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Theorem pclclN 30762
Description: Closure of the projective subspace closure function. (Contributed by NM, 8-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfval.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pclfval.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclclN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )

Proof of Theorem pclclN
Dummy variables  y 
q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclfval.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 pclfval.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 pclfval.c . . 3  |-  U  =  ( PCl `  K
)
41, 2, 3pclvalN 30761 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  =  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )
51, 2atpsubN 30624 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A  e.  S )
6 sseq2 3372 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( X  C_  y  <->  X  C_  A
) )
76intminss 4078 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
85, 7sylan 459 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
9 r19.26 2840 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  (
( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
10 jcab 835 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  ( ( X 
C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
1110ralbii 2731 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X 
C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
12 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  p  e. 
_V
1312elintrab 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )
)
14 vex 2961 . . . . . . . . . 10  |-  q  e. 
_V
1514elintrab 4064 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
q  e.  y ) )
1613, 15anbi12i 680 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
179, 11, 163bitr4ri 271 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) ) )
18 simpll1 997 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  K  e.  V )
19 simplr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  y  e.  S )
20 simpll3 999 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  A )
21 simprl 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  p  e.  y )
22 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  q  e.  y )
23 simpll2 998 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q ) )
24 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 1, 2psubspi2N 30619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  y  e.  S  /\  r  e.  A
)  /\  ( p  e.  y  /\  q  e.  y  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  y )
2718, 19, 20, 21, 22, 23, 26syl33anc 1200 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  y )
2827ex 425 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
p  e.  y  /\  q  e.  y )  ->  r  e.  y ) )
2928imim2d 51 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  ( X  C_  y  ->  r  e.  y ) ) )
3029ralimdva 2786 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) ) )
31 vex 2961 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
3231elintrab 4064 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) )
3330, 32syl6ibr 220 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
34333exp 1153 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  V  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  A  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3534com24 84 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3617, 35syl5bi 210 . . . . . 6  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3736ralrimdv 2797 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  ->  A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) )
3837ralrimivv 2799 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
3938adantr 453 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
4024, 25, 1, 2ispsubsp 30616 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  C_  A  /\  A. p  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
4140adantr 453 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  (
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A  /\  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
428, 39, 41mpbir2and 890 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S )
434, 42eqeltrd 2512 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   {crab 2711    C_ wss 3322   |^|cint 4052   class class class wbr 4215   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   lecple 13541   joincjn 14406   Atomscatm 30135   PSubSpcpsubsp 30367   PClcpclN 30758
This theorem is referenced by:  pclunN  30769  pclfinN  30771
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-id 4501  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-psubsp 30374  df-pclN 30759
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