MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcaddlem Unicode version

Theorem pcaddlem 13212
Description: Lemma for pcadd 13213. The original numbers  A and  B have been decomposed using the prime count function as  ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) where  R ,  S are both not divisible by  P and  M  =  ( P  pCnt  A ), and similarly for  B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcaddlem.2  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) ) )
pcaddlem.3  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) ) )
pcaddlem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
pcaddlem.5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  R
) )
pcaddlem.6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  S
) )
pcaddlem.7  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  T
) )
pcaddlem.8  |-  ( ph  ->  ( U  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  U
) )
Assertion
Ref Expression
pcaddlem  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 6048 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  =  ( P  pCnt  0
) )
21breq2d 4184 . 2  |-  ( ( A  +  B )  =  0  ->  ( M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  <->  M  <_  ( P 
pCnt  0 ) ) )
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10449 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65zred 10331 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  e.  RR )
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 13037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1210nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
13 eluzelz 10452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
143, 13syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1514, 5zsubcld 10336 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
1611, 12, 15expclzd 11483 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  CC )
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  T
) )
1817simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
1918zcnd 10332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  U
) )
2120simpld 446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NN )
2221nncnd 9972 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2321nnne0d 10000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
2416, 19, 22, 23divassd 9781 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  /  U
)  =  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )
2524oveq2d 6056 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  /  U ) )  =  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  R
) )
2726simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
2827zcnd 10332 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  S
) )
3029simpld 446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
3130nncnd 9972 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
3216, 19mulcld 9064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  e.  CC )
3330nnne0d 10000 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  /  U ) )  =  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )
3525, 34eqtr3d 2438 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )
3635oveq2d 6056 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) ) ) )
3736adantr 452 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( (
( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) ) )
388adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
3921nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  ZZ )
4027, 39zmulcld 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  U
)  e.  ZZ )
41 uznn0sub 10473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
423, 41syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
4310, 42nnexpcld 11499 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  NN )
4443nnzd 10330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ )
4544, 18zmulcld 10337 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  e.  ZZ )
4630nnzd 10330 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 10337 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
)  e.  ZZ )
4840, 47zaddcld 10335 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ )
4948adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  e.  ZZ )
5011, 12, 5expclzd 11483 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  e.  CC )
5150mul01d 9221 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  0 )  =  0 )
52 oveq2 6048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  ->  (
( P ^ M
)  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  0 ) )
5352eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  ->  (
( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  0  <->  (
( P ^ M
)  x.  0 )  =  0 ) )
5451, 53syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  -> 
( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  0 ) )
5554necon3d 2605 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =/=  0  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )
5628, 31, 33divcld 9746 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  /  S
)  e.  CC )
5719, 22, 23divcld 9746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  /  U
)  e.  CC )
5816, 57mulcld 9064 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  CC )
5950, 56, 58adddid 9068 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( ( ( P ^ M
)  x.  ( R  /  S ) )  +  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) ) )
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) ) )
625zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6314zcnd 10332 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6462, 63pncan3d 9370 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
6564oveq2d 6056 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( P ^ N ) )
66 expaddz 11379 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  P  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ ) )  -> 
( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) ) )
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) ) )
6865, 67eqtr3d 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^
( N  -  M
) ) ) )
6968oveq1d 6055 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) )  =  ( ( ( P ^ M )  x.  ( P ^
( N  -  M
) ) )  x.  ( T  /  U
) ) )
7050, 16, 57mulassd 9067 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) )  x.  ( T  /  U ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )
7161, 69, 703eqtrd 2440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )
7260, 71oveq12d 6058 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( P ^ M
)  x.  ( R  /  S ) )  +  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )
7359, 72eqtr4d 2439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( A  +  B ) )
7473neeq1d 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =/=  0  <->  ( A  +  B )  =/=  0 ) )
7535neeq1d 2580 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0  <->  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) )  =/=  0 ) )
7655, 74, 753imtr3d 259 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
)  =/=  0 ) )
7730, 21nnmulcld 10003 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  e.  NN )
7877nncnd 9972 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  e.  CC )
7977nnne0d 10000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  =/=  0 )
8078, 79div0d 9745 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  /  ( S  x.  U )
)  =  0 )
81 oveq1 6047 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  =  0  ->  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) )  =  ( 0  / 
( S  x.  U
) ) )
8281eqeq1d 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  =  0  ->  (
( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
)  =  0  <->  (
0  /  ( S  x.  U ) )  =  0 ) )
8380, 82syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  =  0  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) )  =  0 ) )
8483necon3d 2605 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) )  =/=  0  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )
8576, 84syld 42 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )
8685imp 419 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  =/=  0 )
8777adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( S  x.  U )  e.  NN )
88 pcdiv 13181 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ  /\  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 )  /\  ( S  x.  U )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) ) )
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1189 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
) )  =  ( ( P  pCnt  (
( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P 
pCnt  ( S  x.  U ) ) ) )
90 pcmul 13180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( S  e.  ZZ  /\  S  =/=  0 )  /\  ( U  e.  ZZ  /\  U  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P  pCnt  U ) ) )
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1193 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P  pCnt  U ) ) )
9229simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  S
)
93 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  S  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  S
)  =  0  <->  -.  P  ||  S ) )
948, 30, 93syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  =  0  <->  -.  P  ||  S ) )
9592, 94mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  S
)  =  0 )
9620simprd 450 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  U
)
97 pceq0 13199 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  U  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  U
)  =  0  <->  -.  P  ||  U ) )
988, 21, 97syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  U )  =  0  <->  -.  P  ||  U ) )
9996, 98mpbird 224 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  U
)  =  0 )
10095, 99oveq12d 6058 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P 
pCnt  U ) )  =  ( 0  +  0 ) )
101 00id 9197 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
102100, 101syl6eq 2452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P 
pCnt  U ) )  =  0 )
10391, 102eqtrd 2436 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  0 )
104103oveq2d 6056 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P 
pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  - 
0 ) )
105104adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) )  -  0 ) )
106 pczcl 13177 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ  /\  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  NN0 )
10738, 49, 86, 106syl12anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  NN0 )
108107nn0cnd 10232 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  CC )
109108subid1d 9356 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  - 
0 )  =  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) ) )
110105, 109eqtrd 2436 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) ) )
11137, 89, 1103eqtrd 2440 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) ) )
112111, 107eqeltrd 2478 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  e.  NN0 )
113 nn0addge1 10222 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) ) ) )
1147, 112, 113syl2anc 643 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  <_  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
115 nnq 10543 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  QQ )
11610, 115syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  QQ )
117 qexpclz 11357 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P ^ M )  e.  QQ )
118116, 12, 5, 117syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  e.  QQ )
119118adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P ^ M )  e.  QQ )
12011, 12, 5expne0d 11484 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  =/=  0 )
121120adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P ^ M )  =/=  0
)
122 znq 10534 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  ZZ  /\  S  e.  NN )  ->  ( R  /  S
)  e.  QQ )
12327, 30, 122syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  S
)  e.  QQ )
124 qexpclz 11357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  P  =/=  0  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ )  ->  ( P ^ ( N  -  M ) )  e.  QQ )
125116, 12, 15, 124syl3anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  QQ )
126 znq 10534 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ZZ  /\  U  e.  NN )  ->  ( T  /  U
)  e.  QQ )
12718, 21, 126syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  /  U
)  e.  QQ )
128 qmulcl 10548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  QQ  /\  ( T  /  U
)  e.  QQ )  ->  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) )  e.  QQ )
129125, 127, 128syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  QQ )
130 qaddcl 10546 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  /  S
)  e.  QQ  /\  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  QQ )  -> 
( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
131123, 129, 130syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
132131adantr 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
13374, 55sylbird 227 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )
134133imp 419 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 )
135 pcqmul 13182 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( P ^ M
)  e.  QQ  /\  ( P ^ M )  =/=  0 )  /\  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
13773oveq2d 6056 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( P ^ M
)  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( A  +  B ) ) )
138137adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) )
139 pcid 13201 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  =  M )
1408, 5, 139syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  =  M )
141140oveq1d 6055 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( M  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
142141adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
143136, 138, 1423eqtr3d 2444 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B
) )  =  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
144114, 143breqtrrd 4198 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) )
1456rexrd 9090 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
146 pnfge 10683 . . . 4  |-  ( M  e.  RR*  ->  M  <_  +oo )
147145, 146syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  +oo )
148 pc0 13183 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )
1498, 148syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  0
)  =  +oo )
150147, 149breqtrrd 4198 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  0 ) )
1512, 144, 150pm2.61ne 2642 1  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   CCcc 8944   RRcr 8945   0cc0 8946    + caddc 8949    x. cmul 8951    +oocpnf 9073   RR*cxr 9075    <_ cle 9077    - cmin 9247    / cdiv 9633   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ZZ>=cuz 10444   QQcq 10530   ^cexp 11337    || cdivides 12807   Primecprime 13034    pCnt cpc 13165
This theorem is referenced by:  pcadd  13213
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166
  Copyright terms: Public domain W3C validator