MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolssnul Unicode version

Theorem ovolssnul 18950
Description: A subset of a nullset is null. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolssnul  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  =  0 )

Proof of Theorem ovolssnul
StepHypRef Expression
1 ovolss 18948 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  B ) )
213adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  <_  ( vol * `  B ) )
3 simp3 957 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( vol * `  B )  =  0 )
42, 3breqtrd 4128 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  <_  0
)
5 sstr 3263 . . . 4  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR )  ->  A  C_  RR )
653adant3 975 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  ->  A  C_  RR )
7 ovolge0 18944 . . 3  |-  ( A 
C_  RR  ->  0  <_ 
( vol * `  A ) )
86, 7syl 15 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
0  <_  ( vol * `
 A ) )
9 ovolcl 18941 . . . 4  |-  ( A 
C_  RR  ->  ( vol
* `  A )  e.  RR* )
106, 9syl 15 . . 3  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  e.  RR* )
11 0xr 8968 . . 3  |-  0  e.  RR*
12 xrletri3 10578 . . 3  |-  ( ( ( vol * `  A )  e.  RR*  /\  0  e.  RR* )  ->  ( ( vol * `  A )  =  0  <-> 
( ( vol * `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  A )
) ) )
1310, 11, 12sylancl 643 . 2  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( ( vol * `  A )  =  0  <-> 
( ( vol * `  A )  <_  0  /\  0  <_  ( vol
* `  A )
) ) )
144, 8, 13mpbir2and 888 1  |-  ( ( A  C_  B  /\  B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  =  0 )  -> 
( vol * `  A )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710    C_ wss 3228   class class class wbr 4104   ` cfv 5337   RRcr 8826   0cc0 8827   RR*cxr 8956    <_ cle 8958   vol *covol 18926
This theorem is referenced by:  ovolctb2  18955  ovoliunnul  18970  nulmbl  18997  volivth  19066  mbfeqalem  19101  itg10a  19169  itg1ge0a  19170  itgioo  19274  itgsplitioo  19296  voliunnfl  25490
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-er 6747  df-map 6862  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-rp 10447  df-ico 10754  df-fz 10875  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-ovol 18928
  Copyright terms: Public domain W3C validator