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Theorem paddasslem5 30635
Description: Lemma for paddass 30649. Show  s  =/=  z by contradiction. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
paddasslem5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  =/=  z )

Proof of Theorem paddasslem5
StepHypRef Expression
1 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  z  ->  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  <->  z  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
21biimpac 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  =  z )  -> 
z  .<_  ( x  .\/  y ) )
3 eqid 2296 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
4 paddasslem.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
5 simpll1 994 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  K  e.  HL )
6 hllat 30175 . . . . . . . . . . 11  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
75, 6syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  K  e.  Lat )
8 simpll2 995 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  e.  A )
9 paddasslem.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
103, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  e.  A  ->  r  e.  ( Base `  K
) )
118, 10syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  e.  ( Base `  K ) )
12 simp32 992 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  y  e.  A )
1312ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
y  e.  A )
143, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  A  ->  y  e.  ( Base `  K
) )
1513, 14syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
y  e.  ( Base `  K ) )
16 simp33 993 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
1716ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
z  e.  A )
183, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  A  ->  z  e.  ( Base `  K
) )
1917, 18syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
z  e.  ( Base `  K ) )
20 paddasslem.j . . . . . . . . . . . 12  |-  .\/  =  ( join `  K )
213, 20latjcl 14172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  y  e.  ( Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
y  .\/  z )  e.  ( Base `  K
) )
227, 15, 19, 21syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( y  .\/  z
)  e.  ( Base `  K ) )
23 simp31 991 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  x  e.  A )
2423ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  x  e.  A )
253, 9atbase 30101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  A  ->  x  e.  ( Base `  K
) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  ->  x  e.  ( Base `  K ) )
273, 20latjcl 14172 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  x  e.  ( Base `  K )  /\  y  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
x  .\/  y )  e.  ( Base `  K
) )
287, 26, 15, 27syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( x  .\/  y
)  e.  ( Base `  K ) )
29 simplr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  .<_  ( y  .\/  z ) )
304, 20, 9hlatlej2 30187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  x  e.  A  /\  y  e.  A )  ->  y  .<_  ( x  .\/  y ) )
315, 24, 13, 30syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
y  .<_  ( x  .\/  y ) )
32 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
z  .<_  ( x  .\/  y ) )
333, 4, 20latjle12 14184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( y  e.  (
Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  ( x  .\/  y )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( y  .<_  ( x  .\/  y )  /\  z  .<_  ( x 
.\/  y ) )  <-> 
( y  .\/  z
)  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
3433biimpd 198 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( y  e.  (
Base `  K )  /\  z  e.  ( Base `  K )  /\  ( x  .\/  y )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( y  .<_  ( x  .\/  y )  /\  z  .<_  ( x 
.\/  y ) )  ->  ( y  .\/  z )  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
357, 15, 19, 28, 34syl13anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( ( y  .<_  ( x  .\/  y )  /\  z  .<_  ( x 
.\/  y ) )  ->  ( y  .\/  z )  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
3631, 32, 35mp2and 660 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( y  .\/  z
)  .<_  ( x  .\/  y ) )
373, 4, 7, 11, 22, 28, 29, 36lattrd 14180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  z  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
r  .<_  ( x  .\/  y ) )
3837ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  ->  (
z  .<_  ( x  .\/  y )  ->  r  .<_  ( x  .\/  y
) ) )
392, 38syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  ->  (
( s  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  s  =  z )  ->  r  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
4039expdimp 426 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( s  =  z  ->  r  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
4140necon3bd 2496 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z ) )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y ) )  -> 
( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  ->  s  =/=  z
) )
4241exp31 587 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
r  .<_  ( y  .\/  z )  ->  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  ->  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
s  =/=  z ) ) ) )
4342com23 72 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  (
s  .<_  ( x  .\/  y )  ->  (
r  .<_  ( y  .\/  z )  ->  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
s  =/=  z ) ) ) )
4443com24 81 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  ->  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
( r  .<_  ( y 
.\/  z )  -> 
( s  .<_  ( x 
.\/  y )  -> 
s  =/=  z ) ) ) )
45443imp2 1166 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  =/=  z )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162
This theorem is referenced by:  paddasslem7  30637
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163
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