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Theorem pclclN 30132
Description: Closure of the projective subspace closure function. (Contributed by NM, 8-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfval.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfval.s  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
pclfval.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclclN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )

Proof of Theorem pclclN
Dummy variables  y 
q  p  r are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pclfval.a . . 3  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 pclfval.s . . 3  |-  S  =  ( PSubSp `  K )
3 pclfval.c . . 3  |-  U  =  ( PCl `  K
)
41, 2, 3pclvalN 30131 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  =  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )
51, 2atpsubN 29994 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A  e.  S )
6 sseq2 3276 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( X  C_  y  <->  X  C_  A
) )
76intminss 3967 . . . 4  |-  ( ( A  e.  S  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
85, 7sylan 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A )
9 r19.26 2751 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  (
( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
10 jcab 833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  ( ( X 
C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
1110ralbii 2643 . . . . . . . 8  |-  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  <->  A. y  e.  S  ( ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  ( X 
C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
12 vex 2867 . . . . . . . . . 10  |-  p  e. 
_V
1312elintrab 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )
)
14 vex 2867 . . . . . . . . . 10  |-  q  e. 
_V
1514elintrab 3953 . . . . . . . . 9  |-  ( q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
q  e.  y ) )
1613, 15anbi12i 678 . . . . . . . 8  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  p  e.  y )  /\  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  q  e.  y ) ) )
179, 11, 163bitr4ri 269 . . . . . . 7  |-  ( ( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) ) )
18 simpll1 994 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  K  e.  V )
19 simplr 731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  y  e.  S )
20 simpll3 996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  A )
21 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  p  e.  y )
22 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  q  e.  y )
23 simpll2 995 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q ) )
24 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
25 eqid 2358 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
2624, 25, 1, 2psubspi2N 29989 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  y  e.  S  /\  r  e.  A
)  /\  ( p  e.  y  /\  q  e.  y  /\  r
( le `  K
) ( p (
join `  K )
q ) ) )  ->  r  e.  y )
2718, 19, 20, 21, 22, 23, 26syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  /\  r  e.  A
)  /\  y  e.  S )  /\  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  r  e.  y )
2827ex 423 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( (
p  e.  y  /\  q  e.  y )  ->  r  e.  y ) )
2928imim2d 48 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  /\  y  e.  S
)  ->  ( ( X  C_  y  ->  (
p  e.  y  /\  q  e.  y )
)  ->  ( X  C_  y  ->  r  e.  y ) ) )
3029ralimdva 2697 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) ) )
31 vex 2867 . . . . . . . . . . 11  |-  r  e. 
_V
3231elintrab 3953 . . . . . . . . . 10  |-  ( r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  <->  A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
r  e.  y ) )
3330, 32syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  V  /\  r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  /\  r  e.  A )  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
34333exp 1150 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  V  ->  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
( r  e.  A  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  ->  ( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3534com24 81 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  V  ->  ( A. y  e.  S  ( X  C_  y  -> 
( p  e.  y  /\  q  e.  y ) )  ->  (
r  e.  A  -> 
( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3617, 35syl5bi 208 . . . . . 6  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  -> 
( r  e.  A  ->  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
3736ralrimdv 2708 . . . . 5  |-  ( K  e.  V  ->  (
( p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  /\  q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } )  ->  A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) )
3837ralrimivv 2710 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
3938adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) )
4024, 25, 1, 2ispsubsp 29986 . . . 4  |-  ( K  e.  V  ->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  ( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  C_  A  /\  A. p  e. 
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  (
r ( le `  K ) ( p ( join `  K
) q )  -> 
r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
4140adantr 451 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S  <->  (
|^| { y  e.  S  |  X  C_  y } 
C_  A  /\  A. p  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. q  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } A. r  e.  A  ( r ( le `  K ) ( p ( join `  K ) q )  ->  r  e.  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y } ) ) ) )
428, 39, 41mpbir2and 888 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  ->  |^| { y  e.  S  |  X  C_  y }  e.  S )
434, 42eqeltrd 2432 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1642    e. wcel 1710   A.wral 2619   {crab 2623    C_ wss 3228   |^|cint 3941   class class class wbr 4102   ` cfv 5334  (class class class)co 5942   lecple 13306   joincjn 14171   Atomscatm 29505   PSubSpcpsubsp 29737   PClcpclN 30128
This theorem is referenced by:  pclunN  30139  pclfinN  30141
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1546  ax-5 1557  ax-17 1616  ax-9 1654  ax-8 1675  ax-13 1712  ax-14 1714  ax-6 1729  ax-7 1734  ax-11 1746  ax-12 1930  ax-ext 2339  ax-rep 4210  ax-sep 4220  ax-nul 4228  ax-pow 4267  ax-pr 4293
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1319  df-ex 1542  df-nf 1545  df-sb 1649  df-eu 2213  df-mo 2214  df-clab 2345  df-cleq 2351  df-clel 2354  df-nfc 2483  df-ne 2523  df-ral 2624  df-rex 2625  df-reu 2626  df-rab 2628  df-v 2866  df-sbc 3068  df-csb 3158  df-dif 3231  df-un 3233  df-in 3235  df-ss 3242  df-nul 3532  df-if 3642  df-pw 3703  df-sn 3722  df-pr 3723  df-op 3725  df-uni 3907  df-int 3942  df-iun 3986  df-br 4103  df-opab 4157  df-mpt 4158  df-id 4388  df-xp 4774  df-rel 4775  df-cnv 4776  df-co 4777  df-dm 4778  df-rn 4779  df-res 4780  df-ima 4781  df-iota 5298  df-fun 5336  df-fn 5337  df-f 5338  df-f1 5339  df-fo 5340  df-f1o 5341  df-fv 5342  df-ov 5945  df-psubsp 29744  df-pclN 30129
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