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Theorem pautsetN 30287
Description: The set of projective automorphisms. (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
pautsetN  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y    f, K, x    S, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, f)    K( y)    M( x, y, f)

Proof of Theorem pautsetN
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2796 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 pautset.m . . 3  |-  M  =  ( PAut `  K
)
3 fveq2 5525 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  ( PSubSp `  K )
)
4 pautset.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
53, 4syl6eqr 2333 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  S )
6 f1oeq2 5464 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : ( PSubSp `  k
)
-1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
75, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
8 f1oeq3 5465 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
95, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S
-1-1-onto-> S ) )
107, 9bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
115raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( PSubSp `
 k ) ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
125, 11raleqbidv 2748 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( PSubSp `
 k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
1310, 12anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) ) )
1413abbidv 2397 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `
 k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
15 df-pautN 30180 . . . 4  |-  PAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  (
PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
16 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
174, 16eqeltri 2353 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
1817, 17mapval 6784 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  =  { f  |  f : S --> S }
19 ovex 5883 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  e. 
_V
2018, 19eqeltrri 2354 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S --> S }  e.  _V
21 f1of 5472 . . . . . . 7  |-  ( f : S -1-1-onto-> S  ->  f : S
--> S )
2221ss2abi 3245 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  C_  { f  |  f : S --> S }
2320, 22ssexi 4159 . . . . 5  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  e.  _V
24 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  ->  f : S -1-1-onto-> S )
2524ss2abi 3245 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  C_  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }
2623, 25ssexi 4159 . . . 4  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  e.  _V
2714, 15, 26fvmpt 5602 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PAut `  K )  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
282, 27syl5eq 2327 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
291, 28syl 15 1  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   {cab 2269   A.wral 2543   _Vcvv 2788    C_ wss 3152   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858    ^m cmap 6772   PSubSpcpsubsp 29685   PAutcpautN 30176
This theorem is referenced by:  ispautN  30288
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-map 6774  df-pautN 30180
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