MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovresd Structured version   Unicode version

Theorem ovresd 6206
Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovresd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
ovresd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovresd  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd
StepHypRef Expression
1 ovresd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 ovresd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3 ovres 6205 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
41, 2, 3syl2anc 643 1  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725    X. cxp 4868    |` cres 4872  (class class class)co 6073
This theorem is referenced by:  sscres  14015  fullsubc  14039  fullresc  14040  funcres2c  14090  psmetres2  18337  xmetres2  18383  prdsdsf  18389  xpsdsval  18403  xmssym  18487  xmstri2  18488  mstri2  18489  xmstri  18490  mstri  18491  xmstri3  18492  mstri3  18493  msrtri  18494  tmsxpsval  18560  ngptgp  18669  nlmvscn  18715  nrginvrcn  18719  nghmcn  18771  cnmpt1ds  18865  cnmpt2ds  18866  ipcn  19192  caussi  19242  causs  19243  minveclem2  19319  minveclem3b  19321  minveclem3  19322  minveclem4  19325  minveclem6  19327  ftc1lem6  19917  ulmdvlem1  20308  abelth  20349  cxpcn3  20624  rlimcnp  20796  hhssnv  22756  qqhcn  24367  qqhucn  24368  ftc1cnnc  26269  ismtyres  26498  isdrngo2  26555
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pr 4395
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-xp 4876  df-res 4882  df-iota 5410  df-fv 5454  df-ov 6076
  Copyright terms: Public domain W3C validator