Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclcmpatN Unicode version

Theorem pclcmpatN 30090
Description: The set of projective subspaces is compactly atomistic: if an atom is in the projective subspace closure of a set of atoms, it also belongs to the projective subspace closure of a finite subset of that set. Analogous to Lemma 3.3.10 of [PtakPulmannova] p. 74. (Contributed by NM, 10-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfin.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfin.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclcmpatN  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A  /\  P  e.  ( U `  X
) )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) )
Distinct variable groups:    y, A    y, U    y, K    y, X    y, P

Proof of Theorem pclcmpatN
StepHypRef Expression
1 pclfin.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2 pclfin.c . . . . . 6  |-  U  =  ( PCl `  K
)
31, 2pclfinN 30089 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  =  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X
) ( U `  y ) )
43eleq2d 2350 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( P  e.  ( U `  X )  <->  P  e.  U_ y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) ( U `  y ) ) )
5 eliun 3909 . . . 4  |-  ( P  e.  U_ y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) ( U `
 y )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) P  e.  ( U `  y
) )
64, 5syl6bb 252 . . 3  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( P  e.  ( U `  X )  <->  E. y  e.  ( Fin  i^i  ~P X ) P  e.  ( U `  y
) ) )
7 elin 3358 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  <->  ( y  e.  Fin  /\  y  e. 
~P X ) )
8 elpwi 3633 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P X  -> 
y  C_  X )
98anim2i 552 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  e.  ~P X
)  ->  ( y  e.  Fin  /\  y  C_  X ) )
107, 9sylbi 187 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( Fin  i^i  ~P X )  ->  (
y  e.  Fin  /\  y  C_  X ) )
1110anim1i 551 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  /\  P  e.  ( U `  y ) )  -> 
( ( y  e. 
Fin  /\  y  C_  X )  /\  P  e.  ( U `  y
) ) )
12 anass 630 . . . . 5  |-  ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  C_  X )  /\  P  e.  ( U `  y )
)  <->  ( y  e. 
Fin  /\  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y
) ) ) )
1311, 12sylib 188 . . . 4  |-  ( ( y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X )  /\  P  e.  ( U `  y ) )  -> 
( y  e.  Fin  /\  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y )
) ) )
1413reximi2 2649 . . 3  |-  ( E. y  e.  ( Fin 
i^i  ~P X ) P  e.  ( U `  y )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) )
156, 14syl6bi 219 . 2  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A )  ->  ( P  e.  ( U `  X )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) ) )
16153impia 1148 1  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  X  C_  A  /\  P  e.  ( U `  X
) )  ->  E. y  e.  Fin  ( y  C_  X  /\  P  e.  ( U `  y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   E.wrex 2544    i^i cin 3151    C_ wss 3152   ~Pcpw 3625   U_ciun 3905   ` cfv 5255   Fincfn 6863   Atomscatm 29453   AtLatcal 29454   PClcpclN 30076
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-join 14110  df-lat 14152  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-psubsp 29692  df-pclN 30077
  Copyright terms: Public domain W3C validator