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Theorem ovolunlem2 18873
Description: Lemma for ovolun 18874. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jun-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
ovolun.a  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
ovolun.b  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
ovolun.c  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
Assertion
Ref Expression
ovolunlem2  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )

Proof of Theorem ovolunlem2
Dummy variables  g  h  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovolun.a . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
21simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  A  C_  RR )
31simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  A )  e.  RR )
4 ovolun.c . . . 4  |-  ( ph  ->  C  e.  RR+ )
54rphalfcld 10418 . . 3  |-  ( ph  ->  ( C  /  2
)  e.  RR+ )
6 eqid 2296 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
)
76ovolgelb 18855 . . 3  |-  ( ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
82, 3, 5, 7syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
9 ovolun.b . . . 4  |-  ( ph  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
109simpld 445 . . 3  |-  ( ph  ->  B  C_  RR )
119simprd 449 . . 3  |-  ( ph  ->  ( vol * `  B )  e.  RR )
12 eqid 2296 . . . 4  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)  =  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
)
1312ovolgelb 18855 . . 3  |-  ( ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR  /\  ( C  /  2 )  e.  RR+ )  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )
1410, 11, 5, 13syl3anc 1182 . 2  |-  ( ph  ->  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )
15 reeanv 2720 . . 3  |-  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  <->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )
1613ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( A  C_  RR  /\  ( vol * `  A )  e.  RR ) )
1793ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( B  C_  RR  /\  ( vol * `  B )  e.  RR ) )
1843ad2ant1 976 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  C  e.  RR+ )
19 eqid 2296 . . . . . 6  |-  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2 ) ) ,  ( g `  ( ( n  + 
1 )  /  2
) ) ) ) ) )  =  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  (
n  e.  NN  |->  if ( ( n  / 
2 )  e.  NN ,  ( h `  ( n  /  2
) ) ,  ( g `  ( ( n  +  1 )  /  2 ) ) ) ) ) )
20 simp2l 981 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
21 simp3ll 1026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g ) )
22 simp3lr 1027 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  g
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )
23 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )
24 simp3rl 1028 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h ) )
25 simp3rr 1029 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  sup ( ran  seq  1 (  +  , 
( ( abs  o.  -  )  o.  h
) ) ,  RR* ,  <  )  <_  (
( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) )
26 eqid 2296 . . . . . 6  |-  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )  =  ( n  e.  NN  |->  if ( ( n  /  2
)  e.  NN , 
( h `  (
n  /  2 ) ) ,  ( g `
 ( ( n  +  1 )  / 
2 ) ) ) )
2716, 17, 18, 6, 12, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 25, 26ovolunlem1 18872 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  /\  ( ( A 
C_  U. ran  ( (,) 
o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) ) )  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
28273exp 1150 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN )  /\  h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) )  ->  ( ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  A )  +  ( C  / 
2 ) ) )  /\  ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) ) )
2928rexlimdvv 2686 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( ( A  C_  U. ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran 
seq  1 (  +  ,  ( ( abs 
o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  ( B  C_  U. ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1
(  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h )
) ,  RR* ,  <  )  <_  ( ( vol
* `  B )  +  ( C  / 
2 ) ) ) )  ->  ( vol * `
 ( A  u.  B ) )  <_ 
( ( ( vol
* `  A )  +  ( vol * `  B ) )  +  C ) ) )
3015, 29syl5bir 209 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( E. g  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( A  C_  U.
ran  ( (,)  o.  g )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  g ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  A )  +  ( C  /  2 ) ) )  /\  E. h  e.  ( (  <_  i^i  ( RR  X.  RR ) )  ^m  NN ) ( B  C_  U.
ran  ( (,)  o.  h )  /\  sup ( ran  seq  1 (  +  ,  ( ( abs  o.  -  )  o.  h ) ) , 
RR* ,  <  )  <_ 
( ( vol * `  B )  +  ( C  /  2 ) ) ) )  -> 
( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) ) )
318, 14, 30mp2and 660 1  |-  ( ph  ->  ( vol * `  ( A  u.  B
) )  <_  (
( ( vol * `  A )  +  ( vol * `  B
) )  +  C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    e. wcel 1696   E.wrex 2557    u. cun 3163    i^i cin 3164    C_ wss 3165   ifcif 3578   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    o. ccom 4709   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   supcsup 7209   RRcr 8752   1c1 8754    + caddc 8756   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   RR+crp 10370   (,)cioo 10672    seq cseq 11062   abscabs 11735   vol
*covol 18838
This theorem is referenced by:  ovolun  18874
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-map 6790  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-rp 10371  df-ioo 10676  df-ico 10678  df-fz 10799  df-fl 10941  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-ovol 18840
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