Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem15 Unicode version

Theorem paddasslem15 30645
Description: Lemma for paddass 30649. Use elpaddn0 30611 to eliminate  y and  z from paddasslem14 30644. (Contributed by NM, 11-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )

Proof of Theorem paddasslem15
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simpr2r 1015 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  r  e.  ( Y  .+  Z ) )
2 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 30175 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simpl22 1034 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  Y  C_  A
)
6 simpl23 1035 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  Z  C_  A
)
7 simpl3 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )
8 paddasslem.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 paddasslem.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
10 paddasslem.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 paddasslem.p . . . . 5  |-  .+  =  ( + P `  K
)
128, 9, 10, 11elpaddn0 30611 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  -> 
( r  e.  ( Y  .+  Z )  <-> 
( r  e.  A  /\  E. y  e.  Y  E. z  e.  Z  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )
134, 5, 6, 7, 12syl31anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  ( r  e.  ( Y  .+  Z
)  <->  ( r  e.  A  /\  E. y  e.  Y  E. z  e.  Z  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )
141, 13mpbid 201 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  ( r  e.  A  /\  E. y  e.  Y  E. z  e.  Z  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )
15 simp11 985 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  K  e.  HL )
16 simp12 986 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )
17 simp21 988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  A )
18 simp31 991 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
r  e.  A )
1917, 18jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )
20 simp22l 1074 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  x  e.  X )
21 simp32l 1080 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
y  e.  Y )
22 simp32r 1081 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
z  e.  Z )
2320, 21, 223jca 1132 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )
24 simp23 990 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  .<_  ( x  .\/  r ) )
25 simp33 993 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
r  .<_  ( y  .\/  z ) )
2624, 25jca 518 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  -> 
( p  .<_  ( x 
.\/  r )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) )
278, 9, 10, 11paddasslem14 30644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  .<_  ( x  .\/  r
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
2815, 16, 19, 23, 26, 27syl32anc 1190 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) )  /\  ( r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
29283expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  ( (
r  e.  A  /\  ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
30293expd 1168 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  ( r  e.  A  ->  ( ( y  e.  Y  /\  z  e.  Z )  ->  ( r  .<_  ( y 
.\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) ) ) )
3130imp 418 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  (
p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  /\  r  e.  A )  ->  (
( y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  ->  ( r  .<_  ( y  .\/  z
)  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) ) )
3231rexlimdvv 2686 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X 
C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  (
p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  /\  r  e.  A )  ->  ( E. y  e.  Y  E. z  e.  Z  r  .<_  ( y  .\/  z )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
3332expimpd 586 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  ( (
r  e.  A  /\  E. y  e.  Y  E. z  e.  Z  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
3414, 33mpd 14 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  /\  ( p  e.  A  /\  ( x  e.  X  /\  r  e.  ( Y  .+  Z ) )  /\  p  .<_  ( x 
.\/  r ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   E.wrex 2557    C_ wss 3165   (/)c0 3468   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   + Pcpadd 30606
This theorem is referenced by:  paddasslem16  30646
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-padd 30607
  Copyright terms: Public domain W3C validator