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Theorem ovolunlem1 18909
Description: Lemma for ovolun 18911. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
ovolun.s  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
ovolun.t  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
ovolun.u  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
ovolun.f1  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovolun.f2  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
ovolun.f3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
ovolun.g1  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
ovolun.g2  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
ovolun.g3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
ovolun.h  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Distinct variable groups:    C, n    n, F    A, n    B, n   
n, G    ph, n
Allowed substitution hints:    S( n)    T( n)    U( n)    H( n)

Proof of Theorem ovolunlem1
Dummy variables  k 
z  m are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
21simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
3 ovolun.b . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
43simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
52, 4unssd 3385 . . 3  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  RR )
6 ovolun.g1 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
7 reex 8873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  RR  e.  _V
87, 7xpex 4838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( RR 
X.  RR )  e. 
_V
98inex2 4193 . . . . . . . . . . . . 13  |-  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  e.  _V
10 nnex 9797 . . . . . . . . . . . . 13  |-  NN  e.  _V
119, 10elmap 6839 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( G  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
126, 11sylib 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1312adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  G : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
14 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
n  /  2 )  e.  NN )  -> 
( G `  (
n  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
1513, 14sylan 457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
n  /  2 )  e.  NN )  -> 
( G `  (
n  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
16 nneo 10142 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  NN  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1716adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( n  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
1817con2bid 319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  ( ( ( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
n  /  2 )  e.  NN ) )
1918biimpar 471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  /  2
)  e.  NN )  ->  ( ( n  +  1 )  / 
2 )  e.  NN )
20 ovolun.f1 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
219, 10elmap 6839 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) 
<->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2220, 21sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2322adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  F : NN
--> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
24 ffvelrn 5701 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( F `  (
( n  +  1 )  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2523, 24sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  NN )  -> 
( F `  (
( n  +  1 )  /  2 ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2619, 25syldan 456 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  n  e.  NN )  /\  -.  ( n  /  2
)  e.  NN )  ->  ( F `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
2715, 26ifclda 3626 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  n  e.  NN )  ->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
n  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
28 ovolun.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) )
2927, 28fmptd 5722 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )
30 eqid 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )  =  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
31 ovolun.u . . . . . . . 8  |-  U  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )
3230, 31ovolsf 18885 . . . . . . 7  |-  ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ->  U : NN --> ( 0 [,) 
+oo ) )
3329, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  U : NN --> ( 0 [,)  +oo ) )
34 0re 8883 . . . . . . 7  |-  0  e.  RR
35 pnfxr 10502 . . . . . . 7  |-  +oo  e.  RR*
36 icossre 10777 . . . . . . 7  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  +oo 
e.  RR* )  ->  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )
3734, 35, 36mp2an 653 . . . . . 6  |-  ( 0 [,)  +oo )  C_  RR
38 fss 5435 . . . . . 6  |-  ( ( U : NN --> ( 0 [,)  +oo )  /\  (
0 [,)  +oo )  C_  RR )  ->  U : NN
--> RR )
3933, 37, 38sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  U : NN --> RR )
40 frn 5433 . . . . 5  |-  ( U : NN --> RR  ->  ran 
U  C_  RR )
4139, 40syl 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR )
42 1nn 9802 . . . . . . 7  |-  1  e.  NN
43 1z 10100 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  ZZ
44 seqfn 11105 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4543, 44mp1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  H ) )  Fn  ( ZZ>= `  1 )
)
4631fneq1i 5375 . . . . . . . . . 10  |-  ( U  Fn  NN  <->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
)  Fn  NN )
47 nnuz 10310 . . . . . . . . . . 11  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
4847fneq2i 5376 . . . . . . . . . 10  |-  (  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  NN  <->  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  H
) )  Fn  ( ZZ>=
`  1 ) )
4946, 48bitri 240 . . . . . . . . 9  |-  ( U  Fn  NN  <->  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  H )
)  Fn  ( ZZ>= ` 
1 ) )
5045, 49sylibr 203 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  U  Fn  NN )
51 fndm 5380 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  dom  U  =  NN )
5250, 51syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  dom  U  =  NN )
5342, 52syl5eleqr 2403 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  dom  U
)
54 ne0i 3495 . . . . . 6  |-  ( 1  e.  dom  U  ->  dom  U  =/=  (/) )
5553, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  dom  U  =/=  (/) )
56 dm0rn0 4932 . . . . . 6  |-  ( dom 
U  =  (/)  <->  ran  U  =  (/) )
5756necon3bii 2511 . . . . 5  |-  ( dom 
U  =/=  (/)  <->  ran  U  =/=  (/) )
5855, 57sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ran  U  =/=  (/) )
591simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
603simprd 449 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR )
6159, 60readdcld 8907 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  e.  RR )
62 ovolun.c . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
6362rpred 10437 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  C  e.  RR )
6461, 63readdcld 8907 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C )  e.  RR )
65 ovolun.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  F ) )
66 ovolun.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  G ) )
67 ovolun.f2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F ) )
68 ovolun.f3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  S ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
69 ovolun.g2 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G ) )
70 ovolun.g3 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  sup ( ran  T ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
711, 3, 62, 65, 66, 31, 20, 67, 68, 6, 69, 70, 28ovolunlem1a 18908 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( U `
 k )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) )
7271ralrimiva 2660 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C ) )
73 breq1 4063 . . . . . . . . 9  |-  ( z  =  ( U `  k )  ->  (
z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  <->  ( U `  k )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
7473ralrn 5706 . . . . . . . 8  |-  ( U  Fn  NN  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  <->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C ) ) )
7550, 74syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e. 
ran  U  z  <_  ( ( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  <->  A. k  e.  NN  ( U `  k )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C ) ) )
7672, 75mpbird 223 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
77 breq2 4064 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  ->  ( z  <_ 
k  <->  z  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
7877ralbidv 2597 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  ->  ( A. z  e.  ran  U  z  <_ 
k  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
7978rspcev 2918 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C )  e.  RR  /\ 
A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )  ->  E. k  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  k )
8064, 76, 79syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  E. k  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  k )
81 ressxr 8921 . . . . . . 7  |-  RR  C_  RR*
8241, 81syl6ss 3225 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ran  U  C_  RR* )
83 supxrbnd2 10688 . . . . . 6  |-  ( ran 
U  C_  RR*  ->  ( E. k  e.  RR  A. z  e.  ran  U  z  <_  k  <->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
8482, 83syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( E. k  e.  RR  A. z  e. 
ran  U  z  <_  k  <->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo ) )
8580, 84mpbid 201 . . . 4  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo )
86 supxrbnd 10694 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR  /\ 
ran  U  =/=  (/)  /\  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <  +oo )  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
8741, 58, 85, 86syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR )
88 nncn 9799 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( m  e.  NN  ->  m  e.  CC )
8988adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  CC )
90892timesd 10001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  =  ( m  +  m
) )
9190oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  =  ( ( m  +  m )  -  1 ) )
92 ax-1cn 8840 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1  e.  CC
9392a1i 10 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  1  e.  CC )
9489, 89, 93addsubassd 9222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( m  +  m )  -  1 )  =  ( m  +  ( m  -  1 ) ) )
9591, 94eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  =  ( m  +  ( m  -  1 ) ) )
96 simpr 447 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  m  e.  NN )
97 nnm1nn0 10052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( m  e.  NN  ->  (
m  -  1 )  e.  NN0 )
9897adantl 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  -  1 )  e. 
NN0 )
99 nnnn0addcl 10042 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( m  e.  NN  /\  ( m  -  1
)  e.  NN0 )  ->  ( m  +  ( m  -  1 ) )  e.  NN )
10096, 98, 99syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( m  +  ( m  - 
1 ) )  e.  NN )
10195, 100eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  -  1 )  e.  NN )
102 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
n  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) )
103102eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
104102fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
) ) )
105 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 ) )
106105oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )
107106fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( F `  ( (
n  +  1 )  /  2 ) )  =  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) )
108103, 104, 107ifbieq12d 3621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
109 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
110 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
111109, 110ifex 3657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  _V
112108, 28, 111fvmpt 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  NN  ->  ( H `  ( (
2  x.  m )  -  1 ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) ) )
113101, 112syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) )  =  if ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
114 2nn 9924 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  2  e.  NN
115 nnmulcl 9814 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m
)  e.  NN )
116114, 96, 115sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  e.  NN )
117116nncnd 9807 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( 2  x.  m )  e.  CC )
118 npcan 9105 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  m ) )
119117, 92, 118sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  =  ( 2  x.  m
) )
120119oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  =  ( ( 2  x.  m )  /  2
) )
121 2cn 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  e.  CC
122 2ne0 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =/=  0
123 divcan3 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( m  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
( 2  x.  m
)  /  2 )  =  m )
124121, 122, 123mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( m  e.  CC  ->  (
( 2  x.  m
)  /  2 )  =  m )
12589, 124syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  /  2 )  =  m )
126120, 125eqtrd 2348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  =  m )
127126, 96eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN )
128 nneo 10142 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  e.  NN  ->  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  <->  -.  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
129101, 128syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
130129con2bid 319 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  +  1 )  /  2 )  e.  NN  <->  -.  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN ) )
131127, 130mpbid 201 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  -.  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 )  e.  NN )
132 iffalse 3606 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( -.  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN  ->  if ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2 ) ) )  =  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )
133131, 132syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( ( 2  x.  m )  -  1 )  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( F `  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  +  1 )  /  2
) ) )
134126fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( F `
 ( ( ( ( 2  x.  m
)  -  1 )  +  1 )  / 
2 ) )  =  ( F `  m
) )
135113, 133, 1343eqtrd 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( ( 2  x.  m )  - 
1 ) )  =  ( F `  m
) )
136 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) ) )
137136eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( ( 2  x.  m )  - 
1 )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 m )  <->  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =  ( F `  m ) ) )
138137rspcev 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( 2  x.  m )  -  1 )  e.  NN  /\  ( H `  ( ( 2  x.  m )  -  1 ) )  =  ( F `  m ) )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m ) )
139101, 135, 138syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m ) )
140 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( 1st `  ( H `  k ) )  =  ( 1st `  ( F `  m )
) )
141140breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z
) )
142 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  ( 2nd `  ( H `  k ) )  =  ( 2nd `  ( F `  m )
) )
143142breq2d 4072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( F `
 m ) ) ) )
144141, 143anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) )  <->  ( ( 1st `  ( F `  m ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `
 m ) ) ) ) )
145144biimprcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( F `
 m )  -> 
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
146145reximdv 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  ( E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( F `  m )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
147139, 146syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
148147rexlimdva 2701 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
149148ralimdv 2656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m
) ) )  ->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
150 ovolfioo 18880 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  F : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
1512, 22, 150syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  <->  A. z  e.  A  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( F `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( F `  m )
) ) ) )
152 ovolfioo 18880 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
1532, 29, 152syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  A  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
154149, 151, 1533imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  F )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) ) )
15567, 154mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
156 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
n  /  2 )  =  ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )
157156eleq1d 2382 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( n  /  2
)  e.  NN  <->  ( (
2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ) )
158156fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  ( G `  ( n  /  2 ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) )
159 oveq1 5907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
n  +  1 )  =  ( ( 2  x.  m )  +  1 ) )
160159oveq1d 5915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( n  +  1 )  /  2 )  =  ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) )
161160fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  ( F `  ( (
n  +  1 )  /  2 ) )  =  ( F `  ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2
) ) )
162157, 158, 161ifbieq12d 3621 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  ( 2  x.  m )  ->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( n  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
163 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )  e. 
_V
164 fvex 5577 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) )  e. 
_V
165163, 164ifex 3657 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) )  e.  _V
166162, 28, 165fvmpt 5640 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  m )  e.  NN  ->  ( H `  ( 2  x.  m ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
167116, 166syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( 2  x.  m ) )  =  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN ,  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) ,  ( F `  (
( ( 2  x.  m )  +  1 )  /  2 ) ) ) )
168125, 96eqeltrd 2390 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( 2  x.  m )  /  2 )  e.  NN )
169 iftrue 3605 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  /  2 )  e.  NN  ->  if ( ( ( 2  x.  m )  / 
2 )  e.  NN ,  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) ,  ( F `  ( ( ( 2  x.  m
)  +  1 )  /  2 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) ) )
170168, 169syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  if ( ( ( 2  x.  m )  /  2
)  e.  NN , 
( G `  (
( 2  x.  m
)  /  2 ) ) ,  ( F `
 ( ( ( 2  x.  m )  +  1 )  / 
2 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  m )  /  2
) ) )
171125fveq2d 5567 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( G `
 ( ( 2  x.  m )  / 
2 ) )  =  ( G `  m
) )
172167, 170, 1713eqtrd 2352 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( H `
 ( 2  x.  m ) )  =  ( G `  m
) )
173 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( 2  x.  m )  ->  ( H `  k )  =  ( H `  ( 2  x.  m
) ) )
174173eqeq1d 2324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( 2  x.  m )  ->  (
( H `  k
)  =  ( G `
 m )  <->  ( H `  ( 2  x.  m
) )  =  ( G `  m ) ) )
175174rspcev 2918 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 2  x.  m
)  e.  NN  /\  ( H `  ( 2  x.  m ) )  =  ( G `  m ) )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m ) )
176116, 172, 175syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m ) )
177 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  ( 1st `  ( H `  k ) )  =  ( 1st `  ( G `  m )
) )
178177breq1d 4070 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  <->  ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z
) )
179 fveq2 5563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  ( 2nd `  ( H `  k ) )  =  ( 2nd `  ( G `  m )
) )
180179breq2d 4072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) )  <->  z  <  ( 2nd `  ( G `
 m ) ) ) )
181178, 180anbi12d 691 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  (
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) )  <->  ( ( 1st `  ( G `  m ) )  < 
z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `
 m ) ) ) ) )
182181biimprcd 216 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  (
( H `  k
)  =  ( G `
 m )  -> 
( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
183182reximdv 2688 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  ( E. k  e.  NN  ( H `  k )  =  ( G `  m )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
184176, 183syl5com 26 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  m  e.  NN )  ->  ( ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k
) ) ) ) )
185184rexlimdva 2701 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) )  ->  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
186185ralimdv 2656 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m
) )  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m
) ) )  ->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
187 ovolfioo 18880 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  RR  /\  G : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
1884, 12, 187syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  <->  A. z  e.  B  E. m  e.  NN  ( ( 1st `  ( G `  m )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( G `  m )
) ) ) )
189 ovolfioo 18880 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  C_  RR  /\  H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) ) )  -> 
( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
1904, 29, 189syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H )  <->  A. z  e.  B  E. k  e.  NN  ( ( 1st `  ( H `  k )
)  <  z  /\  z  <  ( 2nd `  ( H `  k )
) ) ) )
191186, 188, 1903imtr4d 259 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  G )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) ) )
19269, 191mpd 14 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
193155, 192unssd 3385 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  u.  B
)  C_  U. ran  ( (,)  o.  H ) )
19431ovollb 18891 . . . 4  |-  ( ( H : NN --> (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  /\  ( A  u.  B )  C_ 
U. ran  ( (,)  o.  H ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
19529, 193, 194syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )
196 ovollecl 18895 . . 3  |-  ( ( ( A  u.  B
)  C_  RR  /\  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  e.  RR  /\  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
1975, 87, 195, 196syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  e.  RR )
19864rexrd 8926 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C )  e.  RR* )
199 supxrleub 10692 . . . 4  |-  ( ( ran  U  C_  RR*  /\  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
)  e.  RR* )  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
20082, 198, 199syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  ( sup ( ran 
U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol * `  A
)  +  ( vol
* `  B )
)  +  C )  <->  A. z  e.  ran  U  z  <_  ( (
( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
20176, 200mpbird 223 . 2  |-  ( ph  ->  sup ( ran  U ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) )
202197, 87, 64, 195, 201letrd 9018 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   E.wrex 2578    u. cun 3184    i^i cin 3185    C_ wss 3186   (/)c0 3489   ifcif 3599   U.cuni 3864   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114    X. cxp 4724   dom cdm 4726   ran crn 4727    o. ccom 4730    Fn wfn 5287   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   1stc1st 6162   2ndc2nd 6163    ^m cmap 6815   supcsup 7238   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    + caddc 8785    x. cmul 8787    +oocpnf 8909   RR*cxr 8911    < clt 8912    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   2c2 9840   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277   RR+crp 10401   (,)cioo 10703   [,)cico 10705    seq cseq 11093   abscabs 11766   vol
*covol 18875
This theorem is referenced by:  ovolunlem2  18910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-er 6702  df-map 6817  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-rp 10402  df-ioo 10707  df-ico 10709  df-fz 10830  df-fl 10972  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-ovol 18877
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