MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovresd Unicode version

Theorem ovresd 6154
Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovresd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
ovresd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovresd  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd
StepHypRef Expression
1 ovresd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 ovresd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3 ovres 6153 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1717    X. cxp 4817    |` cres 4821  (class class class)co 6021
This theorem is referenced by:  sscres  13951  fullsubc  13975  fullresc  13976  funcres2c  14026  xmetres2  18300  prdsdsf  18306  xpsdsval  18320  xmssym  18386  xmstri2  18387  mstri2  18388  xmstri  18389  mstri  18390  xmstri3  18391  mstri3  18392  msrtri  18393  tmsxpsval  18459  ngptgp  18549  nlmvscn  18595  nrginvrcn  18599  nghmcn  18651  cnmpt1ds  18745  cnmpt2ds  18746  ipcn  19072  caussi  19122  causs  19123  minveclem2  19195  minveclem3b  19197  minveclem3  19198  minveclem4  19201  minveclem6  19203  ftc1lem6  19793  ulmdvlem1  20184  abelth  20225  cxpcn3  20500  rlimcnp  20672  hhssnv  22613  qqhcn  24175  qqhucn  24176  ftc1cnnc  25980  ismtyres  26209  isdrngo2  26266
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pr 4345
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-rab 2659  df-v 2902  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-br 4155  df-opab 4209  df-xp 4825  df-res 4831  df-iota 5359  df-fv 5403  df-ov 6024
  Copyright terms: Public domain W3C validator