MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  padicfval Structured version   Unicode version

Theorem padicfval 21310
Description: Value of the p-adic absolute value. (Contributed by Mario Carneiro, 8-Sep-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
padicval.j  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
padicfval  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( J `
 P )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  x ) ) ) ) )
Distinct variable group:    x, q, P
Allowed substitution hints:    J( x, q)

Proof of Theorem padicfval
StepHypRef Expression
1 id 20 . . . . 5  |-  ( q  =  P  ->  q  =  P )
2 oveq1 6088 . . . . . 6  |-  ( q  =  P  ->  (
q  pCnt  x )  =  ( P  pCnt  x ) )
32negeqd 9300 . . . . 5  |-  ( q  =  P  ->  -u (
q  pCnt  x )  =  -u ( P  pCnt  x ) )
41, 3oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( q  =  P  ->  (
q ^ -u (
q  pCnt  x )
)  =  ( P ^ -u ( P 
pCnt  x ) ) )
54ifeq2d 3754 . . 3  |-  ( q  =  P  ->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) )  =  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  x ) ) ) )
65mpteq2dv 4296 . 2  |-  ( q  =  P  ->  (
x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  x ) ) ) ) )
7 padicval.j . 2  |-  J  =  ( q  e.  Prime  |->  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( q ^ -u (
q  pCnt  x )
) ) ) )
8 qex 10586 . . 3  |-  QQ  e.  _V
98mptex 5966 . 2  |-  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P 
pCnt  x ) ) ) )  e.  _V
106, 7, 9fvmpt 5806 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( J `
 P )  =  ( x  e.  QQ  |->  if ( x  =  0 ,  0 ,  ( P ^ -u ( P  pCnt  x ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1652    e. wcel 1725   ifcif 3739    e. cmpt 4266   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   0cc0 8990   -ucneg 9292   QQcq 10574   ^cexp 11382   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210
This theorem is referenced by:  padicval  21311  padicabvf  21325
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-z 10283  df-q 10575
  Copyright terms: Public domain W3C validator