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Theorem paddasslem5 30558
Description: Lemma for paddass 30572. Show  s  =/=  z by contradiction. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
paddasslem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  =/=  z )

Proof of Theorem paddasslem5
StepHypRef Expression
1 breq1 4207 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  z  ->  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  <->  z  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
21biimpac 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  =  z )  -> 
z  .<_  ( x  .\/  y ) )
3 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 paddasslem.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 simpll1 996 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  K  e.  HL )
6 hllat 30098 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
75, 6syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  K  e.  Lat )
8 simpll2 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  e.  A )
9 paddasslem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
103, 9atbase 30024 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
118, 10syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
12 simp32 994 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
1312ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
y  e.  A )
143, 9atbase 30024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
y  e.  ( Base `  K ) )
16 simp33 995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
1716ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
z  e.  A )
183, 9atbase 30024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
20 paddasslem.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
213, 20latjcl 14471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
y  .\/  z )  e.  ( Base `  K
) )
227, 15, 19, 21syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( y  .\/  z
)  e.  ( Base `  K ) )
23 simp31 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
2423ad2antrr 707 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  x  e.  A )
253, 9atbase 30024 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
273, 20latjcl 14471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x  .\/  y )  e.  ( Base `  K
) )
287, 26, 15, 27syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( x  .\/  y
)  e.  ( Base `  K ) )
29 simplr 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  .<_  ( y  .\/  z ) )
304, 20, 9hlatlej2 30110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  y  .<_  ( x  .\/  y ) )
315, 24, 13, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
y  .<_  ( x  .\/  y ) )
32 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
z  .<_  ( x  .\/  y ) )
333, 4, 20latjle12 14483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( y  e.  (
Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  ( x  .\/  y )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( y  .<_  ( x  .\/  y )  /\  z  .<_  ( x 
.\/  y ) )  <-> 
( y  .\/  z
)  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
3433biimpd 199 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( y  e.  (
Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  ( x  .\/  y )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( y  .<_  ( x  .\/  y )  /\  z  .<_  ( x 
.\/  y ) )  ->  ( y  .\/  z )  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
357, 15, 19, 28, 34syl13anc 1186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( ( y  .<_  ( x  .\/  y )  /\  z  .<_  ( x 
.\/  y ) )  ->  ( y  .\/  z )  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
3631, 32, 35mp2and 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( y  .\/  z
)  .<_  ( x  .\/  y ) )
373, 4, 7, 11, 22, 28, 29, 36lattrd 14479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  .<_  ( x  .\/  y ) )
3837ex 424 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  ->  (
z  .<_  ( x  .\/  y )  ->  r  .<_  ( x  .\/  y
) ) )
392, 38syl5 30 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  ->  (
( s  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  s  =  z )  ->  r  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
4039expdimp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( s  =  z  ->  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
4140necon3bd 2635 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  ->  s  =/=  z
) )
4241exp31 588 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
r  .<_  ( y  .\/  z )  ->  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  ->  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
s  =/=  z ) ) ) )
4342com23 74 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  ->  (
r  .<_  ( y  .\/  z )  ->  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
s  =/=  z ) ) ) )
4443com24 83 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  -> 
( s  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
s  =/=  z ) ) ) )
45443imp2 1168 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  =/=  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29998   HLchlt 30085
This theorem is referenced by:  paddasslem7  30560
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086
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