Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  padd02 Unicode version

Theorem padd02 30623
Description: Projective subspace sum with an empty set. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
padd02  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( (/)  .+  X )  =  X )

Proof of Theorem padd02
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  B )
2 0ss 3496 . . . . 5  |-  (/)  C_  A
32a1i 10 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  (/)  C_  A )
4 simpr 447 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  ->  X  C_  A )
51, 3, 43jca 1132 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( K  e.  B  /\  (/)  C_  A  /\  X  C_  A ) )
6 neirr 2464 . . . 4  |-  -.  (/)  =/=  (/)
76intnanr 881 . . 3  |-  -.  ( (/) 
=/=  (/)  /\  X  =/=  (/) )
8 padd0.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 padd0.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
108, 9paddval0 30621 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  B  /\  (/)  C_  A  /\  X  C_  A )  /\  -.  ( (/)  =/=  (/)  /\  X  =/=  (/) ) )  -> 
( (/)  .+  X )  =  ( (/)  u.  X
) )
115, 7, 10sylancl 643 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( (/)  .+  X )  =  ( (/)  u.  X
) )
12 uncom 3332 . . 3  |-  ( (/)  u.  X )  =  ( X  u.  (/) )
13 un0 3492 . . 3  |-  ( X  u.  (/) )  =  X
1412, 13eqtri 2316 . 2  |-  ( (/)  u.  X )  =  X
1511, 14syl6eq 2344 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A )  -> 
( (/)  .+  X )  =  X )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    u. cun 3163    C_ wss 3165   (/)c0 3468   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Atomscatm 30075   + Pcpadd 30606
This theorem is referenced by:  paddasslem17  30647  pmodlem2  30658  pmapjat1  30664  osumclN  30778  pexmidALTN  30789
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-padd 30607
  Copyright terms: Public domain W3C validator