Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd01 Structured version   Unicode version

Theorem padd01 30535
Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
padd01  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )

Proof of Theorem padd01
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  B )
2 simpr 448 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  X  C_  A )
3 0ss 3648 . . . . 5  |-  (/)  C_  A
43a1i 11 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  (/)  C_  A )
51, 2, 43jca 1134 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  (/)  C_  A ) )
6 neirr 2603 . . . 4  |-  -.  (/)  =/=  (/)
76intnan 881 . . 3  |-  -.  ( X  =/=  (/)  /\  (/)  =/=  (/) )
8 padd0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 padd0.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
108, 9paddval0 30534 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  (/)  C_  A )  /\  -.  ( X  =/=  (/)  /\  (/)  =/=  (/) ) )  ->  ( X  .+  (/) )  =  ( X  u.  (/) ) )
115, 7, 10sylancl 644 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  ( X  u.  (/) ) )
12 un0 3644 . 2  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
1311, 12syl6eq 2483 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Atomscatm 29988   + Pcpadd 30519
This theorem is referenced by:  paddasslem17  30560  pmodlem2  30571
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-padd 30520
  Copyright terms: Public domain W3C validator