MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pc0 Unicode version

Theorem pc0 13155
Description: The value of the prime power function at zero. (Contributed by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc0  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )

Proof of Theorem pc0
Dummy variables  x  y  n  p  r 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0z 10225 . . 3  |-  0  e.  ZZ
2 zq 10512 . . 3  |-  ( 0  e.  ZZ  ->  0  e.  QQ )
31, 2ax-mp 8 . 2  |-  0  e.  QQ
4 iftrue 3688 . . . 4  |-  ( r  =  0  ->  if ( r  =  0 ,  +oo ,  ( iota z E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( r  =  ( x  /  y
)  /\  z  =  ( sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n )  ||  x } ,  RR ,  <  )  -  sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n
)  ||  y } ,  RR ,  <  )
) ) ) )  =  +oo )
54adantl 453 . . 3  |-  ( ( p  =  P  /\  r  =  0 )  ->  if ( r  =  0 ,  +oo ,  ( iota z E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  (
r  =  ( x  /  y )  /\  z  =  ( sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n
)  ||  x } ,  RR ,  <  )  -  sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n )  ||  y } ,  RR ,  <  ) ) ) ) )  =  +oo )
6 df-pc 13138 . . 3  |-  pCnt  =  ( p  e.  Prime ,  r  e.  QQ  |->  if ( r  =  0 ,  +oo ,  ( iota z E. x  e.  ZZ  E. y  e.  NN  ( r  =  ( x  /  y
)  /\  z  =  ( sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n )  ||  x } ,  RR ,  <  )  -  sup ( { n  e.  NN0  |  ( p ^ n
)  ||  y } ,  RR ,  <  )
) ) ) ) )
7 pnfxr 10645 . . . 4  |-  +oo  e.  RR*
87elexi 2908 . . 3  |-  +oo  e.  _V
95, 6, 8ovmpt2a 6143 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  0  e.  QQ )  ->  ( P  pCnt  0 )  = 
+oo )
103, 9mpan2 653 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2650   {crab 2653   ifcif 3682   class class class wbr 4153   iotacio 5356  (class class class)co 6020   supcsup 7380   RRcr 8922   0cc0 8923    +oocpnf 9050   RR*cxr 9052    < clt 9053    - cmin 9223    / cdiv 9609   NNcn 9932   NN0cn0 10153   ZZcz 10214   QQcq 10506   ^cexp 11309    || cdivides 12779   Primecprime 13006    pCnt cpc 13137
This theorem is referenced by:  pcxcl  13161  pcge0  13162  pcdvdsb  13169  pcgcd1  13177  pc2dvds  13179  pcaddlem  13184  pcadd  13185
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641  ax-cnex 8979  ax-resscn 8980  ax-1cn 8981  ax-icn 8982  ax-addcl 8983  ax-addrcl 8984  ax-mulcl 8985  ax-mulrcl 8986  ax-mulcom 8987  ax-addass 8988  ax-mulass 8989  ax-distr 8990  ax-i2m1 8991  ax-1ne0 8992  ax-1rid 8993  ax-rnegex 8994  ax-rrecex 8995  ax-cnre 8996  ax-pre-lttri 8997  ax-pre-lttrn 8998  ax-pre-ltadd 8999  ax-pre-mulgt0 9000
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rmo 2657  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-pss 3279  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-tp 3765  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-tr 4244  df-eprel 4435  df-id 4439  df-po 4444  df-so 4445  df-fr 4482  df-we 4484  df-ord 4525  df-on 4526  df-lim 4527  df-suc 4528  df-om 4786  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-riota 6485  df-recs 6569  df-rdg 6604  df-er 6841  df-en 7046  df-dom 7047  df-sdom 7048  df-pnf 9055  df-mnf 9056  df-xr 9057  df-ltxr 9058  df-le 9059  df-sub 9225  df-neg 9226  df-div 9610  df-nn 9933  df-z 10215  df-q 10507  df-pc 13138
  Copyright terms: Public domain W3C validator