Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem10 Unicode version

Theorem paddasslem10 30018
Description: Lemma for paddass 30027. Use paddasslem4 30012 to eliminate  s from paddasslem9 30017. (Contributed by NM, 9-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )

Proof of Theorem paddasslem10
Dummy variable  s is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpl11 1030 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl3l 1010 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  A )
3 simpl3r 1011 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  r  e.  A )
41, 2, 33jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A ) )
5 an6 1261 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  <->  ( ( X  C_  A  /\  x  e.  X )  /\  ( Y  C_  A  /\  y  e.  Y )  /\  ( Z  C_  A  /\  z  e.  Z ) ) )
6 ssel2 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  A  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  A )
7 ssel2 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  A  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  A )
8 ssel2 3175 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  C_  A  /\  z  e.  Z )  ->  z  e.  A )
96, 7, 83anim123i 1137 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  A  /\  x  e.  X
)  /\  ( Y  C_  A  /\  y  e.  Y )  /\  ( Z  C_  A  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )
105, 9sylbi 187 . . . . 5  |-  ( ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)
11103ad2antl2 1118 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )
1211adantrr 697 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )
13 simpl12 1031 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  =/=  z )
14 simpl13 1032 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  x  =/=  y )
15 simprr1 1003 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( x  .\/  y
) )
1613, 14, 153jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x  .\/  y
) ) )
17 simprr2 1004 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  .<_  ( x  .\/  r ) )
18 simprr3 1005 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  r  .<_  ( y  .\/  z ) )
19 paddasslem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
20 paddasslem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
21 paddasslem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2219, 20, 21paddasslem4 30012 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  e.  A  /\  r  e.  A )  /\  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )  /\  ( p  =/=  z  /\  x  =/=  y  /\  -.  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )  /\  ( p 
.<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( s  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  s  .<_  ( p  .\/  z ) ) )
234, 12, 16, 17, 18, 22syl32anc 1190 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  E. s  e.  A  ( s  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  s  .<_  ( p  .\/  z ) ) )
24 simpl2 959 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A
) )
25 simpl3 960 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  r  e.  A ) )
261, 24, 253jca 1132 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
) )
2726adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
) )
28 simplrl 736 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )
2915, 18jca 518 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )
3029adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )
31 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  s  e.  A
)
32 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )
33 simprrr 741 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  s  .<_  ( p 
.\/  z ) )
3431, 32, 333jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )
35 paddasslem.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
3619, 20, 21, 35paddasslem9 30017 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
3727, 28, 30, 34, 36syl13anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  /\  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
3837exp32 588 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( s  e.  A  ->  ( ( s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) )
3938rexlimdv 2666 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  ( E. s  e.  A  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
4023, 39mpd 14 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  paddasslem14  30022
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-padd 29985
  Copyright terms: Public domain W3C validator