MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ovresd Unicode version

Theorem ovresd 6004
Description: Lemma for converting metric theorems to metric space theorems. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Oct-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
ovresd.1  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
ovresd.2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
Assertion
Ref Expression
ovresd  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )

Proof of Theorem ovresd
StepHypRef Expression
1 ovresd.1 . 2  |-  ( ph  ->  A  e.  X )
2 ovresd.2 . 2  |-  ( ph  ->  B  e.  X )
3 ovres 6003 . 2  |-  ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
41, 2, 3syl2anc 642 1  |-  ( ph  ->  ( A ( D  |`  ( X  X.  X
) ) B )  =  ( A D B ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1632    e. wcel 1696    X. cxp 4703    |` cres 4707  (class class class)co 5874
This theorem is referenced by:  sscres  13716  fullsubc  13740  fullresc  13741  funcres2c  13791  xmssym  18027  xmstri2  18028  mstri2  18029  xmstri  18030  mstri  18031  xmstri3  18032  mstri3  18033  msrtri  18034  tmsxpsval  18100  ngptgp  18168  nlmvscn  18214  nrginvrcn  18218  nghmcn  18270  cnmpt1ds  18363  cnmpt2ds  18364  ipcn  18689  caussi  18739  causs  18740  minveclem2  18806  minveclem3b  18808  minveclem3  18809  minveclem4  18812  minveclem6  18814  ftc1lem6  19404  ulmdvlem1  19793  abelth  19833  cxpcn3  20104  rlimcnp  20276  hhssnv  21857  raddcn  23317  ftc1cnnc  25025  ismtyres  26635  isdrngo2  26692
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pr 4230
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-xp 4711  df-res 4717  df-iota 5235  df-fv 5279  df-ov 5877
  Copyright terms: Public domain W3C validator