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Theorem paddasslem14 30022
Description: Lemma for paddass 30027. Remove  p  =/=  z,  x  =/=  y, and  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) from antecedent of paddasslem10 30018, using paddasslem11 30019, paddasslem12 30020, and paddasslem13 30021. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddasslem11 30019 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) )
653ad2antr3 1122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
76ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
87adantrd 454 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
98a1d 22 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
109exp31 587 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
11 3simpb 953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( K  e.  HL  /\  x  =  y ) )
12113anim1i 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A ) ) )
13 3simpc 954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )
1413anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )
151, 2, 3, 4paddasslem12 30020 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
1612, 14, 15syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
17163exp1 1167 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
18173expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =  y  ->  ( ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  (
( p  e.  A  /\  r  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) ) )
19 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z ) )
20193anim1i 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
) )
21 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )
22 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) )
2321, 22anim12i 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )
241, 2, 3, 4paddasslem13 30021 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2520, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
2625expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
27263expd 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
281, 2, 3, 4paddasslem10 30018 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2928expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
30293expd 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  ->  ( p  .<_  ( x  .\/  r )  ->  ( r  .<_  ( y  .\/  z
)  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) )
3127, 30pm2.61d 150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
3231imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
3332expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
34333exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
35343expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =/=  y  ->  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3618, 35pm2.61dne 2523 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =/=  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3810, 37pm2.61dne 2523 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
39383imp1 1164 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446    C_ wss 3152   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  paddasslem15  30023
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-padd 29985
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