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Theorem pcaddlem 12936
Description: Lemma for pcadd 12937. The original numbers  A and  B have been decomposed using the prime count function as  ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) where  R ,  S are both not divisible by  P and  M  =  ( P  pCnt  A ), and similarly for  B. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Sep-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcaddlem.1  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcaddlem.2  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) ) )
pcaddlem.3  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) ) )
pcaddlem.4  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
pcaddlem.5  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  R
) )
pcaddlem.6  |-  ( ph  ->  ( S  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  S
) )
pcaddlem.7  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  T
) )
pcaddlem.8  |-  ( ph  ->  ( U  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  U
) )
Assertion
Ref Expression
pcaddlem  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )

Proof of Theorem pcaddlem
StepHypRef Expression
1 oveq2 5866 . . 3  |-  ( ( A  +  B )  =  0  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  =  ( P  pCnt  0
) )
21breq2d 4035 . 2  |-  ( ( A  +  B )  =  0  ->  ( M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) )  <->  M  <_  ( P 
pCnt  0 ) ) )
3 pcaddlem.4 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ZZ>= `  M ) )
4 eluzel2 10235 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  M  e.  ZZ )
53, 4syl 15 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ZZ )
65zred 10117 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
76adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  e.  RR )
8 pcaddlem.1 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
1210nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  P  =/=  0 )
13 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  N  e.  ZZ )
143, 13syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
1514, 5zsubcld 10122 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  ZZ )
1611, 12, 15expclzd 11250 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  CC )
17 pcaddlem.7 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( T  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  T
) )
1817simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  T  e.  ZZ )
1918zcnd 10118 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  T  e.  CC )
20 pcaddlem.8 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( U  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  U
) )
2120simpld 445 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  U  e.  NN )
2221nncnd 9762 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  e.  CC )
2321nnne0d 9790 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  U  =/=  0 )
2416, 19, 22, 23divassd 9571 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  /  U
)  =  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )
2524oveq2d 5874 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  /  U ) )  =  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )
26 pcaddlem.5 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( R  e.  ZZ  /\ 
-.  P  ||  R
) )
2726simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  R  e.  ZZ )
2827zcnd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  R  e.  CC )
29 pcaddlem.6 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  e.  NN  /\ 
-.  P  ||  S
) )
3029simpld 445 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  S  e.  NN )
3130nncnd 9762 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  CC )
3216, 19mulcld 8855 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  e.  CC )
3330nnne0d 9790 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  =/=  0 )
3428, 31, 32, 22, 33, 23divadddivd 9580 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  /  U ) )  =  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )
3525, 34eqtr3d 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )
3635oveq2d 5874 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) ) ) )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( (
( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) ) )
388adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  P  e.  Prime )
3921nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  U  e.  ZZ )
4027, 39zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( R  x.  U
)  e.  ZZ )
41 uznn0sub 10259 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  M
)  ->  ( N  -  M )  e.  NN0 )
423, 41syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( N  -  M
)  e.  NN0 )
4310, 42nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  NN )
4443nnzd 10116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  ZZ )
4544, 18zmulcld 10123 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  e.  ZZ )
4630nnzd 10116 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  S  e.  ZZ )
4745, 46zmulcld 10123 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
)  e.  ZZ )
4840, 47zaddcld 10121 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ )
4948adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  e.  ZZ )
5011, 12, 5expclzd 11250 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  e.  CC )
5150mul01d 9011 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  0 )  =  0 )
52 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  ->  (
( P ^ M
)  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  0 ) )
5352eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  ->  (
( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  0  <->  (
( P ^ M
)  x.  0 )  =  0 ) )
5451, 53syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =  0  -> 
( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  0 ) )
5554necon3d 2484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =/=  0  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )
5628, 31, 33divcld 9536 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( R  /  S
)  e.  CC )
5719, 22, 23divcld 9536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( T  /  U
)  e.  CC )
5816, 57mulcld 8855 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  CC )
5950, 56, 58adddid 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( ( ( P ^ M
)  x.  ( R  /  S ) )  +  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )
60 pcaddlem.2 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  A  =  ( ( P ^ M )  x.  ( R  /  S ) ) )
61 pcaddlem.3 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) ) )
625zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
6314zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  N  e.  CC )
6462, 63pncan3d 9160 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  ( M  +  ( N  -  M ) )  =  N )
6564oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( P ^ N ) )
66 expaddz 11146 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( P  e.  CC  /\  P  =/=  0 )  /\  ( M  e.  ZZ  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ ) )  -> 
( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) ) )
6711, 12, 5, 15, 66syl22anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( M  +  ( N  -  M ) ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) ) )
6865, 67eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  =  ( ( P ^ M )  x.  ( P ^
( N  -  M
) ) ) )
6968oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ N )  x.  ( T  /  U ) )  =  ( ( ( P ^ M )  x.  ( P ^
( N  -  M
) ) )  x.  ( T  /  U
) ) )
7050, 16, 57mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( P ^ ( N  -  M )
) )  x.  ( T  /  U ) )  =  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )
7161, 69, 703eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )
7260, 71oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  =  ( ( ( P ^ M
)  x.  ( R  /  S ) )  +  ( ( P ^ M )  x.  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )
7359, 72eqtr4d 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( A  +  B ) )
7473neeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( P ^ M )  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =/=  0  <->  ( A  +  B )  =/=  0 ) )
7535neeq1d 2459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0  <->  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) )  =/=  0 ) )
7655, 74, 753imtr3d 258 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
)  =/=  0 ) )
7730, 21nnmulcld 9793 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  e.  NN )
7877nncnd 9762 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  e.  CC )
7977nnne0d 9790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( S  x.  U
)  =/=  0 )
8078, 79div0d 9535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( 0  /  ( S  x.  U )
)  =  0 )
81 oveq1 5865 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  =  0  ->  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) )  =  ( 0  / 
( S  x.  U
) ) )
8281eqeq1d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) )  =  0  ->  (
( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
)  =  0  <->  (
0  /  ( S  x.  U ) )  =  0 ) )
8380, 82syl5ibrcom 213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  =  0  ->  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) )  =  0 ) )
8483necon3d 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  / 
( S  x.  U
) )  =/=  0  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )
8576, 84syld 40 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )
8685imp 418 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) )  =/=  0 )
8777adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( S  x.  U )  e.  NN )
88 pcdiv 12905 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ  /\  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 )  /\  ( S  x.  U )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  /  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) ) )
8938, 49, 86, 87, 88syl121anc 1187 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) )  /  ( S  x.  U )
) )  =  ( ( P  pCnt  (
( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P 
pCnt  ( S  x.  U ) ) ) )
90 pcmul 12904 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( S  e.  ZZ  /\  S  =/=  0 )  /\  ( U  e.  ZZ  /\  U  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P  pCnt  U ) ) )
918, 46, 33, 39, 23, 90syl122anc 1191 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P  pCnt  U ) ) )
9229simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  S
)
93 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  S  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  S
)  =  0  <->  -.  P  ||  S ) )
948, 30, 93syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  =  0  <->  -.  P  ||  S ) )
9592, 94mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  S
)  =  0 )
9620simprd 449 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  U
)
97 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  U  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  U
)  =  0  <->  -.  P  ||  U ) )
988, 21, 97syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  U )  =  0  <->  -.  P  ||  U ) )
9996, 98mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  U
)  =  0 )
10095, 99oveq12d 5876 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P 
pCnt  U ) )  =  ( 0  +  0 ) )
101 00id 8987 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 0  +  0 )  =  0
102100, 101syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  S )  +  ( P 
pCnt  U ) )  =  0 )
10391, 102eqtrd 2315 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( S  x.  U )
)  =  0 )
104103oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U
)  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  T )  x.  S ) ) )  -  ( P 
pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  - 
0 ) )
105104adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) )  -  0 ) )
106 pczcl 12901 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  e.  ZZ  /\  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  NN0 )
10738, 49, 86, 106syl12anc 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  NN0 )
108107nn0cnd 10020 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  T
)  x.  S ) ) )  e.  CC )
109108subid1d 9146 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  - 
0 )  =  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) ) )
110105, 109eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) )  -  ( P  pCnt  ( S  x.  U ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S
) ) ) )
11137, 89, 1103eqtrd 2319 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( ( R  x.  U )  +  ( ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  T )  x.  S ) ) ) )
112111, 107eqeltrd 2357 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) ) )  e.  NN0 )
113 nn0addge1 10010 . . . 4  |-  ( ( M  e.  RR  /\  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) )  e.  NN0 )  ->  M  <_  ( M  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) ) ) )
1147, 112, 113syl2anc 642 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  <_  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
115 nnq 10329 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  NN  ->  P  e.  QQ )
11610, 115syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  QQ )
117 qexpclz 11124 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  P  =/=  0  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P ^ M )  e.  QQ )
118116, 12, 5, 117syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  e.  QQ )
119118adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P ^ M )  e.  QQ )
12011, 12, 5expne0d 11251 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ M
)  =/=  0 )
121120adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P ^ M )  =/=  0
)
122 znq 10320 . . . . . . . 8  |-  ( ( R  e.  ZZ  /\  S  e.  NN )  ->  ( R  /  S
)  e.  QQ )
12327, 30, 122syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( R  /  S
)  e.  QQ )
124 qexpclz 11124 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  e.  QQ  /\  P  =/=  0  /\  ( N  -  M )  e.  ZZ )  ->  ( P ^ ( N  -  M ) )  e.  QQ )
125116, 12, 15, 124syl3anc 1182 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  QQ )
126 znq 10320 . . . . . . . . 9  |-  ( ( T  e.  ZZ  /\  U  e.  NN )  ->  ( T  /  U
)  e.  QQ )
12718, 21, 126syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( T  /  U
)  e.  QQ )
128 qmulcl 10334 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P ^ ( N  -  M )
)  e.  QQ  /\  ( T  /  U
)  e.  QQ )  ->  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) )  e.  QQ )
129125, 127, 128syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  QQ )
130 qaddcl 10332 . . . . . . 7  |-  ( ( ( R  /  S
)  e.  QQ  /\  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) )  e.  QQ )  -> 
( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
131123, 129, 130syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
132131adantr 451 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ )
13374, 55sylbird 226 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  =/=  0  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )
134133imp 418 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 )
135 pcqmul 12906 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( P ^ M
)  e.  QQ  /\  ( P ^ M )  =/=  0 )  /\  ( ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) )  e.  QQ  /\  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M )
)  x.  ( T  /  U ) ) )  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
13638, 119, 121, 132, 134, 135syl122anc 1191 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
13773oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
( P ^ M
)  x.  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U
) ) ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( A  +  B ) ) )
138137adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( ( P ^ M )  x.  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) )
139 pcid 12925 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  M  e.  ZZ )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  =  M )
1408, 5, 139syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  =  M )
141140oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( M  +  ( P  pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
142141adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( ( P  pCnt  ( P ^ M ) )  +  ( P  pCnt  (
( R  /  S
)  +  ( ( P ^ ( N  -  M ) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) )  =  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
143136, 138, 1423eqtr3d 2323 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  ( P  pCnt  ( A  +  B
) )  =  ( M  +  ( P 
pCnt  ( ( R  /  S )  +  ( ( P ^
( N  -  M
) )  x.  ( T  /  U ) ) ) ) ) )
144114, 143breqtrrd 4049 . 2  |-  ( (
ph  /\  ( A  +  B )  =/=  0
)  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B ) ) )
1456rexrd 8881 . . . 4  |-  ( ph  ->  M  e.  RR* )
146 pnfge 10469 . . . 4  |-  ( M  e.  RR*  ->  M  <_  +oo )
147145, 146syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  M  <_  +oo )
148 pc0 12907 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  0 )  = 
+oo )
1498, 148syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  0
)  =  +oo )
150147, 149breqtrrd 4049 . 2  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  0 ) )
1512, 144, 150pm2.61ne 2521 1  |-  ( ph  ->  M  <_  ( P  pCnt  ( A  +  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737    + caddc 8740    x. cmul 8742    +oocpnf 8864   RR*cxr 8866    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   QQcq 10316   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889
This theorem is referenced by:  pcadd  12937
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890
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