MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovresd Unicode version

Theorem ovresd 5988
Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovresd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
ovresd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovresd  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd
StepHypRef Expression
1 ovresd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 ovresd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3 ovres 5987 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1623    e. wcel 1684    X. cxp 4687    |` cres 4691  (class class class)co 5858
This theorem is referenced by:  sscres  13700  fullsubc  13724  fullresc  13725  funcres2c  13775  xmssym  18011  xmstri2  18012  mstri2  18013  xmstri  18014  mstri  18015  xmstri3  18016  mstri3  18017  msrtri  18018  tmsxpsval  18084  ngptgp  18152  nlmvscn  18198  nrginvrcn  18202  nghmcn  18254  cnmpt1ds  18347  cnmpt2ds  18348  ipcn  18673  caussi  18723  causs  18724  minveclem2  18790  minveclem3b  18792  minveclem3  18793  minveclem4  18796  minveclem6  18798  ftc1lem6  19388  ulmdvlem1  19777  abelth  19817  cxpcn3  20088  rlimcnp  20260  hhssnv  21841  raddcn  23302  ismtyres  26532  isdrngo2  26589
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-xp 4695  df-res 4701  df-iota 5219  df-fv 5263  df-ov 5861
  Copyright terms: Public domain W3C validator