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Theorem pcbc 13270
Description: Calculate the prime count of a binomial coefficient. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Mar-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 21-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcbc  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Distinct variable groups:    P, k    k, N    k, K

Proof of Theorem pcbc
StepHypRef Expression
1 simp3 960 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  P  e.  Prime )
2 nnnn0 10229 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  NN0 )
323ad2ant1 979 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  NN0 )
4 faccl 11577 . . . . 5  |-  ( N  e.  NN0  ->  ( ! `
 N )  e.  NN )
53, 4syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  NN )
65nnzd 10375 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  e.  ZZ )
75nnne0d 10045 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  N
)  =/=  0 )
8 fznn0sub 11086 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  -  K )  e.  NN0 )
983ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  NN0 )
10 faccl 11577 . . . . 5  |-  ( ( N  -  K )  e.  NN0  ->  ( ! `
 ( N  -  K ) )  e.  NN )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  NN )
12 elfznn0 11084 . . . . . 6  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  K  e.  NN0 )
13123ad2ant2 980 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  NN0 )
14 faccl 11577 . . . . 5  |-  ( K  e.  NN0  ->  ( ! `
 K )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  NN )
1611, 15nnmulcld 10048 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )
17 pcdiv 13227 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  N
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  N )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
)  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
181, 6, 7, 16, 17syl121anc 1190 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
19 bcval2 11597 . . . 4  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  ( N  _C  K )  =  ( ( ! `  N )  /  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) ) )
20193ad2ant2 980 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  _C  K
)  =  ( ( ! `  N )  /  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )
2120oveq2d 6098 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  ( P  pCnt  ( ( ! `  N
)  /  ( ( ! `  ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K ) ) ) ) )
22 fzfid 11313 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 1 ... N
)  e.  Fin )
23 nnre 10008 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  RR )
24233ad2ant1 979 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  RR )
2524adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  N  e.  RR )
26 simpl3 963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  Prime )
27 prmnn 13083 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
2826, 27syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  P  e.  NN )
29 elfznn 11081 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN )
3029nnnn0d 10275 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 1 ... N )  ->  k  e.  NN0 )
3130adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  k  e.  NN0 )
3228, 31nnexpcld 11545 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( P ^
k )  e.  NN )
3325, 32nndivred 10049 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
3433flcld 11208 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
3534zcnd 10377 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
3613nn0red 10276 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  RR )
3724, 36resubcld 9466 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  RR )
3837adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( N  -  K )  e.  RR )
3938, 32nndivred 10049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4039flcld 11208 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4140zcnd 10377 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4236adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  K  e.  RR )
4342, 32nndivred 10049 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( K  / 
( P ^ k
) )  e.  RR )
4443flcld 11208 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  ZZ )
4544zcnd 10377 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) )  e.  CC )
4641, 45addcld 9108 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  /\  k  e.  ( 1 ... N ) )  ->  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )  e.  CC )
4722, 35, 46fsumsub 12572 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  (
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) ) ) )
483nn0zd 10374 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ZZ )
49 uzid 10501 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N )
)
5048, 49syl 16 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  N ) )
51 pcfac 13269 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  N )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) ) )
523, 50, 1, 51syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  N )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) ) )
5313nn0ge0d 10278 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
0  <_  K )
5424, 36subge02d 9619 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( 0  <_  K  <->  ( N  -  K )  <_  N ) )
5553, 54mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  <_  N )
5613nn0zd 10374 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  K  e.  ZZ )
5748, 56zsubcld 10381 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  -  K
)  e.  ZZ )
58 eluz 10500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
5957, 48, 58syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( N  e.  (
ZZ>= `  ( N  -  K ) )  <->  ( N  -  K )  <_  N
) )
6055, 59mpbird 225 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) ) )
61 pcfac 13269 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  -  K
)  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  ( N  -  K
) )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
629, 60, 1, 61syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) ) )
63 elfzuz3 11057 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  ( 0 ... N )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K )
)
64633ad2ant2 980 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  N  e.  ( ZZ>= `  K ) )
65 pcfac 13269 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  NN0  /\  N  e.  ( ZZ>= `  K )  /\  P  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( ! `  K ) )  = 
sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) )
6613, 64, 1, 65syl3anc 1185 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( ! `  K )
)  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) )
6762, 66oveq12d 6100 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P 
pCnt  ( ! `  K ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
6811nnzd 10375 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ )
6911nnne0d 10045 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  ( N  -  K )
)  =/=  0 )
7015nnzd 10375 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  e.  ZZ )
7115nnne0d 10045 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ! `  K
)  =/=  0 )
72 pcmul 13226 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
( ! `  ( N  -  K )
)  e.  ZZ  /\  ( ! `  ( N  -  K ) )  =/=  0 )  /\  ( ( ! `  K )  e.  ZZ  /\  ( ! `  K
)  =/=  0 ) )  ->  ( P  pCnt  ( ( ! `  ( N  -  K
) )  x.  ( ! `  K )
) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K ) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K ) ) ) )
731, 68, 69, 70, 71, 72syl122anc 1194 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  ( N  -  K
) ) )  +  ( P  pCnt  ( ! `  K )
) ) )
7422, 41, 45fsumadd 12533 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  (
( N  -  K
)  /  ( P ^ k ) ) )  +  ( |_
`  ( K  / 
( P ^ k
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^ k ) ) )  +  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) )
7567, 73, 743eqtr4d 2479 . . . 4  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  (
( ! `  ( N  -  K )
)  x.  ( ! `
 K ) ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )
7652, 75oveq12d 6100 . . 3  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( ( P  pCnt  ( ! `  N ) )  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) )  =  ( sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  sum_ k  e.  ( 1 ... N
) ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) ) )
7747, 76eqtr4d 2472 . 2  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  ->  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^
k ) ) )  -  ( ( |_
`  ( ( N  -  K )  / 
( P ^ k
) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^
k ) ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  ( ! `  N )
)  -  ( P 
pCnt  ( ( ! `
 ( N  -  K ) )  x.  ( ! `  K
) ) ) ) )
7818, 21, 773eqtr4d 2479 1  |-  ( ( N  e.  NN  /\  K  e.  ( 0 ... N )  /\  P  e.  Prime )  -> 
( P  pCnt  ( N  _C  K ) )  =  sum_ k  e.  ( 1 ... N ) ( ( |_ `  ( N  /  ( P ^ k ) ) )  -  ( ( |_ `  ( ( N  -  K )  /  ( P ^
k ) ) )  +  ( |_ `  ( K  /  ( P ^ k ) ) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2600   class class class wbr 4213   ` cfv 5455  (class class class)co 6082   RRcr 8990   0cc0 8991   1c1 8992    + caddc 8994    x. cmul 8996    <_ cle 9122    - cmin 9292    / cdiv 9678   NNcn 10001   NN0cn0 10222   ZZcz 10283   ZZ>=cuz 10489   ...cfz 11044   |_cfl 11202   ^cexp 11383   !cfa 11567    _C cbc 11594   sum_csu 12480   Primecprime 13080    pCnt cpc 13211
This theorem is referenced by:  pcbcctr  21061
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2418  ax-rep 4321  ax-sep 4331  ax-nul 4339  ax-pow 4378  ax-pr 4404  ax-un 4702  ax-inf2 7597  ax-cnex 9047  ax-resscn 9048  ax-1cn 9049  ax-icn 9050  ax-addcl 9051  ax-addrcl 9052  ax-mulcl 9053  ax-mulrcl 9054  ax-mulcom 9055  ax-addass 9056  ax-mulass 9057  ax-distr 9058  ax-i2m1 9059  ax-1ne0 9060  ax-1rid 9061  ax-rnegex 9062  ax-rrecex 9063  ax-cnre 9064  ax-pre-lttri 9065  ax-pre-lttrn 9066  ax-pre-ltadd 9067  ax-pre-mulgt0 9068  ax-pre-sup 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2286  df-mo 2287  df-clab 2424  df-cleq 2430  df-clel 2433  df-nfc 2562  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2711  df-rex 2712  df-reu 2713  df-rmo 2714  df-rab 2715  df-v 2959  df-sbc 3163  df-csb 3253  df-dif 3324  df-un 3326  df-in 3328  df-ss 3335  df-pss 3337  df-nul 3630  df-if 3741  df-pw 3802  df-sn 3821  df-pr 3822  df-tp 3823  df-op 3824  df-uni 4017  df-int 4052  df-iun 4096  df-br 4214  df-opab 4268  df-mpt 4269  df-tr 4304  df-eprel 4495  df-id 4499  df-po 4504  df-so 4505  df-fr 4542  df-se 4543  df-we 4544  df-ord 4585  df-on 4586  df-lim 4587  df-suc 4588  df-om 4847  df-xp 4885  df-rel 4886  df-cnv 4887  df-co 4888  df-dm 4889  df-rn 4890  df-res 4891  df-ima 4892  df-iota 5419  df-fun 5457  df-fn 5458  df-f 5459  df-f1 5460  df-fo 5461  df-f1o 5462  df-fv 5463  df-isom 5464  df-ov 6085  df-oprab 6086  df-mpt2 6087  df-1st 6350  df-2nd 6351  df-riota 6550  df-recs 6634  df-rdg 6669  df-1o 6725  df-2o 6726  df-oadd 6729  df-er 6906  df-en 7111  df-dom 7112  df-sdom 7113  df-fin 7114  df-sup 7447  df-oi 7480  df-card 7827  df-pnf 9123  df-mnf 9124  df-xr 9125  df-ltxr 9126  df-le 9127  df-sub 9294  df-neg 9295  df-div 9679  df-nn 10002  df-2 10059  df-3 10060  df-n0 10223  df-z 10284  df-uz 10490  df-q 10576  df-rp 10614  df-fz 11045  df-fzo 11137  df-fl 11203  df-mod 11252  df-seq 11325  df-exp 11384  df-fac 11568  df-bc 11595  df-hash 11620  df-cj 11905  df-re 11906  df-im 11907  df-sqr 12041  df-abs 12042  df-clim 12283  df-sum 12481  df-dvds 12854  df-gcd 13008  df-prm 13081  df-pc 13212
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