Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  paste Structured version   Unicode version

Theorem paste 17360
 Description: Pasting lemma. If and are closed sets in with , then any function whose restrictions to and are continuous is continuous on all of . (Contributed by Jeff Madsen, 2-Sep-2009.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 21-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
paste.1
paste.2
paste.4
paste.5
paste.6
paste.7
paste.8 t
paste.9 t
Assertion
Ref Expression
paste

Proof of Theorem paste
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 paste.7 . 2
2 paste.6 . . . . . . 7
32ineq2d 3544 . . . . . 6
4 ffun 5595 . . . . . . . . 9
51, 4syl 16 . . . . . . . 8
6 respreima 5861 . . . . . . . . 9
7 respreima 5861 . . . . . . . . 9
86, 7uneq12d 3504 . . . . . . . 8
95, 8syl 16 . . . . . . 7
10 indi 3589 . . . . . . 7
119, 10syl6reqr 2489 . . . . . 6
12 imassrn 5218 . . . . . . . . 9
13 dfdm4 5065 . . . . . . . . . 10
14 fdm 5597 . . . . . . . . . 10
1513, 14syl5eqr 2484 . . . . . . . . 9
1612, 15syl5sseq 3398 . . . . . . . 8
171, 16syl 16 . . . . . . 7
18 df-ss 3336 . . . . . . 7
1917, 18sylib 190 . . . . . 6
203, 11, 193eqtr3rd 2479 . . . . 5
2120adantr 453 . . . 4
22 paste.4 . . . . . . 7
2322adantr 453 . . . . . 6
24 paste.8 . . . . . . 7 t
25 cnclima 17334 . . . . . . 7 t t
2624, 25sylan 459 . . . . . 6 t
27 restcldr 17240 . . . . . 6 t
2823, 26, 27syl2anc 644 . . . . 5
29 paste.5 . . . . . . 7
3029adantr 453 . . . . . 6
31 paste.9 . . . . . . 7 t
32 cnclima 17334 . . . . . . 7 t t
3331, 32sylan 459 . . . . . 6 t
34 restcldr 17240 . . . . . 6 t
3530, 33, 34syl2anc 644 . . . . 5
36 uncld 17107 . . . . 5
3728, 35, 36syl2anc 644 . . . 4
3821, 37eqeltrd 2512 . . 3
3938ralrimiva 2791 . 2
40 cldrcl 17092 . . . 4
4122, 40syl 16 . . 3
42 cntop2 17307 . . . 4 t
4324, 42syl 16 . . 3
44 paste.1 . . . . 5
4544toptopon 17000 . . . 4 TopOn
46 paste.2 . . . . 5
4746toptopon 17000 . . . 4 TopOn
48 iscncl 17335 . . . 4 TopOn TopOn
4945, 47, 48syl2anb 467 . . 3
5041, 43, 49syl2anc 644 . 2
511, 39, 50mpbir2and 890 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wceq 1653   wcel 1726  wral 2707   cun 3320   cin 3321   wss 3322  cuni 4017  ccnv 4879   cdm 4880   crn 4881   cres 4882  cima 4883   wfun 5450  wf 5452  cfv 5456  (class class class)co 6083   ↾t crest 13650  ctop 16960  TopOnctopon 16961  ccld 17082   ccn 17290 This theorem is referenced by:  cnmpt2pc  18955  cvmliftlem10  24983 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-fin 7115  df-fi 7418  df-rest 13652  df-topgen 13669  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-cld 17085  df-cn 17293
 Copyright terms: Public domain W3C validator