Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  paddval Unicode version

Theorem paddval 29987
Description: Projective subspace sum operation value. (Contributed by NM, 29-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
paddfval.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
paddfval.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
paddfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
paddfval.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
Assertion
Ref Expression
paddval  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
Distinct variable groups:    A, p    q, p, r, K    X, p, q    Y, p, q, r
Allowed substitution hints:    A( r, q)    B( r, q, p)    .+ ( r,
q, p)    .\/ ( r, q, p)    .<_ ( r, q, p)    X( r)

Proof of Theorem paddval
Dummy variables  m  n are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biid 227 . 2  |-  ( K  e.  B  <->  K  e.  B )
2 paddfval.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 fvex 5539 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  e.  _V
42, 3eqeltri 2353 . . 3  |-  A  e. 
_V
54elpw2 4175 . 2  |-  ( X  e.  ~P A  <->  X  C_  A
)
64elpw2 4175 . 2  |-  ( Y  e.  ~P A  <->  Y  C_  A
)
7 paddfval.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 paddfval.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 paddfval.p . . . . . 6  |-  .+  =  ( + P `  K
)
107, 8, 2, 9paddfval 29986 . . . . 5  |-  ( K  e.  B  ->  .+  =  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) )
1110oveqd 5875 . . . 4  |-  ( K  e.  B  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y ) )
12113ad2ant1 976 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y ) )
13 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  X  e.  ~P A )
14 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  Y  e.  ~P A )
15 unexg 4521 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  u.  Y )  e.  _V )
164rabex 4165 . . . . . . 7  |-  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  e.  _V
17 unexg 4521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( X  u.  Y
)  e.  _V  /\  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) }  e.  _V )  ->  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V )
1815, 16, 17sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  (
( X  u.  Y
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  e. 
_V )
1913, 14, 183jca 1132 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V ) )
20193adant1 973 . . . 4  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V ) )
21 uneq1 3322 . . . . . 6  |-  ( m  =  X  ->  (
m  u.  n )  =  ( X  u.  n ) )
22 rexeq 2737 . . . . . . 7  |-  ( m  =  X  ->  ( E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2322rabbidv 2780 . . . . . 6  |-  ( m  =  X  ->  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  =  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )
2421, 23uneq12d 3330 . . . . 5  |-  ( m  =  X  ->  (
( m  u.  n
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  =  ( ( X  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
25 uneq2 3323 . . . . . 6  |-  ( n  =  Y  ->  ( X  u.  n )  =  ( X  u.  Y ) )
26 rexeq 2737 . . . . . . . 8  |-  ( n  =  Y  ->  ( E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2726rexbidv 2564 . . . . . . 7  |-  ( n  =  Y  ->  ( E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r )  <->  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) ) )
2827rabbidv 2780 . . . . . 6  |-  ( n  =  Y  ->  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) }  =  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )
2925, 28uneq12d 3330 . . . . 5  |-  ( n  =  Y  ->  (
( X  u.  n
)  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r
) } )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
30 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )  =  ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3124, 29, 30ovmpt2g 5982 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A  /\  ( ( X  u.  Y )  u. 
{ p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } )  e.  _V )  -> 
( X ( m  e.  ~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3220, 31syl 15 . . 3  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X ( m  e. 
~P A ,  n  e.  ~P A  |->  ( ( m  u.  n )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  m  E. r  e.  n  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) ) Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  { p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
3312, 32eqtrd 2315 . 2  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  e.  ~P A  /\  Y  e.  ~P A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
341, 5, 6, 33syl3anbr 1226 1  |-  ( ( K  e.  B  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  =  ( ( X  u.  Y )  u.  {
p  e.  A  |  E. q  e.  X  E. r  e.  Y  p  .<_  ( q  .\/  r ) } ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544   {crab 2547   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    e. cmpt2 5860   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   + Pcpadd 29984
This theorem is referenced by:  elpadd  29988  paddunssN  29997  paddcom  30002  paddssat  30003  sspadd1  30004  sspadd2  30005
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-padd 29985
  Copyright terms: Public domain W3C validator