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Theorem pautsetN 30909
Description: The set of projective automorphisms. (Contributed by NM, 26-Jan-2012.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pautset.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pautset.m  |-  M  =  ( PAut `  K
)
Assertion
Ref Expression
pautsetN  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Distinct variable groups:    x, f,
y    f, K, x    S, f, x, y
Allowed substitution hints:    B( x, y, f)    K( y)    M( x, y, f)

Proof of Theorem pautsetN
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2809 . 2  |-  ( K  e.  B  ->  K  e.  _V )
2 pautset.m . . 3  |-  M  =  ( PAut `  K
)
3 fveq2 5541 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  ( PSubSp `  K )
)
4 pautset.s . . . . . . . . 9  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
53, 4syl6eqr 2346 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  K  ->  ( PSubSp `
 k )  =  S )
6 f1oeq2 5480 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : ( PSubSp `  k
)
-1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
75, 6syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )
) )
8 f1oeq3 5481 . . . . . . . 8  |-  ( (
PSubSp `  k )  =  S  ->  ( f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
95, 8syl 15 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
f : S -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S
-1-1-onto-> S ) )
107, 9bitrd 244 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  (
f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  <->  f : S -1-1-onto-> S ) )
115raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  ( A. y  e.  ( PSubSp `
 k ) ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
125, 11raleqbidv 2761 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( A. x  e.  ( PSubSp `
 k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
)  <->  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) )
1310, 12anbi12d 691 . . . . 5  |-  ( k  =  K  ->  (
( f : (
PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) )  <-> 
( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) ) )
1413abbidv 2410 . . . 4  |-  ( k  =  K  ->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `
 k )  /\  A. x  e.  ( PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k )
( x  C_  y  <->  ( f `  x ) 
C_  ( f `  y ) ) ) }  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
15 df-pautN 30802 . . . 4  |-  PAut  =  ( k  e.  _V  |->  { f  |  ( f : ( PSubSp `  k ) -1-1-onto-> ( PSubSp `  k )  /\  A. x  e.  (
PSubSp `  k ) A. y  e.  ( PSubSp `  k ) ( x 
C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
16 fvex 5555 . . . . . . . . 9  |-  ( PSubSp `  K )  e.  _V
174, 16eqeltri 2366 . . . . . . . 8  |-  S  e. 
_V
1817, 17mapval 6800 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  =  { f  |  f : S --> S }
19 ovex 5899 . . . . . . 7  |-  ( S  ^m  S )  e. 
_V
2018, 19eqeltrri 2367 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S --> S }  e.  _V
21 f1of 5488 . . . . . . 7  |-  ( f : S -1-1-onto-> S  ->  f : S
--> S )
2221ss2abi 3258 . . . . . 6  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  C_  { f  |  f : S --> S }
2320, 22ssexi 4175 . . . . 5  |-  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }  e.  _V
24 simpl 443 . . . . . 6  |-  ( ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) )  ->  f : S -1-1-onto-> S )
2524ss2abi 3258 . . . . 5  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  C_  { f  |  f : S -1-1-onto-> S }
2623, 25ssexi 4175 . . . 4  |-  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  ( x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) }  e.  _V
2714, 15, 26fvmpt 5618 . . 3  |-  ( K  e.  _V  ->  ( PAut `  K )  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
282, 27syl5eq 2340 . 2  |-  ( K  e.  _V  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
291, 28syl 15 1  |-  ( K  e.  B  ->  M  =  { f  |  ( f : S -1-1-onto-> S  /\  A. x  e.  S  A. y  e.  S  (
x  C_  y  <->  ( f `  x )  C_  (
f `  y )
) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282   A.wral 2556   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   -->wf 5267   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271  (class class class)co 5874    ^m cmap 6788   PSubSpcpsubsp 30307   PAutcpautN 30798
This theorem is referenced by:  ispautN  30910
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-map 6790  df-pautN 30802
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