Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem7 Unicode version

Theorem paddasslem7 30312
Description: Lemma for paddass 30324. Combine paddasslem5 30310 and paddasslem6 30311. (Contributed by NM, 9-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
Assertion
Ref Expression
paddasslem7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s  .\/  z ) )

Proof of Theorem paddasslem7
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl21 1035 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  A )
3 simpl23 1037 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  A )
42, 3jca 519 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  s  e.  A ) )
5 simpl33 1040 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  z  e.  A )
6 simpl22 1036 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  r  e.  A )
7 simpl3 962 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )
8 simprl 733 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y ) ) )
9 paddasslem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
10 paddasslem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
11 paddasslem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
129, 10, 11paddasslem5 30310 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  r  e.  A  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )  /\  ( -.  r  .<_  ( x 
.\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  =/=  z )
131, 6, 7, 8, 12syl31anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  s  =/=  z )
14 simprr 734 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  s  .<_  ( p  .\/  z ) )
159, 10, 11paddasslem6 30311 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  z  e.  A )  /\  (
s  =/=  z  /\  s  .<_  ( p  .\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s 
.\/  z ) )
161, 4, 5, 13, 14, 15syl32anc 1192 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s  .\/  z ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2571   class class class wbr 4176   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   lecple 13495   joincjn 14360   Atomscatm 29750   HLchlt 29837
This theorem is referenced by:  paddasslem9  30314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-join 14392  df-lat 14434  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838
  Copyright terms: Public domain W3C validator