Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddssat Structured version   Unicode version

Theorem paddssat 30612
Description: A projective subspace sum is a set of atoms. (Contributed by NM, 3-Jan-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
padd0.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
padd0.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddssat  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )

Proof of Theorem paddssat
Dummy variables  q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2437 . . 3  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 eqid 2437 . . 3  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
3 padd0.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 padd0.p . . 3  |-  .+  =  ( + P `  K
)
51, 2, 3, 4paddval 30596 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } ) )
6 unss 3522 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  <->  ( X  u.  Y )  C_  A
)
76biimpi 188 . . . . 5  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( X  u.  Y
)  C_  A )
8 ssrab2 3429 . . . . 5  |-  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p
( le `  K
) ( q (
join `  K )
r ) }  C_  A
97, 8jctir 526 . . . 4  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( ( X  u.  Y )  C_  A  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } 
C_  A ) )
10 unss 3522 . . . 4  |-  ( ( ( X  u.  Y
)  C_  A  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } 
C_  A )  <->  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )  C_  A )
119, 10sylib 190 . . 3  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p ( le `  K ) ( q ( join `  K
) r ) } )  C_  A )
12113adant1 976 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  u.  Y
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p
( le `  K
) ( q (
join `  K )
r ) } ) 
C_  A )
135, 12eqsstrd 3383 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   E.wrex 2707   {crab 2710    u. cun 3319    C_ wss 3321   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   lecple 13537   joincjn 14402   Atomscatm 30062   + Pcpadd 30593
This theorem is referenced by:  paddasslem8  30625  paddasslem11  30628  paddasslem12  30629  paddasslem13  30630  paddasslem16  30633  paddasslem17  30634  paddass  30636  padd4N  30638  paddclN  30640  pmodl42N  30649  pclunN  30696  paddunN  30725  pmapocjN  30728  pclfinclN  30748  osumcllem1N  30754  osumcllem2N  30755  osumcllem9N  30762  osumcllem11N  30764  osumclN  30765  pexmidlem6N  30773  pexmidlem8N  30775  pl42lem3N  30779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-op 3824  df-uni 4017  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-id 4499  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-padd 30594
  Copyright terms: Public domain W3C validator