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Theorem pautsetN 30832
Description: The set of projective automorphisms. (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
pautsetN  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y    f, K, x    S, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, f)    K( y)    M( x, y, f)

Proof of Theorem pautsetN
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2956 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 pautset.m . . 3  |-  M  =  ( PAut `  K
)
3 fveq2 5720 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  ( PSubSp `  K )
)
4 pautset.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
53, 4syl6eqr 2485 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  S )
6 f1oeq2 5658 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : ( PSubSp `  k
)
-1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
75, 6syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
8 f1oeq3 5659 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
95, 8syl 16 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S
-1-1-onto-> S ) )
107, 9bitrd 245 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
115raleqdv 2902 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( PSubSp `
 k ) ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
125, 11raleqbidv 2908 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( PSubSp `
 k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
1310, 12anbi12d 692 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) ) )
1413abbidv 2549 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `
 k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
15 df-pautN 30725 . . . 4  |-  PAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  (
PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
16 fvex 5734 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
174, 16eqeltri 2505 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
1817, 17mapval 7022 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  =  { f  |  f : S --> S }
19 ovex 6098 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  e. 
_V
2018, 19eqeltrri 2506 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S --> S }  e.  _V
21 f1of 5666 . . . . . . 7  |-  ( f : S -1-1-onto-> S  ->  f : S
--> S )
2221ss2abi 3407 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  C_  { f  |  f : S --> S }
2320, 22ssexi 4340 . . . . 5  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  e.  _V
24 simpl 444 . . . . . 6  |-  ( ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  ->  f : S -1-1-onto-> S )
2524ss2abi 3407 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  C_  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }
2623, 25ssexi 4340 . . . 4  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  e.  _V
2714, 15, 26fvmpt 5798 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PAut `  K )  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
282, 27syl5eq 2479 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
291, 28syl 16 1  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421   A.wral 2697   _Vcvv 2948    C_ wss 3312   -->wf 5442   -1-1-onto->wf1o 5445   ` cfv 5446  (class class class)co 6073    ^m cmap 7010   PSubSpcpsubsp 30230   PAutcpautN 30721
This theorem is referenced by:  ispautN  30833
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-map 7012  df-pautN 30725
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