Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Structured version   Unicode version

Theorem paddasslem8 30561
Description: Lemma for paddass 30572. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )

Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30098 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl21 1035 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  X  C_  A
)
5 simpl22 1036 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  Y  C_  A
)
6 paddasslem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 paddasslem.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
86, 7paddssat 30548 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
91, 4, 5, 8syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A
)
10 simpl23 1037 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  Z  C_  A
)
11 simpr11 1041 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  x  e.  X )
12 simpr12 1042 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  y  e.  Y )
13 simpl3r 1013 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  A )
14 simpr2 964 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  .<_  ( x  .\/  y ) )
15 paddasslem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
16 paddasslem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
1715, 16, 6, 7elpaddri 30536 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  e.  ( X 
.+  Y ) )
183, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 17syl322anc 1212 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  ( X  .+  Y ) )
19 simpr13 1043 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  z  e.  Z )
20 simpl3l 1012 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  A )
21 simpr3 965 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s  .\/  z ) )
2215, 16, 6, 7elpaddri 30536 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .+  Y
)  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( s  e.  ( X  .+  Y )  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  e.  A  /\  p  .<_  ( s  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
233, 9, 10, 18, 19, 20, 21, 22syl322anc 1212 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   lecple 13528   joincjn 14393   Latclat 14466   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   + Pcpadd 30529
This theorem is referenced by:  paddasslem9  30562
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-lub 14423  df-join 14425  df-lat 14467  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-padd 30530
  Copyright terms: Public domain W3C validator