MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pc0 Structured version   Unicode version

Theorem pc0 13220
Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc0  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )

Proof of Theorem pc0
Dummy variables  x  y  n  p  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10285 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 zq 10572 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  0  e.  QQ
4 iftrue 3737 . . . 4  |-  ( r  =  0  ->  if ( r  =  0 ,  +oo ,  ( iota z E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( r  =  ( x  /  y
)  /\  z  =  ( sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n )  ||  x } ,  RR ,  <  )  -  sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n
)  ||  y } ,  RR ,  <  )
) ) ) )  =  +oo )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  r  =  0 )  ->  if ( r  =  0 ,  +oo ,  ( iota z E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  (
r  =  ( x  /  y )  /\  z  =  ( sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n
)  ||  x } ,  RR ,  <  )  -  sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n )  ||  y } ,  RR ,  <  ) ) ) ) )  =  +oo )
6 df-pc 13203 . . 3  |-  pCnt  =  ( p  e.  Prime ,  r  e.  QQ  |->  if ( r  =  0 ,  +oo ,  ( iota z E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( r  =  ( x  /  y
)  /\  z  =  ( sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n )  ||  x } ,  RR ,  <  )  -  sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n
)  ||  y } ,  RR ,  <  )
) ) ) ) )
7 pnfxr 10705 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
87elexi 2957 . . 3  |-  +oo  e.  _V
95, 6, 8ovmpt2a 6196 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  0  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  0 )  = 
+oo )
103, 9mpan2 653 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725   E.wrex 2698   {crab 2701   ifcif 3731   class class class wbr 4204   iotacio 5408  (class class class)co 6073   supcsup 7437   RRcr 8981   0cc0 8982    +oocpnf 9109   RR*cxr 9111    < clt 9112    - cmin 9283    / cdiv 9669   NNcn 9992   NN0cn0 10213   ZZcz 10274   QQcq 10566   ^cexp 11374    || cdivides 12844   Primecprime 13071    pCnt cpc 13202
This theorem is referenced by:  pcxcl  13226  pcge0  13227  pcdvdsb  13234  pcgcd1  13242  pc2dvds  13244  pcaddlem  13249  pcadd  13250
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-er 6897  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-z 10275  df-q 10567  df-pc 13203
  Copyright terms: Public domain W3C validator