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Theorem pc2dvds 12947
Description: A characterization of divisibility in terms of prime count. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Oct-2014.)
Assertion
Ref Expression
pc2dvds  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
Distinct variable groups:    A, p    B, p

Proof of Theorem pc2dvds
StepHypRef Expression
1 pcdvdstr 12944 . . . . 5  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) )
21ancoms 439 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B )  /\  p  e.  Prime )  -> 
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) )
32ralrimiva 2639 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ  /\  A  ||  B )  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
433expia 1153 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  ->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
5 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( A  =  0  ->  (
p  pCnt  A )  =  ( p  pCnt  0 ) )
65breq1d 4049 . . . . 5  |-  ( A  =  0  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
) )
76ralbidv 2576 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
)  <->  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
8 breq1 4042 . . . 4  |-  ( A  =  0  ->  ( A  ||  B  <->  0  ||  B ) )
97, 8imbi12d 311 . . 3  |-  ( A  =  0  ->  (
( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  A  ||  B )  <->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  0  ||  B ) ) )
10 gcddvds 12710 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  /\  ( A  gcd  B ) 
||  B ) )
1110simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  A )
12 gcdcl 12712 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  NN0 )
1312nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  e.  ZZ )
14 simpl 443 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  A  e.  ZZ )
15 dvdsabsb 12564 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  A  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) ) )
1613, 14, 15syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  A  <->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) ) )
1711, 16mpbid 201 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  ( abs `  A ) )
1817adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A ) )
19 simpl 443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  =  0  /\  B  =  0 )  ->  A  =  0 )
2019necon3ai 2499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =/=  0  ->  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0
) )
21 gcdn0cl 12709 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  -.  ( A  =  0  /\  B  =  0 ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
2220, 21sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
2322nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  ZZ )
2422nnne0d 9806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  =/=  0
)
25 nnabscl 11825 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 )  -> 
( abs `  A
)  e.  NN )
2625adantlr 695 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
2726nnzd 10132 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
28 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  gcd  B
)  e.  ZZ  /\  ( A  gcd  B )  =/=  0  /\  ( abs `  A )  e.  ZZ )  ->  (
( A  gcd  B
)  ||  ( abs `  A )  <->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ ) )
2923, 24, 27, 28syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  ( abs `  A )  <-> 
( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ ) )
3018, 29mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  ZZ )
31 nnre 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  ( abs `  A )  e.  RR )
32 nngt0 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  0  <  ( abs `  A
) )
3331, 32jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( abs `  A )  e.  NN  ->  (
( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) ) )
34 nnre 9769 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  ( A  gcd  B )  e.  RR )
35 nngt0 9791 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  0  <  ( A  gcd  B
) )
3634, 35jca 518 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  gcd  B )  e.  NN  ->  (
( A  gcd  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  gcd  B ) ) )
37 divgt0 9640 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( abs `  A
)  e.  RR  /\  0  <  ( abs `  A
) )  /\  (
( A  gcd  B
)  e.  RR  /\  0  <  ( A  gcd  B ) ) )  -> 
0  <  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )
3833, 36, 37syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( abs `  A
)  e.  NN  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  -> 
0  <  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )
3926, 22, 38syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  0  <  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
40 elnnz 10050 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  0  <  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
4130, 39, 40sylanbrc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  e.  NN )
42 elnn1uz2 10310 . . . . . . 7  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN  <->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
4341, 42sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) ) )
4410simprd 449 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  gcd  B
)  ||  B )
4544adantr 451 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  ||  B
)
46 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A
)  ->  ( ( A  gcd  B )  ||  B 
<->  ( abs `  A
)  ||  B )
)
4745, 46syl5ibcom 211 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A
)  ->  ( abs `  A )  ||  B
) )
4826nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
4922nncnd 9778 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  gcd  B )  e.  CC )
50 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  CC
5150a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  1  e.  CC )
5248, 49, 51, 24divmuld 9574 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  <->  ( ( A  gcd  B )  x.  1 )  =  ( abs `  A ) ) )
5349mulid1d 8868 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( ( A  gcd  B )  x.  1 )  =  ( A  gcd  B ) )
5453eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( A  gcd  B
)  x.  1 )  =  ( abs `  A
)  <->  ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A ) ) )
5552, 54bitrd 244 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  <->  ( A  gcd  B )  =  ( abs `  A ) ) )
56 absdvdsb 12563 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  ( abs `  A ) 
||  B ) )
5756adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  ||  B  <->  ( abs `  A
)  ||  B )
)
5847, 55, 573imtr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  ->  A  ||  B ) )
59 exprmfct 12805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  E. p  e.  Prime  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
60 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  p  e.  Prime )
6126adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  NN )
6261nnzd 10132 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  ZZ )
6361nnne0d 9806 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  =/=  0 )
6422adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( A  gcd  B )  e.  NN )
65 pcdiv 12921 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( abs `  A
)  e.  ZZ  /\  ( abs `  A )  =/=  0 )  /\  ( A  gcd  B )  e.  NN )  -> 
( p  pCnt  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
6660, 62, 63, 64, 65syl121anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
67 simplll 734 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  e.  ZZ )
68 zq 10338 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  ZZ  ->  A  e.  QQ )
6967, 68syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  e.  QQ )
70 pcabs 12943 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( p  pCnt  A
) )
7160, 69, 70syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( abs `  A ) )  =  ( p  pCnt  A
) )
7271oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( abs `  A ) )  -  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  =  ( ( p  pCnt  A
)  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
7366, 72eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  =  ( ( p  pCnt  A )  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
74 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )
7541adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )
76 pcelnn 12938 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  NN )  -> 
( ( p  pCnt  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7760, 75, 76syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )
7874, 77mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) ) )  e.  NN )
7973, 78eqeltrrd 2371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  -  ( p 
pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN )
8060, 64pccld 12919 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e. 
NN0 )
8180nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ )
82 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  A  =/=  0 )
83 pczcl 12917 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( A  e.  ZZ  /\  A  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  A
)  e.  NN0 )
8460, 67, 82, 83syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  NN0 )
8584nn0zd 10131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  ZZ )
86 znnsub 10080 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  ZZ  /\  (
p  pCnt  A )  e.  ZZ )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  ( ( p 
pCnt  A )  -  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN ) )
8781, 85, 86syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  ( ( p 
pCnt  A )  -  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )  e.  NN ) )
8879, 87mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  < 
( p  pCnt  A
) )
8980nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  e.  RR )
9084nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  e.  RR )
9189, 90ltnled 8982 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  <  ( p  pCnt  A )  <->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
9288, 91mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) )
93 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  B  e.  ZZ )
94 nprmdvds1 12806 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( p  e.  Prime  ->  -.  p  ||  1 )
9594ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  p  ||  1 )
96 gcdid0 12719 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( A  e.  ZZ  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
9767, 96syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( A  gcd  0 )  =  ( abs `  A
) )
9897oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( abs `  A ) ) )
9948adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( abs `  A )  e.  CC )
10099, 63dividd 9550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( abs `  A ) )  =  1 )
10198, 100eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) )  =  1 )
102101breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  0
) )  <->  p  ||  1
) )
10395, 102mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  p  ||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) )
104 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( B  =  0  ->  ( A  gcd  B )  =  ( A  gcd  0
) )
105104oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( B  =  0  ->  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) )
106105breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( B  =  0  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  <->  p  ||  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  0 ) ) ) )
10774, 106syl5ibcom 211 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( B  =  0  ->  p 
||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) ) ) )
108107necon3bd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  ( -.  p  ||  ( ( abs `  A )  /  ( A  gcd  0 ) )  ->  B  =/=  0 ) )
109103, 108mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  B  =/=  0 )
110 pczcl 12917 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  NN0 )
11160, 93, 109, 110syl12anc 1180 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  NN0 )
112111nn0red 10035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
113 lemin 10536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( p  pCnt  A
)  e.  RR  /\  ( p  pCnt  A )  e.  RR  /\  (
p  pCnt  B )  e.  RR )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  if (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
11490, 90, 112, 113syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  if (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
115 pcgcd 12946 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
11660, 67, 93, 115syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) )  =  if ( ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p 
pCnt  B ) ) )
117116breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  ( A  gcd  B
) )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  if ( ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ,  ( p  pCnt  A ) ,  ( p  pCnt  B ) ) ) )
11890leidd 9355 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
) )
119118biantrurd 494 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  A
)  /\  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) ) )
120114, 117, 1193bitr4rd 277 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  (
( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( p  pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  ( A  gcd  B ) ) ) )
12192, 120mtbird 292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  (
p  e.  Prime  /\  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) ) ) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
122121expr 598 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0 )  /\  p  e.  Prime )  ->  (
p  ||  ( ( abs `  A )  / 
( A  gcd  B
) )  ->  -.  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
123122reximdva 2668 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  ->  E. p  e.  Prime  -.  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
124 rexnal 2567 . . . . . . . . 9  |-  ( E. p  e.  Prime  -.  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
)  <->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) )
125123, 124syl6ib 217 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( E. p  e.  Prime  p  ||  ( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  ->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
12659, 125syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  -.  A. p  e.  Prime  ( p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
12758, 126orim12d 811 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( (
( ( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  =  1  \/  (
( abs `  A
)  /  ( A  gcd  B ) )  e.  ( ZZ>= `  2
) )  ->  ( A  ||  B  \/  -.  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
12843, 127mpd 14 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A  ||  B  \/  -.  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )
) )
129128ord 366 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( -.  A  ||  B  ->  -.  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
130129con4d 97 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  A  =/=  0
)  ->  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  A )  <_  (
p  pCnt  B )  ->  A  ||  B ) )
131 2prm 12790 . . . . . 6  |-  2  e.  Prime
132 ne0i 3474 . . . . . 6  |-  ( 2  e.  Prime  ->  Prime  =/=  (/) )
133131, 132ax-mp 8 . . . . 5  |-  Prime  =/=  (/)
134 r19.2z 3556 . . . . 5  |-  ( ( Prime  =/=  (/)  /\  A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
) )  ->  E. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
)
135133, 134mpan 651 . . . 4  |-  ( A. p  e.  Prime  ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  E. p  e.  Prime  ( p  pCnt  0 )  <_  (
p  pCnt  B )
)
136 id 19 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p  e.  Prime  ->  p  e. 
Prime )
137 zq 10338 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  ZZ  ->  B  e.  QQ )
138137adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  B  e.  QQ )
139 pcxcl 12929 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  B  e.  QQ )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR* )
140136, 138, 139syl2anr 464 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR* )
141 pnfge 10485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p  pCnt  B )  e.  RR*  ->  ( p  pCnt  B )  <_  +oo )
142140, 141syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  B )  <_  +oo )
143142biantrurd 494 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  (  +oo  <_  ( p  pCnt  B )  <->  ( ( p  pCnt  B
)  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
144 pc0 12923 . . . . . . . . . 10  |-  ( p  e.  Prime  ->  ( p 
pCnt  0 )  = 
+oo )
145144adantl 452 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( p  pCnt  0 )  =  +oo )
146145breq1d 4049 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  <->  +oo  <_  ( p  pCnt  B ) ) )
147 pnfxr 10471 . . . . . . . . 9  |-  +oo  e.  RR*
148 xrletri3 10502 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( p  pCnt  B
)  e.  RR*  /\  +oo  e.  RR* )  ->  (
( p  pCnt  B
)  =  +oo  <->  ( (
p  pCnt  B )  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( p  pCnt  B )
) ) )
149140, 147, 148sylancl 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  B )  =  +oo  <->  (
( p  pCnt  B
)  <_  +oo  /\  +oo  <_  ( p  pCnt  B
) ) ) )
150143, 146, 1493bitr4d 276 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  <->  ( p  pCnt  B )  =  +oo )
)
151 pnfnre 8890 . . . . . . . . . 10  |-  +oo  e/  RR
152 df-nel 2462 . . . . . . . . . 10  |-  (  +oo  e/  RR  <->  -.  +oo  e.  RR )
153151, 152mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  -.  +oo  e.  RR
154 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( ( p  pCnt  B )  =  +oo  ->  ( (
p  pCnt  B )  e.  RR  <->  +oo  e.  RR ) )
155153, 154mtbiri 294 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  pCnt  B )  =  +oo  ->  -.  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
156110nn0red 10035 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p  e.  Prime  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  -> 
( p  pCnt  B
)  e.  RR )
157156adantll 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  p  e.  Prime )  /\  ( B  e.  ZZ  /\  B  =/=  0 ) )  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR )
158157an4s 799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  ( p  e. 
Prime  /\  B  =/=  0
) )  ->  (
p  pCnt  B )  e.  RR )
159158expr 598 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( B  =/=  0  ->  ( p  pCnt  B )  e.  RR ) )
160159necon1bd 2527 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( -.  (
p  pCnt  B )  e.  RR  ->  B  = 
0 ) )
161155, 160syl5 28 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  B )  =  +oo  ->  B  =  0 ) )
162150, 161sylbid 206 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  /\  p  e.  Prime )  ->  ( ( p 
pCnt  0 )  <_ 
( p  pCnt  B
)  ->  B  = 
0 ) )
163162rexlimdva 2680 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  B  =  0 ) )
164 0dvds 12565 . . . . . 6  |-  ( B  e.  ZZ  ->  (
0  ||  B  <->  B  = 
0 ) )
165164adantl 452 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( 0  ||  B  <->  B  =  0 ) )
166163, 165sylibrd 225 . . . 4  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( E. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  0  ||  B ) )
167135, 166syl5 28 . . 3  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  0
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  0  ||  B ) )
1689, 130, 167pm2.61ne 2534 . 2  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A. p  e. 
Prime  ( p  pCnt  A
)  <_  ( p  pCnt  B )  ->  A  ||  B ) )
1694, 168impbid 183 1  |-  ( ( A  e.  ZZ  /\  B  e.  ZZ )  ->  ( A  ||  B  <->  A. p  e.  Prime  (
p  pCnt  A )  <_  ( p  pCnt  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459    e/ wnel 2460   A.wral 2556   E.wrex 2557   (/)c0 3468   ifcif 3578   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    +oocpnf 8880   RR*cxr 8882    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   QQcq 10332   abscabs 11735    || cdivides 12547    gcd cgcd 12701   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905
This theorem is referenced by:  pc11  12948  pcz  12949  pcprmpw2  12950  pockthg  12969  pgpfi  14932  fislw  14952  gexexlem  15160  ablfac1c  15322  sqff1o  20436  chtublem  20466  bposlem6  20544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906
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