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Theorem paddunN 30661
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5724.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddun.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
paddun.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddunN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  =  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )

Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  HL )
2 paddun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 paddun.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
42, 3paddssat 30548 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  A )
52, 3paddunssN 30542 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  ( S  .+  T
) )
6 paddun.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
72, 6polcon3N 30651 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A  /\  ( S  u.  T )  C_  ( S  .+  T
) )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
9 hlclat 30093 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1093ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  CLat )
11 unss 3513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  A  /\  T  C_  A )  <->  ( S  u.  T )  C_  A
)
1211biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  A  /\  T  C_  A )  -> 
( S  u.  T
)  C_  A )
13123adant1 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  A )
14 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1514, 2atssbase 30025 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( Base `  K )
1613, 15syl6ss 3352 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  ( Base `  K
) )
17 eqid 2435 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
1814, 17clatlubcl 14532 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  u.  T )  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
1910, 16, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
20 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
2114, 20pmapssbaN 30494 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )
221, 19, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )
232, 6polssatN 30642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  C_  A )
24233adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  A )
252, 6polssatN 30642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  S )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A
)
261, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A
)
272, 6polssatN 30642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  T )  C_  A )
28273adant2 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  T )  C_  A )
292, 6polssatN 30642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  T )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  C_  A
)
301, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  C_  A
)
311, 26, 303jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) 
C_  A ) )
322, 62polssN 30649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
33323adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
342, 62polssN 30649 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
35343adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
3633, 35jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) ) ) )
372, 3paddss12 30553 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) 
C_  A )  -> 
( ( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  ->  ( S  .+  T )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  .+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) ) )
3831, 36, 37sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) 
.+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) )
3917, 2, 20, 62polvalN 30648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
40393adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
4117, 2, 20, 62polvalN 30648 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) )
42413adant2 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) )
4340, 42oveq12d 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  .+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  =  ( ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
4438, 43sseqtrd 3376 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
45 hllat 30098 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
46453ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  Lat )
47 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  A )
4847, 15syl6ss 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
4914, 17clatlubcl 14532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5010, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
51 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  A )
5251, 15syl6ss 3352 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  ( Base `  K
) )
5314, 17clatlubcl 14532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  T )  e.  ( Base `  K
) )
5410, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  T )  e.  ( Base `  K
) )
55 eqid 2435 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5614, 55, 20, 3pmapjoin 30586 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  T )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) )  C_  (
( pmap `  K ) `  ( ( ( lub `  K ) `  S
) ( join `  K
) ( ( lub `  K ) `  T
) ) ) )
5746, 50, 54, 56syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) )  .+  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
5844, 57sstrd 3350 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
5914, 55, 17lubun 14542 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  T  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T )
)  =  ( ( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) )
6010, 48, 52, 59syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( ( lub `  K ) `  S
) ( join `  K
) ( ( lub `  K ) `  T
) ) )
6160fveq2d 5724 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
6258, 61sseqtr4d 3377 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
63 eqid 2435 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6414, 63, 17lubss 14540 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
)  /\  ( S  .+  T )  C_  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K ) `
 ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )
6510, 22, 62, 64syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )
664, 15syl6ss 3352 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( Base `  K )
)
6714, 17clatlubcl 14532 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  .+  T )  C_  ( Base `  K )
)  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K ) )
6810, 66, 67syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
6914, 17clatlubcl 14532 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
7010, 22, 69syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
7114, 63, 20pmaple 30495 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  <->  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) ) )
721, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  <->  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) ) )
7365, 72mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) )
7417, 2, 20, 62polvalN 30648 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) ) ) )
751, 4, 74syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) )
7617, 2, 20, 62polvalN 30648 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  u.  T
)  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
771, 13, 76syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
7817, 2, 202pmaplubN 30660 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  u.  T
)  C_  A )  ->  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )
791, 13, 78syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
8077, 79eqtr4d 2470 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) ) ) )
8173, 75, 803sstr4d 3383 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) ) )
822, 62polcon4bN 30652 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A  /\  ( S  u.  T )  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  <->  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) ) )
831, 4, 13, 82syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  <->  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) ) )
8481, 83mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )
858, 84eqssd 3357 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  =  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   class class class wbr 4204   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   lubclub 14391   joincjn 14393   Latclat 14466   CLatccla 14528   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   pmapcpmap 30231   + Pcpadd 30529   _|_ PcpolN 30636
This theorem is referenced by:  poldmj1N  30662
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-polarityN 30637
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