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Theorem paddval 30595
Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddval  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p    q, p, r, K    X, p, q    Y, p, q, r
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( r, q, p)    .+ ( r,
q, p)    .\/ ( r, q, p)    .<_ ( r, q, p)    X( r)

Proof of Theorem paddval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 228 . 2  |-  ( K  e.  B  <->  K  e.  B )
2 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 fvex 5742 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  e.  _V
42, 3eqeltri 2506 . . 3  |-  A  e. 
_V
54elpw2 4364 . 2  |-  ( X  e.  ~P A  <->  X  C_  A
)
64elpw2 4364 . 2  |-  ( Y  e.  ~P A  <->  Y  C_  A
)
7 paddfval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 paddfval.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 paddfval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
107, 8, 2, 9paddfval 30594 . . . . 5  |-  ( K  e.  B  ->  .+  =  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) )
1110oveqd 6098 . . . 4  |-  ( K  e.  B  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y ) )
12113ad2ant1 978 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y ) )
13 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  X  e.  ~P A )
14 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  Y  e.  ~P A )
15 unexg 4710 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  u.  Y )  e.  _V )
164rabex 4354 . . . . . . 7  |-  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  e.  _V
17 unexg 4710 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  u.  Y
)  e.  _V  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) }  e.  _V )  ->  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V )
1815, 16, 17sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  (
( X  u.  Y
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  e. 
_V )
1913, 14, 183jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V ) )
20193adant1 975 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V ) )
21 uneq1 3494 . . . . . 6  |-  ( m  =  X  ->  (
m  u.  n )  =  ( X  u.  n ) )
22 rexeq 2905 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2322rabbidv 2948 . . . . . 6  |-  ( m  =  X  ->  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  =  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )
2421, 23uneq12d 3502 . . . . 5  |-  ( m  =  X  ->  (
( m  u.  n
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  =  ( ( X  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
25 uneq2 3495 . . . . . 6  |-  ( n  =  Y  ->  ( X  u.  n )  =  ( X  u.  Y ) )
26 rexeq 2905 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  Y  ->  ( E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2726rexbidv 2726 . . . . . . 7  |-  ( n  =  Y  ->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2827rabbidv 2948 . . . . . 6  |-  ( n  =  Y  ->  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  =  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )
2925, 28uneq12d 3502 . . . . 5  |-  ( n  =  Y  ->  (
( X  u.  n
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
30 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )  =  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3124, 29, 30ovmpt2g 6208 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V )  -> 
( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3220, 31syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X ( m  e. 
~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3312, 32eqtrd 2468 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
341, 5, 6, 33syl3anbr 1228 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2706   {crab 2709   _Vcvv 2956    u. cun 3318    C_ wss 3320   ~Pcpw 3799   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    e. cmpt2 6083   lecple 13536   joincjn 14401   Atomscatm 30061   + Pcpadd 30592
This theorem is referenced by:  elpadd  30596  paddunssN  30605  paddcom  30610  paddssat  30611  sspadd1  30612  sspadd2  30613
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-id 4498  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-padd 30593
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