MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovolun Unicode version

Theorem ovolun 19356
Description: The Lebesgue outer measure function is finitely sub-additive. (Unlike the stronger ovoliun 19362, this does not require any choice principles.) (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
ovolun  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) ) )

Proof of Theorem ovolun
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpll 731 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
2 simplr 732 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
3 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  x  e.  RR+ )
41, 2, 3ovolunlem2 19355 . . 3  |-  ( ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  x ) )
54ralrimiva 2757 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  A. x  e.  RR+  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  x
) )
6 unss 3489 . . . . . 6  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  <->  ( A  u.  B )  C_  RR )
76biimpi 187 . . . . 5  |-  ( ( A  C_  RR  /\  B  C_  RR )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
87ad2ant2r 728 . . . 4  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( A  u.  B )  C_  RR )
9 ovolcl 19335 . . . 4  |-  ( ( A  u.  B ) 
C_  RR  ->  ( vol
* `  ( A  u.  B ) )  e. 
RR* )
108, 9syl 16 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B ) )  e.  RR* )
11 readdcl 9037 . . . 4  |-  ( ( ( vol * `  A )  e.  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  e.  RR )
1211ad2ant2l 727 . . 3  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  e.  RR )
13 xralrple 10755 . . 3  |-  ( ( ( vol * `  ( A  u.  B
) )  e.  RR*  /\  ( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  e.  RR )  ->  ( ( vol
* `  ( A  u.  B ) )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  <->  A. x  e.  RR+  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  x
) ) )
1410, 12, 13syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  (
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  <->  A. x  e.  RR+  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  x
) ) )
155, 14mpbird 224 1  |-  ( ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR )  /\  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B ) )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    e. wcel 1721   A.wral 2674    u. cun 3286    C_ wss 3288   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   RRcr 8953    + caddc 8957   RR*cxr 9083    <_ cle 9085   RR+crp 10576   vol *covol 19320
This theorem is referenced by:  ovolunnul  19357  ovolfiniun  19358  ismbl2  19384  nulmbl2  19392  unmbl  19393  volun  19400  voliunlem2  19406  uniioombllem3  19438  uniioombllem4  19439  volcn  19459  mblfinlem2  26152  mblfinlem3  26153
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-map 6987  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-ioo 10884  df-ico 10886  df-fz 11008  df-fl 11165  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-ovol 19322
  Copyright terms: Public domain W3C validator