Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem17 Structured version   Unicode version

Theorem paddasslem17 30633
Description: Lemma for paddass 30635. The case when at least one sum argument is empty. (Contributed by NM, 12-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddass.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddass.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )

Proof of Theorem paddasslem17
StepHypRef Expression
1 ianor 475 . . . 4  |-  ( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <->  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  \/  -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )
2 ianor 475 . . . . . 6  |-  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( -.  X  =/=  (/)  \/  -.  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) ) )
3 nne 2605 . . . . . . 7  |-  ( -.  X  =/=  (/)  <->  X  =  (/) )
4 nne 2605 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( Y  .+  Z
)  =/=  (/)  <->  ( Y  .+  Z )  =  (/) )
53, 4orbi12i 508 . . . . . 6  |-  ( ( -.  X  =/=  (/)  \/  -.  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( X  =  (/)  \/  ( Y 
.+  Z )  =  (/) ) )
62, 5bitri 241 . . . . 5  |-  ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  <->  ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) ) )
7 ianor 475 . . . . . 6  |-  ( -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) )  <->  ( -.  Y  =/=  (/)  \/  -.  Z  =/=  (/) ) )
8 nne 2605 . . . . . . 7  |-  ( -.  Y  =/=  (/)  <->  Y  =  (/) )
9 nne 2605 . . . . . . 7  |-  ( -.  Z  =/=  (/)  <->  Z  =  (/) )
108, 9orbi12i 508 . . . . . 6  |-  ( ( -.  Y  =/=  (/)  \/  -.  Z  =/=  (/) )  <->  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )
117, 10bitri 241 . . . . 5  |-  ( -.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) )  <->  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )
126, 11orbi12i 508 . . . 4  |-  ( ( -.  ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  \/ 
-.  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <-> 
( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) ) )
131, 12bitri 241 . . 3  |-  ( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  <->  ( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) ) )
14 paddass.a . . . . . . . . . . 11  |-  A  =  ( Atoms `  K )
15 paddass.p . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( + P `  K
)
1614, 15paddssat 30611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( Y  .+  Z )  C_  A )
17163adant3r1 1162 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  .+  Z
)  C_  A )
1814, 15padd02 30609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( Y  .+  Z ) 
C_  A )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  Z
) )
1917, 18syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( Y  .+  Z
) )
2014, 15padd02 30609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( (/)  .+  Y )  =  Y )
21203ad2antr2 1123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  Y )  =  Y )
2221oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )  =  ( Y  .+  Z ) )
2319, 22eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )
)
24 oveq1 6088 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( (/)  .+  ( Y 
.+  Z ) ) )
25 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( X  =  (/)  ->  ( X 
.+  Y )  =  ( (/)  .+  Y ) )
2625oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( X  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( (/)  .+  Y
)  .+  Z )
)
2724, 26eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( X  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( (/)  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( (/)  .+  Y )  .+  Z
) ) )
2823, 27syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
29 eqimss 3400 . . . . . 6  |-  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
3028, 29syl6 31 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
3114, 15padd01 30608 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
32313ad2antr1 1122 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  (/) )  =  X )
3314, 15sspadd1 30612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  ( X  .+  Y
) )
34333adant3r3 1164 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  X  C_  ( X  .+  Y ) )
35 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  K  e.  HL )
3614, 15paddssat 30611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
37363adant3r3 1164 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  A )
38 simpr3 965 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  Z  C_  A )
3914, 15sspadd1 30612 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A  /\  Z  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
4035, 37, 38, 39syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  Y
)  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
4134, 40sstrd 3358 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  ->  X  C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) )
4232, 41eqsstrd 3382 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  (/) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
43 oveq2 6089 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  (/) ) )
4443sseq1d 3375 . . . . . 6  |-  ( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  (/) )  C_  (
( X  .+  Y
)  .+  Z )
) )
4542, 44syl5ibrcom 214 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  .+  Z )  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
4630, 45jaod 370 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
4714, 15padd02 30609 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Z  C_  A )  -> 
( (/)  .+  Z )  =  Z )
48473ad2antr3 1124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( (/)  .+  Z )  =  Z )
4948oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( X  .+  Z
) )
5032oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  .+  (/) )  .+  Z )  =  ( X  .+  Z ) )
5149, 50eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) )
52 oveq1 6088 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( Y 
.+  Z )  =  ( (/)  .+  Z ) )
5352oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  ( (/)  .+  Z ) ) )
54 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( X 
.+  Y )  =  ( X  .+  (/) ) )
5554oveq1d 6096 . . . . . . . 8  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) )
5653, 55eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( Y  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  ( (/)  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  (/) )  .+  Z ) ) )
5751, 56syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
5814, 15padd01 30608 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Y  C_  A )  -> 
( Y  .+  (/) )  =  Y )
59583ad2antr2 1123 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Y  .+  (/) )  =  Y )
6059oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( X  .+  Y
) )
6114, 15padd01 30608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  A )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (/) )  =  ( X  .+  Y
) )
6237, 61syldan 457 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( X  .+  Y )  .+  (/) )  =  ( X  .+  Y
) )
6360, 62eqtr4d 2471 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (/) ) )
64 oveq2 6089 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( Y 
.+  Z )  =  ( Y  .+  (/) ) )
6564oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( X 
.+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( X  .+  ( Y  .+  (/) ) ) )
66 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z )  =  ( ( X  .+  Y )  .+  (/) ) )
6765, 66eqeq12d 2450 . . . . . . 7  |-  ( Z  =  (/)  ->  ( ( X  .+  ( Y 
.+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z )  <->  ( X  .+  ( Y  .+  (/) ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  (/) ) ) )
6863, 67syl5ibrcom 214 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( Z  =  (/)  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
6957, 68jaod 370 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  =  ( ( X  .+  Y ) 
.+  Z ) ) )
7069, 29syl6 31 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) ) )
7146, 70jaod 370 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( ( ( X  =  (/)  \/  ( Y  .+  Z )  =  (/) )  \/  ( Y  =  (/)  \/  Z  =  (/) ) )  -> 
( X  .+  ( Y  .+  Z ) ) 
C_  ( ( X 
.+  Y )  .+  Z ) ) )
7213, 71syl5bi 209 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )  -> 
( -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) ) )
73723impia 1150 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  -.  ( ( X  =/=  (/)  /\  ( Y  .+  Z )  =/=  (/) )  /\  ( Y  =/=  (/)  /\  Z  =/=  (/) ) ) )  ->  ( X  .+  ( Y  .+  Z ) )  C_  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599    C_ wss 3320   (/)c0 3628   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   Atomscatm 30061   HLchlt 30148   + Pcpadd 30592
This theorem is referenced by:  paddasslem18  30634
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-padd 30593
  Copyright terms: Public domain W3C validator