Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem8 Unicode version

Theorem paddasslem8 30638
Description: Lemma for paddass 30649. (Contributed by NM, 8-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )

Proof of Theorem paddasslem8
StepHypRef Expression
1 simpl1 958 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30175 . . 3  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 15 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simpl21 1033 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  X  C_  A
)
5 simpl22 1034 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  Y  C_  A
)
6 paddasslem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 paddasslem.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
86, 7paddssat 30625 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
91, 4, 5, 8syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A
)
10 simpl23 1035 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  Z  C_  A
)
11 simpr11 1039 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  x  e.  X )
12 simpr12 1040 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  y  e.  Y )
13 simpl3r 1011 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  A )
14 simpr2 962 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  .<_  ( x  .\/  y ) )
15 paddasslem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
16 paddasslem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
1715, 16, 6, 7elpaddri 30613 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y
)  /\  ( s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y
) ) )  -> 
s  e.  ( X 
.+  Y ) )
183, 4, 5, 11, 12, 13, 14, 17syl322anc 1210 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  s  e.  ( X  .+  Y ) )
19 simpr13 1041 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  z  e.  Z )
20 simpl3l 1010 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  A )
21 simpr3 963 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s  .\/  z ) )
2215, 16, 6, 7elpaddri 30613 . 2  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  .+  Y
)  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( s  e.  ( X  .+  Y )  /\  z  e.  Z
)  /\  ( p  e.  A  /\  p  .<_  ( s  .\/  z
) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z ) )
233, 9, 10, 18, 19, 20, 21, 22syl322anc 1210 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   lecple 13231   joincjn 14094   Latclat 14167   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   + Pcpadd 30606
This theorem is referenced by:  paddasslem9  30639
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-lub 14124  df-join 14126  df-lat 14168  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-padd 30607
  Copyright terms: Public domain W3C validator