Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  oyoncl Structured version   Unicode version

Theorem oyoncl 14367
 Description: The opposite Yoneda embedding is a functor from oppCat to the functor category . (Contributed by Mario Carneiro, 26-Jan-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
oyoncl.o oppCat
oyoncl.y Yon
oyoncl.c
oyoncl.s
oyoncl.u
oyoncl.h f
oyoncl.q FuncCat
Assertion
Ref Expression
oyoncl

Proof of Theorem oyoncl
StepHypRef Expression
1 oyoncl.y . . 3 Yon
2 oyoncl.c . . . 4
3 oyoncl.o . . . . 5 oppCat
43oppccat 13948 . . . 4
52, 4syl 16 . . 3
6 eqid 2436 . . 3 oppCat oppCat
7 oyoncl.s . . 3
8 eqid 2436 . . 3 oppCat FuncCat oppCat FuncCat
9 oyoncl.u . . 3
10 eqid 2436 . . . . . . 7 f f
113, 10oppchomf 13946 . . . . . 6 tpos f f
1211rneqi 5096 . . . . 5 tpos f f
13 relxp 4983 . . . . . . 7
14 eqid 2436 . . . . . . . . . 10
1510, 14homffn 13919 . . . . . . . . 9 f
16 fndm 5544 . . . . . . . . 9 f f
1715, 16ax-mp 8 . . . . . . . 8 f
1817releqi 4960 . . . . . . 7 f
1913, 18mpbir 201 . . . . . 6 f
20 rntpos 6492 . . . . . 6 f tpos f f
2119, 20ax-mp 8 . . . . 5 tpos f f
2212, 21eqtr3i 2458 . . . 4 f f
23 oyoncl.h . . . 4 f
2422, 23syl5eqss 3392 . . 3 f
251, 5, 6, 7, 8, 9, 24yoncl 14359 . 2 oppCat FuncCat
26 oyoncl.q . . . 4 FuncCat
2732oppchomf 13950 . . . . . 6 f f oppCat
2827a1i 11 . . . . 5 f f oppCat
2932oppccomf 13951 . . . . . 6 compf compfoppCat
3029a1i 11 . . . . 5 compf compfoppCat
31 eqidd 2437 . . . . 5 f f
32 eqidd 2437 . . . . 5 compf compf
336oppccat 13948 . . . . . 6 oppCat
345, 33syl 16 . . . . 5 oppCat
357setccat 14240 . . . . . 6
369, 35syl 16 . . . . 5
3728, 30, 31, 32, 2, 34, 36, 36fucpropd 14174 . . . 4 FuncCat oppCat FuncCat
3826, 37syl5eq 2480 . . 3 oppCat FuncCat
3938oveq2d 6097 . 2 oppCat FuncCat
4025, 39eleqtrrd 2513 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wceq 1652   wcel 1725   wss 3320   cxp 4876   cdm 4878   crn 4879   wrel 4883   wfn 5449  cfv 5454  (class class class)co 6081  tpos ctpos 6478  cbs 13469  ccat 13889   f chomf 13891  compfccomf 13892  oppCatcoppc 13937   cfunc 14051   FuncCat cfuc 14139  csetc 14230  Yoncyon 14346 This theorem is referenced by:  oyon1cl  14368 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-tpos 6479  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-fz 11044  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-hom 13553  df-cco 13554  df-cat 13893  df-cid 13894  df-homf 13895  df-comf 13896  df-oppc 13938  df-func 14055  df-nat 14140  df-fuc 14141  df-setc 14231  df-xpc 14269  df-curf 14311  df-hof 14347  df-yon 14348
 Copyright terms: Public domain W3C validator