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Theorem paddasslem14 30567
Description: Lemma for paddass 30572. Remove  p  =/=  z,  x  =/=  y, and  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) from antecedent of paddasslem10 30563, using paddasslem11 30564, paddasslem12 30565, and paddasslem13 30566. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddasslem11 30564 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) )
653ad2antr3 1124 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
76ex 424 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
87adantrd 455 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
98a1d 23 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
109exp31 588 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
11 3simpb 955 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( K  e.  HL  /\  x  =  y ) )
12113anim1i 1140 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A ) ) )
13 3simpc 956 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )
1413anim1i 552 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )
151, 2, 3, 4paddasslem12 30565 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
1612, 14, 15syl2an 464 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
17163exp1 1169 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
18173expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =  y  ->  ( ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  (
( p  e.  A  /\  r  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) ) )
19 3simpa 954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z ) )
20193anim1i 1140 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
) )
21 3simpa 954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )
22 3simpa 954 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) )
2321, 22anim12i 550 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )
241, 2, 3, 4paddasslem13 30566 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2520, 23, 24syl2an 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
2625expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
27263expd 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
281, 2, 3, 4paddasslem10 30563 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2928expr 599 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
30293expd 1170 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  ->  ( p  .<_  ( x  .\/  r )  ->  ( r  .<_  ( y  .\/  z
)  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) )
3127, 30pm2.61d 152 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
3231imp3a 421 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
3332expimpd 587 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
34333exp 1152 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
35343expia 1155 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =/=  y  ->  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3618, 35pm2.61dne 2675 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
3736ex 424 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =/=  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3810, 37pm2.61dne 2675 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
39383imp1 1166 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   + Pcpadd 30529
This theorem is referenced by:  paddasslem15  30568
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-padd 30530
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