Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Unicode version

Theorem paddssat 29821
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddssat  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )

Proof of Theorem paddssat
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2316 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 eqid 2316 . . 3  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
3 padd0.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 padd0.p . . 3  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddval 29805 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
6 unss 3383 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  <->  ( X  u.  Y )  C_  A
)
76biimpi 186 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( X  u.  Y
)  C_  A )
8 ssrab2 3292 . . . . 5  |-  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p
( le `  K
) ( q (
join `  K )
r ) }  C_  A
97, 8jctir 524 . . . 4  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( ( X  u.  Y )  C_  A  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } 
C_  A ) )
10 unss 3383 . . . 4  |-  ( ( ( X  u.  Y
)  C_  A  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } 
C_  A )  <->  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )  C_  A )
119, 10sylib 188 . . 3  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )  C_  A )
12113adant1 973 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  u.  Y
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p
( le `  K
) ( q (
join `  K )
r ) } ) 
C_  A )
135, 12eqsstrd 3246 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1633    e. wcel 1701   E.wrex 2578   {crab 2581    u. cun 3184    C_ wss 3186   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   lecple 13262   joincjn 14127   Atomscatm 29271   + Pcpadd 29802
This theorem is referenced by:  paddasslem8  29834  paddasslem11  29837  paddasslem12  29838  paddasslem13  29839  paddasslem16  29842  paddasslem17  29843  paddass  29845  padd4N  29847  paddclN  29849  pmodl42N  29858  pclunN  29905  paddunN  29934  pmapocjN  29937  pclfinclN  29957  osumcllem1N  29963  osumcllem2N  29964  osumcllem9N  29971  osumcllem11N  29973  osumclN  29974  pexmidlem6N  29982  pexmidlem8N  29984  pl42lem3N  29988
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-op 3683  df-uni 3865  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-id 4346  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-padd 29803
  Copyright terms: Public domain W3C validator