca.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
1312rpregt0d 10656 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
1413adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
15 lediv1 9877 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <_  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <_  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
1610, 11, 14, 15syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  <_  ( 2nd `  ( F `  n )
)  <->  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n ) )  /  C ) ) )
179, 16mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  <_ 
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
18 df-br 4215 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <_  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  <->  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.  e.  <_  )
1917, 18sylib 190 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  )
2012adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  C  e.  RR+ )
2110, 20rerpdivcld 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
2211, 20rerpdivcld 10677 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e.  RR )
23 opelxpi 4912 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR  /\  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  e.  RR )  ->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
2421, 22, 23syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) )
25 elin 3532 . . . . . . . 8  |-  ( <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  <->  ( <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  <_  /\  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  ( RR 
X.  RR ) ) )
2619, 24, 25sylanbrc 647 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
27 ovolsca.6 . . . . . . 7  |-  G  =  ( n  e.  NN  |->  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
2826, 27fmptd 5895 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
29 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
30 eqid 2438 . . . . . . 7  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)
3129, 30ovolsf 19371 . . . . . 6  |-  ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
3228, 31syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
33 frn 5599 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
)  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
3432, 33syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  ( 0 [,)  +oo ) )
35 icossxr 10997 . . . 4  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR*
3634, 35syl6ss 3362 . . 3  |-  ( ph  ->  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* )
37 supxrcl 10895 . . 3  |-  ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
3836, 37syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  e.  RR* )
39 ovolsca.4 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
4039, 12rerpdivcld 10677 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  /  C
)  e.  RR )
41 ovolsca.9 . . . . 5  |-  ( ph  ->  R  e.  RR+ )
4241rpred 10650 . . . 4  |-  ( ph  ->  R  e.  RR )
4340, 42readdcld 9117 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR )
4443rexrd 9136 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  e.  RR* )
451eleq2d 2505 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A } ) )
46 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  y  ->  ( C  x.  x )  =  ( C  x.  y ) )
4746eleq1d 2504 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  y  ->  (
( C  x.  x
)  e.  A  <->  ( C  x.  y )  e.  A
) )
4847elrab 3094 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  { x  e.  RR  |  ( C  x.  x )  e.  A }  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )
4945, 48syl6bb 254 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  <->  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) ) )
50 simprr 735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( C  x.  y
)  e.  A )
51 ovolsca.8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
52 ovolsca.1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
53 ovolfioo 19366 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5452, 6, 53syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) ) )
5551, 54mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
5655adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
57 breq2 4218 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
58 breq1 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
x  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) )
5957, 58anbi12d 693 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  < 
( C  x.  y
)  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) ) ) ) )
6059rexbidv 2728 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  ( C  x.  y )  ->  ( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6160rspcv 3050 . . . . . . . . 9  |-  ( ( C  x.  y )  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  x  /\  x  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) ) ) )
6250, 56, 61sylc 59 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) ) )
63 opex 4429 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V
6427fvmpt2 5814 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  NN  /\  <.
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >.  e.  _V )  ->  ( G `  n
)  =  <. (
( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. )
6563, 64mpan2 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  NN  ->  ( G `  n )  =  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)
6665fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
67 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
68 ovex 6108 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )  e. 
_V
6967, 68op1st 6357 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 1st `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C )
7066, 69syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7170adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( G `  n ) )  =  ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) )
7271breq1d 4224 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  <->  ( ( 1st `  ( F `  n ) )  /  C )  <  y
) )
7310adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n ) )  e.  RR )
74 simplrl 738 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  y  e.  RR )
7514adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
76 ltdivmul 9884 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  n )
)  e.  RR  /\  y  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
)  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7773, 74, 75, 76syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C )  <  y  <->  ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )
) )
7872, 77bitr2d 247 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  <->  ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y
) )
7911adantlr 697 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n ) )  e.  RR )
80 ltmuldiv2 9883 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR  /\  ( 2nd `  ( F `
 n ) )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n ) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8174, 79, 75, 80syl3anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8265fveq2d 5734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n )
)  /  C ) ,  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
) >. ) )
8367, 68op2nd 6358 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2nd `  <. ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ,  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C ) >.
)  =  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  /  C )
8482, 83syl6eq 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8584adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( G `  n ) )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) )
8685breq2d 4226 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) )  <->  y  <  ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C ) ) )
8781, 86bitr4d 249 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) )  <->  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) )
8878, 87anbi12d 693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  (
y  e.  RR  /\  ( C  x.  y
)  e.  A ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( 1st `  ( F `  n )
)  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y )  <  ( 2nd `  ( F `  n )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  n ) )  < 
y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `
 n ) ) ) ) )
8988rexbidva 2724 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  -> 
( E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  <  ( C  x.  y )  /\  ( C  x.  y
)  <  ( 2nd `  ( F `  n
) ) )  <->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9062, 89mpbid 203 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A ) )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
9190ex 425 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( y  e.  RR  /\  ( C  x.  y )  e.  A )  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n
) )  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n
) ) ) ) )
9249, 91sylbid 208 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( y  e.  B  ->  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9392ralrimiv 2790 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) )
94 ovolfioo 19366 . . . . 5  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
953, 28, 94syl2anc 644 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. y  e.  B  E. n  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  n )
)  <  y  /\  y  <  ( 2nd `  ( G `  n )
) ) ) )
9693, 95mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
9730ovollb 19377 . . 3  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  B  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  G ) )  -> 
( vol * `  B )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
9828, 96, 97syl2anc 644 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  ) )
99 fzfid 11314 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( 1 ... k )  e. 
Fin )
10012rpcnd 10652 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  e.  CC )
101100adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  e.  CC )
102 simpl 445 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ph )
103 elfznn 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( 1 ... k )  ->  n  e.  NN )
10411, 10resubcld 9467 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  e.  RR )
105102, 103, 104syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR )
106105recnd 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  CC )
10712rpne0d 10655 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  C  =/=  0 )
108107adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  C  =/=  0 )
10999, 101, 106, 108fsumdivc 12571 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
11084, 70oveq12d 6101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
111110adantl 454 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( 2nd `  ( G `
 n ) )  -  ( 1st `  ( G `  n )
) )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
11229ovolfsval 19369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n
) )  -  ( 1st `  ( G `  n ) ) ) )
11328, 112sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( G `  n )
)  -  ( 1st `  ( G `  n
) ) ) )
11411recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 2nd `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11510recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( 1st `  ( F `  n
) )  e.  CC )
11612rpcnne0d 10659 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
117116adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )
118 divsubdir 9712 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  e.  CC  /\  ( 1st `  ( F `
 n ) )  e.  CC  /\  ( C  e.  CC  /\  C  =/=  0 ) )  -> 
( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  /  C
)  -  ( ( 1st `  ( F `
 n ) )  /  C ) ) )
119114, 115, 117, 118syl3anc 1185 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  /  C )  -  ( ( 1st `  ( F `  n
) )  /  C
) ) )
120111, 113, 1193eqtr4d 2480 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C ) )
121102, 103, 120syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) `  n )  =  ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
) )
122 simpr 449 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
123 nnuz 10523 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
124122, 123syl6eleq 2528 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
125104, 20rerpdivcld 10677 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  RR )
126125recnd 9116 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
127102, 103, 126syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  e.  CC )
128121, 124, 127fsumser 12526 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
129109, 128eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  =  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
) )
130 ovolsca.10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
131 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
132 ovolsca.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
133131, 132ovolsf 19371 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  S : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
1346, 133syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  S : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
135 frn 5599 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  ran  S 
C_  ( 0 [,) 
+oo ) )
136134, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  (
0 [,)  +oo ) )
137136, 35syl6ss 3362 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ran  S  C_  RR* )
13812, 41rpmulcld 10666 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR+ )
139138rpred 10650 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( C  x.  R
)  e.  RR )
14039, 139readdcld 9117 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR )
141140rexrd 9136 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )
142 supxrleub 10907 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ran  S  C_  RR*  /\  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
143137, 141, 142syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. x  e.  ran  S  x  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
144130, 143mpbid 203 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
145 ffn 5593 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( S : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  S  Fn  NN )
146134, 145syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  Fn  NN )
147 breq1 4217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  =  ( S `  k )  ->  (
x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  ( S `  k )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
148147ralrn 5875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( S  Fn  NN  ->  ( A. x  e.  ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
149146, 148syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( A. x  e. 
ran  S  x  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) )  <->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) ) )
150144, 149mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( S `  k )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
151150r19.21bi 2806 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( S `
 k )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
1526adantr 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
153131ovolfsval 19369 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  n  e.  NN )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
154152, 103, 153syl2an 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  k  e.  NN )  /\  n  e.  ( 1 ... k
) )  ->  (
( ( abs  o.  -  )  o.  F
) `  n )  =  ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) ) )
155154, 124, 106fsumser 12526 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F )
) `  k )
)
156132fveq1i 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( S `
 k )  =  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  F ) ) `  k )
157155, 156syl6eqr 2488 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  =  ( S `  k ) )
15840recnd 9116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  /  C
)  e.  CC )
15941rpcnd 10652 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
160100, 158, 159adddid 9114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( C  x.  ( ( vol * `  A
)  /  C ) )  +  ( C  x.  R ) ) )
16139recnd 9116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  CC )
162161, 100, 107divcan2d 9794 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( vol * `  A )  /  C
) )  =  ( vol * `  A
) )
163162oveq1d 6098 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( C  x.  ( ( vol * `  A )  /  C
) )  +  ( C  x.  R ) )  =  ( ( vol * `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
164160, 163eqtrd 2470 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )  =  ( ( vol * `  A
)  +  ( C  x.  R ) ) )
165164adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  x.  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R ) )  =  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  x.  R ) ) )
166151, 157, 1653brtr4d 4244 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  <_  ( C  x.  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
16799, 105fsumrecl 12530 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  e.  RR )
16843adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR )
16913adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )
170 ledivmul 9885 . . . . . . . 8  |-  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  e.  RR  /\  ( ( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  e.  RR  /\  ( C  e.  RR  /\  0  <  C ) )  -> 
( ( sum_ n  e.  ( 1 ... k
) ( ( 2nd `  ( F `  n
) )  -  ( 1st `  ( F `  n ) ) )  /  C )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
171167, 168, 169, 170syl3anc 1185 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (
sum_ n  e.  (
1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  /  C )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  <->  sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `  n )
)  -  ( 1st `  ( F `  n
) ) )  <_ 
( C  x.  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) ) )
172166, 171mpbird 225 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( sum_ n  e.  ( 1 ... k ) ( ( 2nd `  ( F `
 n ) )  -  ( 1st `  ( F `  n )
) )  /  C
)  <_  ( (
( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
173129, 172eqbrtrrd 4236 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) `  k
)  <_  ( (
( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
174173ralrimiva 2791 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  (  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
175 ffn 5593 . . . . . 6  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) : NN --> ( 0 [,)  +oo )  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
17632, 175syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )  Fn  NN )
177 breq1 4217 . . . . . 6  |-  ( y  =  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  ->  ( y  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R )  <-> 
(  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) ) )
178177ralrn 5875 . . . . 5  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) )  Fn  NN  ->  ( A. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
179176, 178syl 16 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. y  e. 
ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. k  e.  NN  (  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) `  k )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
180174, 179mpbird 225 . . 3  |-  ( ph  ->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) )
181 supxrleub 10907 . . . 4  |-  ( ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) )  C_  RR* 
/\  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  e. 
RR* )  ->  ( sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R )  <->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  G ) ) y  <_  ( ( ( vol * `  A
)  /  C )  +  R ) ) )
18236, 44, 181syl2anc 644 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
)  <->  A. y  e.  ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) y  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  /  C )  +  R
) ) )
183180, 182mpbird 225 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  G
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
1845, 38, 44, 98, 183xrletrd 10754 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  <_  (
( ( vol * `  A )  /  C
)  +  R ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708   {crab 2711   _Vcvv 2958    i^i cin 3321    C_ wss 3322   <.cop 3819   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ran crn 4881    o. ccom 4884    Fn wfn 5451   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   1stc1st 6349   2ndc2nd 6350   supcsup 7447   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    + caddc 8995    x. cmul 8997    +oocpnf 9119   RR*cxr 9121    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   NNcn 10002   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   (,)cioo 10918   [,)cico 10920   ...cfz 11045    seq cseq 11325   abscabs 12041   sum_csu 12481   vol
*covol 19361
This theorem is referenced by:  ovolscalem2  19412
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-rp 10615  df-ioo 10922  df-ico 10924  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-clim 12284  df-sum 12482  df-ovol 19363
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