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Theorem paddasslem14 30644
Description: Lemma for paddass 30649. Remove  p  =/=  z,  x  =/=  y, and  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) from antecedent of paddasslem10 30640, using paddasslem11 30641, paddasslem12 30642, and paddasslem13 30643. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem14
StepHypRef Expression
1 paddasslem.l . . . . . . . . 9  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 paddasslem.j . . . . . . . . 9  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 paddasslem.a . . . . . . . . 9  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 paddasslem.p . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddasslem11 30641 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) )
653ad2antr3 1122 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
76ex 423 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
87adantrd 454 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
98a1d 22 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  ( (
p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
109exp31 587 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
11 3simpb 953 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( K  e.  HL  /\  x  =  y ) )
12113anim1i 1138 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A ) ) )
13 3simpc 954 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )
1413anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )
151, 2, 3, 4paddasslem12 30642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
1612, 14, 15syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
17163exp1 1167 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =  y )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
18173expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =  y  ->  ( ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  (
( p  e.  A  /\  r  e.  A
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) ) )
19 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z ) )
20193anim1i 1138 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
) )
21 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
) )
22 3simpa 952 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) )
2321, 22anim12i 549 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) ) )  ->  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )
241, 2, 3, 4paddasslem13 30643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2520, 23, 24syl2an 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
2625expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
27263expd 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
281, 2, 3, 4paddasslem10 30640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
2928expr 598 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
30293expd 1168 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  ->  ( p  .<_  ( x  .\/  r )  ->  ( r  .<_  ( y  .\/  z
)  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) ) )
3127, 30pm2.61d 150 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) )
3231imp3a 420 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( ( p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
3332expimpd 586 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  (
p  e.  A  /\  r  e.  A )
)  ->  ( (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
34333exp 1150 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z  /\  x  =/=  y )  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
35343expia 1153 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( x  =/=  y  ->  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3618, 35pm2.61dne 2536 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  p  =/=  z )  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
3736ex 423 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  (
p  =/=  z  -> 
( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) ) )
3810, 37pm2.61dne 2536 . 2  |-  ( K  e.  HL  ->  (
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  -> 
( ( p  e.  A  /\  r  e.  A )  ->  (
( ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  (
p  .<_  ( x  .\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
39383imp1 1164 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   + Pcpadd 30606
This theorem is referenced by:  paddasslem15  30645
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-padd 30607
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