MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcelnn Unicode version

Theorem pcelnn 13013
Description: There are a positive number of powers of a prime  P in  N iff  P divides  N. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Assertion
Ref Expression
pcelnn  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  NN  <->  P  ||  N
) )

Proof of Theorem pcelnn
StepHypRef Expression
1 nnz 10134 . . 3  |-  ( N  e.  NN  ->  N  e.  ZZ )
2 1nn0 10070 . . . 4  |-  1  e.  NN0
3 pcdvdsb 13012 . . . 4  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ  /\  1  e. 
NN0 )  ->  (
1  <_  ( P  pCnt  N )  <->  ( P ^ 1 )  ||  N ) )
42, 3mp3an3 1266 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  ZZ )  ->  (
1  <_  ( P  pCnt  N )  <->  ( P ^ 1 )  ||  N ) )
51, 4sylan2 460 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( P  pCnt  N )  <->  ( P ^ 1 )  ||  N ) )
6 pccl 12993 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  N )  e. 
NN0 )
7 elnnnn0c 10098 . . . 4  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN  <->  ( ( P 
pCnt  N )  e.  NN0  /\  1  <_  ( P  pCnt  N ) ) )
87baibr 872 . . 3  |-  ( ( P  pCnt  N )  e.  NN0  ->  ( 1  <_  ( P  pCnt  N )  <->  ( P  pCnt  N )  e.  NN ) )
96, 8syl 15 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
1  <_  ( P  pCnt  N )  <->  ( P  pCnt  N )  e.  NN ) )
10 prmnn 12852 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
1110nncnd 9849 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  CC )
1211exp1d 11330 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
1312adantr 451 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  ( P ^ 1 )  =  P )
1413breq1d 4112 . 2  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P ^ 1 )  ||  N  <->  P  ||  N
) )
155, 9, 143bitr3d 274 1  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  N  e.  NN )  ->  (
( P  pCnt  N
)  e.  NN  <->  P  ||  N
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1642    e. wcel 1710   class class class wbr 4102  (class class class)co 5942   1c1 8825    <_ cle 8955   NNcn 9833   NN0cn0 10054   ZZcz 10113   ^cexp 11194    || cdivides 12622   Primecprime 12849    pCnt cpc 12980
This theorem is referenced by:  pceq0  13014  pc2dvds  13022  1arith  13065  isppw2  20459  sqf11  20483  sqff1o  20526  chtublem  20556  perfect  20576  lgsne0  20678  dchrisum0flblem2  20764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293  ax-un 4591  ax-cnex 8880  ax-resscn 8881  ax-1cn 8882  ax-icn 8883  ax-addcl 8884  ax-addrcl 8885  ax-mulcl 8886  ax-mulrcl 8887  ax-mulcom 8888  ax-addass 8889  ax-mulass 8890  ax-distr 8891  ax-i2m1 8892  ax-1ne0 8893  ax-1rid 8894  ax-rnegex 8895  ax-rrecex 8896  ax-cnre 8897  ax-pre-lttri 8898  ax-pre-lttrn 8899  ax-pre-ltadd 8900  ax-pre-mulgt0 8901  ax-pre-sup 8902
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-nel 2524  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rmo 2627  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-pss 3244  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-tp 3724  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-tr 4193  df-eprel 4384  df-id 4388  df-po 4393  df-so 4394  df-fr 4431  df-we 4433  df-ord 4474  df-on 4475  df-lim 4476  df-suc 4477  df-om 4736  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-oprab 5946  df-mpt2 5947  df-1st 6206  df-2nd 6207  df-riota 6388  df-recs 6472  df-rdg 6507  df-1o 6563  df-2o 6564  df-oadd 6567  df-er 6744  df-en 6949  df-dom 6950  df-sdom 6951  df-fin 6952  df-sup 7281  df-pnf 8956  df-mnf 8957  df-xr 8958  df-ltxr 8959  df-le 8960  df-sub 9126  df-neg 9127  df-div 9511  df-nn 9834  df-2 9891  df-3 9892  df-n0 10055  df-z 10114  df-uz 10320  df-q 10406  df-rp 10444  df-fl 11014  df-mod 11063  df-seq 11136  df-exp 11195  df-cj 11674  df-re 11675  df-im 11676  df-sqr 11810  df-abs 11811  df-dvds 12623  df-gcd 12777  df-prm 12850  df-pc 12981
  Copyright terms: Public domain W3C validator