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Theorem ovolunlem2 19395
Description: Lemma for ovolun 19396. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )

Proof of Theorem ovolunlem2
Dummy variables  g  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
21simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
31simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
4 ovolun.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
54rphalfcld 10661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
6 eqid 2437 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)
76ovolgelb 19377 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
9 ovolun.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
109simpld 447 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
119simprd 451 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR )
12 eqid 2437 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)
1312ovolgelb 19377 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
1410, 11, 5, 13syl3anc 1185 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
15 reeanv 2876 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )
1613ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
1793ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
1843ad2ant1 979 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
19 eqid 2437 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2 ) ) ,  ( g `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2
) ) ,  ( g `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
20 simp2l 984 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
21 simp3ll 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g ) )
22 simp3lr 1030 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
23 simp2r 985 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
24 simp3rl 1031 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h ) )
25 simp3rr 1032 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  h
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
26 eqid 2437 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
2716, 17, 18, 6, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26ovolunlem1 19394 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
28273exp 1153 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) ) )
2928rexlimdvv 2837 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )  ->  ( vol * `
 ( A  u.  B ) )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) ) )
3015, 29syl5bir 211 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
318, 14, 30mp2and 662 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    e. wcel 1726   E.wrex 2707    u. cun 3319    i^i cin 3320    C_ wss 3321   ifcif 3740   U.cuni 4016   class class class wbr 4213    e. cmpt 4267    X. cxp 4877   ran crn 4880    o. ccom 4883   ` cfv 5455  (class class class)co 6082    ^m cmap 7019   supcsup 7446   RRcr 8990   1c1 8992    + caddc 8994   RR*cxr 9120    < clt 9121    <_ cle 9122    - cmin 9292    / cdiv 9678   NNcn 10001   2c2 10050   RR+crp 10613   (,)cioo 10917    seq cseq 11324   abscabs 12040   vol
*covol 19360
This theorem is referenced by:  ovolun  19396
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-er 6906  df-map 7021  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-sup 7447  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-rp 10614  df-ioo 10921  df-ico 10923  df-fz 11045  df-fl 11203  df-seq 11325  df-exp 11384  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-ovol 19362
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