MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolsscl Unicode version

Theorem ovolsscl 18898
Description: If a set is contained in another of bounded measure, it too is bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolsscl  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )

Proof of Theorem ovolsscl
StepHypRef Expression
1 sstr 3221 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
213adant3 975 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  A  C_  RR )
3 simp3 957 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  B )  e.  RR )
4 ovolss 18897 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  B ) )
543adant3 975 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  B ) )
6 ovollecl 18895 . 2  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR  /\  ( vol * `  A )  <_  ( vol * `  B ) )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
72, 3, 5, 6syl3anc 1182 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 934    e. wcel 1701    C_ wss 3186   class class class wbr 4060   ` cfv 5292   RRcr 8781    <_ cle 8913   vol *covol 18875
This theorem is referenced by:  ismbl2  18939  cmmbl  18945  nulmbl  18946  nulmbl2  18947  unmbl  18948  volinun  18956  voliunlem1  18960  voliunlem2  18961  volsup  18966  ioombl1lem4  18971  ioombl1  18972  ovolioo  18978  uniioombllem2  18991  uniioombllem3  18993  uniioombllem4  18994  uniioombllem5  18995  uniioombllem6  18996  uniioombl  18997  volcn  19014  vitalilem4  19019  i1fima2  19087  i1fadd  19103  i1fmul  19104  itg1addlem2  19105  i1fres  19113  itg1climres  19122  mbfi1fseqlem4  19126  ftc1lem4  19439  itg2addnclem2  25318  ftc1cnnclem  25338
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-ico 10709  df-fz 10830  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-ovol 18877
  Copyright terms: Public domain W3C validator