MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pc1 Unicode version

Theorem pc1 13005
Description: Value of the prime count function at 1. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )

Proof of Theorem pc1
Dummy variable  n is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1z 10145 . . 3  |-  1  e.  ZZ
2 ax-1ne0 8896 . . 3  |-  1  =/=  0
3 eqid 2358 . . . 4  |-  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  1 } ,  RR ,  <  )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  1 } ,  RR ,  <  )
43pczpre 12997 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
1  e.  ZZ  /\  1  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  1 )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  1 } ,  RR ,  <  )
)
51, 2, 4mpanr12 666 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  1 } ,  RR ,  <  ) )
6 prmuz2 12873 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
7 eqid 2358 . . 3  |-  1  =  1
8 eqid 2358 . . . 4  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  1 }  =  {
n  e.  NN0  | 
( P ^ n
)  ||  1 }
98, 3pcpre1 12992 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  1  =  1 )  ->  sup ( { n  e. 
NN0  |  ( P ^ n )  ||  1 } ,  RR ,  <  )  =  0 )
106, 7, 9sylancl 643 . 2  |-  ( P  e.  Prime  ->  sup ( { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  1 } ,  RR ,  <  )  =  0 )
115, 10eqtrd 2390 1  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1642    e. wcel 1710    =/= wne 2521   {crab 2623   class class class wbr 4104   ` cfv 5337  (class class class)co 5945   supcsup 7283   RRcr 8826   0cc0 8827   1c1 8828    < clt 8957   2c2 9885   NN0cn0 10057   ZZcz 10116   ZZ>=cuz 10322   ^cexp 11197    || cdivides 12628   Primecprime 12855    pCnt cpc 12986
This theorem is referenced by:  pcrec  13008  pcexp  13009  pcid  13022  pcmpt  13037  pcfac  13044  sylow1lem1  15008  mumullem2  20530
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4222  ax-nul 4230  ax-pow 4269  ax-pr 4295  ax-un 4594  ax-cnex 8883  ax-resscn 8884  ax-1cn 8885  ax-icn 8886  ax-addcl 8887  ax-addrcl 8888  ax-mulcl 8889  ax-mulrcl 8890  ax-mulcom 8891  ax-addass 8892  ax-mulass 8893  ax-distr 8894  ax-i2m1 8895  ax-1ne0 8896  ax-1rid 8897  ax-rnegex 8898  ax-rrecex 8899  ax-cnre 8900  ax-pre-lttri 8901  ax-pre-lttrn 8902  ax-pre-ltadd 8903  ax-pre-mulgt0 8904  ax-pre-sup 8905
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3909  df-int 3944  df-iun 3988  df-br 4105  df-opab 4159  df-mpt 4160  df-tr 4195  df-eprel 4387  df-id 4391  df-po 4396  df-so 4397  df-fr 4434  df-we 4436  df-ord 4477  df-on 4478  df-lim 4479  df-suc 4480  df-om 4739  df-xp 4777  df-rel 4778  df-cnv 4779  df-co 4780  df-dm 4781  df-rn 4782  df-res 4783  df-ima 4784  df-iota 5301  df-fun 5339  df-fn 5340  df-f 5341  df-f1 5342  df-fo 5343  df-f1o 5344  df-fv 5345  df-ov 5948  df-oprab 5949  df-mpt2 5950  df-1st 6209  df-2nd 6210  df-riota 6391  df-recs 6475  df-rdg 6510  df-1o 6566  df-2o 6567  df-oadd 6570  df-er 6747  df-en 6952  df-dom 6953  df-sdom 6954  df-fin 6955  df-sup 7284  df-pnf 8959  df-mnf 8960  df-xr 8961  df-ltxr 8962  df-le 8963  df-sub 9129  df-neg 9130  df-div 9514  df-nn 9837  df-2 9894  df-3 9895  df-n0 10058  df-z 10117  df-uz 10323  df-q 10409  df-rp 10447  df-fl 11017  df-mod 11066  df-seq 11139  df-exp 11198  df-cj 11680  df-re 11681  df-im 11682  df-sqr 11816  df-abs 11817  df-dvds 12629  df-gcd 12783  df-prm 12856  df-pc 12987
  Copyright terms: Public domain W3C validator