Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddasslem9 Unicode version

Theorem paddasslem9 29944
Description: Lemma for paddass 29954. Combine paddasslem7 29942 and paddasslem8 29943. (Contributed by NM, 9-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
paddasslem.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddasslem.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddasslem.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddasslem.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddasslem9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)

Proof of Theorem paddasslem9
StepHypRef Expression
1 simpl1 960 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simpl2 961 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A ) )
3 simpl3l 1012 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  A
)
4 simpr31 1047 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  s  e.  A
)
53, 4jca 519 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  s  e.  A ) )
6 simpr1 963 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z ) )
7 simpr32 1048 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )
8 simpl3r 1013 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  r  e.  A
)
93, 8, 43jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A ) )
10 an6 1263 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  <->  ( ( X  C_  A  /\  x  e.  X )  /\  ( Y  C_  A  /\  y  e.  Y )  /\  ( Z  C_  A  /\  z  e.  Z ) ) )
11 ssel2 3288 . . . . . . 7  |-  ( ( X  C_  A  /\  x  e.  X )  ->  x  e.  A )
12 ssel2 3288 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  C_  A  /\  y  e.  Y )  ->  y  e.  A )
13 ssel2 3288 . . . . . . 7  |-  ( ( Z  C_  A  /\  z  e.  Z )  ->  z  e.  A )
1411, 12, 133anim123i 1139 . . . . . 6  |-  ( ( ( X  C_  A  /\  x  e.  X
)  /\  ( Y  C_  A  /\  y  e.  Y )  /\  ( Z  C_  A  /\  z  e.  Z ) )  -> 
( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A
) )
1510, 14sylbi 188 . . . . 5  |-  ( ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
) )  ->  (
x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A )
)
16153ad2antl2 1120 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z )
)  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )
17163ad2antr1 1122 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )
18 simpr2l 1016 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  -.  r  .<_  ( x  .\/  y ) )
19 simpr2r 1017 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  r  .<_  ( y 
.\/  z ) )
2018, 19, 73jca 1134 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) ) )
21 simpr33 1049 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  s  .<_  ( p 
.\/  z ) )
22 paddasslem.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
23 paddasslem.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
24 paddasslem.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2522, 23, 24paddasslem7 29942 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A  /\  s  e.  A
)  /\  ( x  e.  A  /\  y  e.  A  /\  z  e.  A ) )  /\  ( ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y
)  /\  r  .<_  ( y  .\/  z )  /\  s  .<_  ( x 
.\/  y ) )  /\  s  .<_  ( p 
.\/  z ) ) )  ->  p  .<_  ( s  .\/  z ) )
261, 9, 17, 20, 21, 25syl32anc 1192 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  p  .<_  ( s 
.\/  z ) )
27 paddasslem.p . . 3  |-  .+  =  ( + P `  K
)
2822, 23, 24, 27paddasslem8 29943 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  s  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  p  .<_  ( s 
.\/  z ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y )  .+  Z
) )
291, 2, 5, 6, 7, 26, 28syl33anc 1199 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  Z  C_  A )  /\  ( p  e.  A  /\  r  e.  A
) )  /\  (
( x  e.  X  /\  y  e.  Y  /\  z  e.  Z
)  /\  ( -.  r  .<_  ( x  .\/  y )  /\  r  .<_  ( y  .\/  z
) )  /\  (
s  e.  A  /\  s  .<_  ( x  .\/  y )  /\  s  .<_  ( p  .\/  z
) ) ) )  ->  p  e.  ( ( X  .+  Y
)  .+  Z )
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   class class class wbr 4155   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   lecple 13465   joincjn 14330   Atomscatm 29380   HLchlt 29467   + Pcpadd 29911
This theorem is referenced by:  paddasslem10  29945
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-join 14362  df-lat 14404  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-padd 29912
  Copyright terms: Public domain W3C validator