Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Unicode version

Theorem paddasslem8 29942
Description: Lemma for paddass 29953. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )

Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 29479 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl21 1035 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  X  C_  A
)
5 simpl22 1036 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  Y  C_  A
)
6 paddasslem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 paddasslem.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
86, 7paddssat 29929 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
91, 4, 5, 8syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A
)
10 simpl23 1037 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  Z  C_  A
)
11 simpr11 1041 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  x  e.  X )
12 simpr12 1042 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  y  e.  Y )
13 simpl3r 1013 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  A )
14 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  .<_  ( x  .\/  y ) )
15 paddasslem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
16 paddasslem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
1715, 16, 6, 7elpaddri 29917 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  e.  ( X 
.+  Y ) )
183, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 17syl322anc 1212 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  ( X  .+  Y ) )
19 simpr13 1043 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  z  e.  Z )
20 simpl3l 1012 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  A )
21 simpr3 965 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s  .\/  z ) )
2215, 16, 6, 7elpaddri 29917 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .+  Y
)  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( s  e.  ( X  .+  Y )  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  e.  A  /\  p  .<_  ( s  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
233, 9, 10, 18, 19, 20, 21, 22syl322anc 1212 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3264   class class class wbr 4154   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   lecple 13464   joincjn 14329   Latclat 14402   Atomscatm 29379   HLchlt 29466   + Pcpadd 29910
This theorem is referenced by:  paddasslem9  29943
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-op 3767  df-uni 3959  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-id 4440  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-undef 6480  df-riota 6486  df-lub 14359  df-join 14361  df-lat 14403  df-ats 29383  df-atl 29414  df-cvlat 29438  df-hlat 29467  df-padd 29911
  Copyright terms: Public domain W3C validator