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Theorem pclclN 30080
Description: Closure of the projective subspace closure function. (Contributed by NM, 8-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfval.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pclfval.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclclN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )

Proof of Theorem pclclN
Dummy variables  y 
q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclfval.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 pclfval.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 pclfval.c . . 3  |-  U  =  ( PCl `  K
)
41, 2, 3pclvalN 30079 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  =  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )
51, 2atpsubN 29942 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A  e.  S )
6 sseq2 3200 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( X  C_  y  <->  X  C_  A
) )
76intminss 3888 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
85, 7sylan 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
9 r19.26 2675 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  (
( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
10 jcab 833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  ( ( X 
C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
1110ralbii 2567 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X 
C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
12 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  p  e. 
_V
1312elintrab 3874 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )
)
14 vex 2791 . . . . . . . . . 10  |-  q  e. 
_V
1514elintrab 3874 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
q  e.  y ) )
1613, 15anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
179, 11, 163bitr4ri 269 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) ) )
18 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  K  e.  V )
19 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  y  e.  S )
20 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  A )
21 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  p  e.  y )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  q  e.  y )
23 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q ) )
24 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 1, 2psubspi2N 29937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  y  e.  S  /\  r  e.  A
)  /\  ( p  e.  y  /\  q  e.  y  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  y )
2718, 19, 20, 21, 22, 23, 26syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  y )
2827ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
p  e.  y  /\  q  e.  y )  ->  r  e.  y ) )
2928imim2d 48 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  ( X  C_  y  ->  r  e.  y ) ) )
3029ralimdva 2621 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) ) )
31 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
3231elintrab 3874 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) )
3330, 32syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
34333exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  V  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  A  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3534com24 81 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3617, 35syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3736ralrimdv 2632 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  ->  A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) )
3837ralrimivv 2634 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
3938adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
4024, 25, 1, 2ispsubsp 29934 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  C_  A  /\  A. p  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
4140adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  (
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A  /\  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
428, 39, 41mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S )
434, 42eqeltrd 2357 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   {crab 2547    C_ wss 3152   |^|cint 3862   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   Atomscatm 29453   PSubSpcpsubsp 29685   PClcpclN 30076
This theorem is referenced by:  pclunN  30087  pclfinN  30089
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-psubsp 29692  df-pclN 30077
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