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Theorem paddunN 30041
Description: The closure of the projective sum of two sets of atoms is the same as the closure of their union. (Closure is actually double polarity, which can be trivially inferred from this theorem using fveq2d 5672.) (Contributed by NM, 6-Mar-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
paddun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddun.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
paddun.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddunN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  =  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )

Proof of Theorem paddunN
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  HL )
2 paddun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 paddun.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
42, 3paddssat 29928 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  A )
52, 3paddunssN 29922 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  ( S  .+  T
) )
6 paddun.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
72, 6polcon3N 30031 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A  /\  ( S  u.  T )  C_  ( S  .+  T
) )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
9 hlclat 29473 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  CLat )
1093ad2ant1 978 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  CLat )
11 unss 3464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( S  C_  A  /\  T  C_  A )  <->  ( S  u.  T )  C_  A
)
1211biimpi 187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  C_  A  /\  T  C_  A )  -> 
( S  u.  T
)  C_  A )
13123adant1 975 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  A )
14 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1514, 2atssbase 29405 . . . . . . . . 9  |-  A  C_  ( Base `  K )
1613, 15syl6ss 3303 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  u.  T )  C_  ( Base `  K
) )
17 eqid 2387 . . . . . . . . 9  |-  ( lub `  K )  =  ( lub `  K )
1814, 17clatlubcl 14467 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  u.  T )  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
1910, 16, 18syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
20 eqid 2387 . . . . . . . 8  |-  ( pmap `  K )  =  (
pmap `  K )
2114, 20pmapssbaN 29874 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )
221, 19, 21syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )
232, 6polssatN 30022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  S )  C_  A )
24233adant3 977 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  S )  C_  A )
252, 6polssatN 30022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  S )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A
)
261, 24, 25syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A
)
272, 6polssatN 30022 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  T )  C_  A )
28273adant2 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  T )  C_  A )
292, 6polssatN 30022 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  T )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  C_  A
)
301, 28, 29syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  C_  A
)
311, 26, 303jca 1134 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) 
C_  A ) )
322, 62polssN 30029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
33323adant3 977 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) )
342, 62polssN 30029 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
35343adant2 976 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )
3633, 35jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) ) ) )
372, 3paddss12 29933 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  C_  A  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) 
C_  A )  -> 
( ( S  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  /\  T  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  ->  ( S  .+  T )  C_  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  .+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) ) )
3831, 36, 37sylc 58 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( (  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) ) 
.+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) ) )
3917, 2, 20, 62polvalN 30028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
40393adant3 977 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  S
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) ) )
4117, 2, 20, 62polvalN 30028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  T  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) )
42413adant2 976 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) )
4340, 42oveq12d 6038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  S ) )  .+  (  ._|_  `  (  ._|_  `  T ) ) )  =  ( ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
4438, 43sseqtrd 3327 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
45 hllat 29478 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
46453ad2ant1 978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  K  e.  Lat )
47 simp2 958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  A )
4847, 15syl6ss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  S  C_  ( Base `  K
) )
4914, 17clatlubcl 14467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
5010, 48, 49syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
) )
51 simp3 959 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  A )
5251, 15syl6ss 3303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  T  C_  ( Base `  K
) )
5314, 17clatlubcl 14467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  T  C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  T )  e.  ( Base `  K
) )
5410, 52, 53syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  T )  e.  ( Base `  K
) )
55 eqid 2387 . . . . . . . . . 10  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
5614, 55, 20, 3pmapjoin 29966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( lub `  K
) `  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  T )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  S )
)  .+  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  T )
) )  C_  (
( pmap `  K ) `  ( ( ( lub `  K ) `  S
) ( join `  K
) ( ( lub `  K ) `  T
) ) ) )
5746, 50, 54, 56syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  S ) )  .+  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
5844, 57sstrd 3301 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( pmap `  K
) `  ( (
( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
5914, 55, 17lubun 14477 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  S  C_  ( Base `  K
)  /\  T  C_  ( Base `  K ) )  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T )
)  =  ( ( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) )
6010, 48, 52, 59syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) )  =  ( ( ( lub `  K ) `  S
) ( join `  K
) ( ( lub `  K ) `  T
) ) )
6160fveq2d 5672 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) )  =  ( ( pmap `  K ) `  (
( ( lub `  K
) `  S )
( join `  K )
( ( lub `  K
) `  T )
) ) )
6258, 61sseqtr4d 3328 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
63 eqid 2387 . . . . . . 7  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
6414, 63, 17lubss 14475 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
)  /\  ( S  .+  T )  C_  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K ) `
 ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )
6510, 22, 62, 64syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )
664, 15syl6ss 3303 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  ( S  .+  T )  C_  ( Base `  K )
)
6714, 17clatlubcl 14467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  ( S  .+  T )  C_  ( Base `  K )
)  ->  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K ) )
6810, 66, 67syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K
) )
6914, 17clatlubcl 14467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  CLat  /\  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) 
C_  ( Base `  K
) )  ->  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
7010, 22, 69syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  e.  ( Base `  K ) )
7114, 63, 20pmaple 29875 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  <->  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) ) )
721, 68, 70, 71syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ( le `  K ) ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )  <->  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) ) )
7365, 72mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) 
C_  ( ( pmap `  K ) `  (
( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) ) )
7417, 2, 20, 62polvalN 30028 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  .+  T ) ) ) )
751, 4, 74syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  .+  T ) ) ) )
7617, 2, 20, 62polvalN 30028 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  u.  T
)  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
771, 13, 76syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
7817, 2, 202pmaplubN 30040 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  u.  T
)  C_  A )  ->  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) ) )  =  ( (
pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) )
791, 13, 78syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( ( pmap `  K ) `  ( ( lub `  K
) `  ( S  u.  T ) ) ) ) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) )
8077, 79eqtr4d 2422 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T )
) )  =  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( ( pmap `  K
) `  ( ( lub `  K ) `  ( S  u.  T
) ) ) ) ) )
8173, 75, 803sstr4d 3334 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) ) )
822, 62polcon4bN 30032 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( S  .+  T ) 
C_  A  /\  ( S  u.  T )  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  <->  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) ) )
831, 4, 13, 82syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (
(  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  .+  T
) ) )  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) ) )  <->  (  ._|_  `  ( S  u.  T
) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) ) )
8481, 83mpbid 202 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) )  C_  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) ) )
858, 84eqssd 3308 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  C_  A  /\  T  C_  A )  ->  (  ._|_  `  ( S  .+  T ) )  =  (  ._|_  `  ( S  u.  T ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    u. cun 3261    C_ wss 3263   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   lubclub 14326   joincjn 14328   Latclat 14401   CLatccla 14463   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   pmapcpmap 29611   + Pcpadd 29909   _|_ PcpolN 30016
This theorem is referenced by:  poldmj1N  30042
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-polarityN 30017
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