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Theorem pclem 12891
Description: - Lemma for the prime power pre-function's properties. (Contributed by Mario Carneiro, 23-Feb-2014.)
Hypothesis
Ref Expression
pclem.1  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
Assertion
Ref Expression
pclem  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Distinct variable groups:    x, y, A    x, n, y, N    P, n, x, y
Allowed substitution hint:    A( n)

Proof of Theorem pclem
StepHypRef Expression
1 pclem.1 . . . . 5  |-  A  =  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n
)  ||  N }
2 ssrab2 3258 . . . . 5  |-  { n  e.  NN0  |  ( P ^ n )  ||  N }  C_  NN0
31, 2eqsstri 3208 . . . 4  |-  A  C_  NN0
4 nn0ssz 10044 . . . 4  |-  NN0  C_  ZZ
53, 4sstri 3188 . . 3  |-  A  C_  ZZ
65a1i 10 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  C_  ZZ )
7 0nn0 9980 . . . . 5  |-  0  e.  NN0
87a1i 10 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  NN0 )
9 eluzelz 10238 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  ZZ )
109zcnd 10118 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  CC )
1110adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  CC )
1211exp0d 11239 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  =  1 )
13 1dvds 12543 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  1  ||  N )
1413ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  ||  N )
1512, 14eqbrtrd 4043 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( P ^ 0 )  ||  N )
16 oveq2 5866 . . . . . 6  |-  ( n  =  0  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ 0 ) )
1716breq1d 4033 . . . . 5  |-  ( n  =  0  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
1817, 1elrab2 2925 . . . 4  |-  ( 0  e.  A  <->  ( 0  e.  NN0  /\  ( P ^ 0 )  ||  N ) )
198, 15, 18sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
0  e.  A )
20 ne0i 3461 . . 3  |-  ( 0  e.  A  ->  A  =/=  (/) )
2119, 20syl 15 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  A  =/=  (/) )
22 nnssz 10043 . . 3  |-  NN  C_  ZZ
23 zcn 10029 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ZZ  ->  N  e.  CC )
2423abscld 11918 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ZZ  ->  ( abs `  N )  e.  RR )
2524ad2antrl 708 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
26 eluzelre 10239 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
2726adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  P  e.  RR )
28 eluz2b2 10290 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
2928simprbi 450 . . . . . 6  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
3029adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
1  <  P )
31 expnbnd 11230 . . . . 5  |-  ( ( ( abs `  N
)  e.  RR  /\  P  e.  RR  /\  1  <  P )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x ) )
3225, 27, 30, 31syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )
33 simprr 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  A )
34 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  y  ->  ( P ^ n )  =  ( P ^ y
) )
3534breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  y  ->  (
( P ^ n
)  ||  N  <->  ( P ^ y )  ||  N ) )
3635, 1elrab2 2925 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  A  <->  ( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y )  ||  N ) )
3733, 36sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  e.  NN0  /\  ( P ^ y
)  ||  N )
)
3837simprd 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  ||  N )
3928simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  NN )
4039ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  NN )
4137simpld 445 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  NN0 )
4240, 41nnexpcld 11266 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  NN )
4342nnzd 10116 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  ZZ )
44 simplrl 736 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  e.  ZZ )
45 simplrr 737 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  N  =/=  0 )
46 dvdsleabs 12575 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 )  ->  (
( P ^ y
)  ||  N  ->  ( P ^ y )  <_  ( abs `  N
) ) )
4743, 44, 45, 46syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( P ^
y )  ||  N  ->  ( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) ) )
4838, 47mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  <_  ( abs `  N ) )
4942nnred 9761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ y
)  e.  RR )
5025adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( abs `  N
)  e.  RR )
5126ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  P  e.  RR )
52 nnnn0 9972 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  NN0 )
5352ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  NN0 )
5451, 53reexpcld 11262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( P ^ x
)  e.  RR )
55 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( P ^ y
)  e.  RR  /\  ( abs `  N )  e.  RR  /\  ( P ^ x )  e.  RR )  ->  (
( ( P ^
y )  <_  ( abs `  N )  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^
x ) )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5649, 50, 54, 55syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( ( P ^ y )  <_ 
( abs `  N
)  /\  ( abs `  N )  <  ( P ^ x ) )  ->  ( P ^
y )  <  ( P ^ x ) ) )
5748, 56mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
( P ^ y
)  <  ( P ^ x ) ) )
5841nn0zd 10115 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  ZZ )
59 nnz 10045 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  ZZ )
6059ad2antrl 708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  ZZ )
6129ad2antrr 706 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
1  <  P )
6251, 58, 60, 61ltexp2d 11274 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  <->  ( P ^ y )  <  ( P ^
x ) ) )
6357, 62sylibrd 225 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <  x )
)
6441nn0red 10019 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
y  e.  RR )
65 nnre 9753 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  NN  ->  x  e.  RR )
6665ad2antrl 708 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  ->  x  e.  RR )
67 ltle 8910 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR  /\  x  e.  RR )  ->  ( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6864, 66, 67syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( y  <  x  ->  y  <_  x )
)
6963, 68syld 40 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  ( x  e.  NN  /\  y  e.  A ) )  -> 
( ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7069anassrs 629 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( P  e.  ( ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  /\  y  e.  A )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  -> 
y  <_  x )
)
7170ralrimdva 2633 . . . . 5  |-  ( ( ( P  e.  (
ZZ>= `  2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  /\  x  e.  NN )  ->  (
( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7271reximdva 2655 . . . 4  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( E. x  e.  NN  ( abs `  N
)  <  ( P ^ x )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7332, 72mpd 14 . . 3  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x )
74 ssrexv 3238 . . 3  |-  ( NN  C_  ZZ  ->  ( E. x  e.  NN  A. y  e.  A  y  <_  x  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
7522, 73, 74mpsyl 59 . 2  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  ->  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x )
766, 21, 753jca 1132 1  |-  ( ( P  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  ( N  e.  ZZ  /\  N  =/=  0 ) )  -> 
( A  C_  ZZ  /\  A  =/=  (/)  /\  E. x  e.  ZZ  A. y  e.  A  y  <_  x ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   (/)c0 3455   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   ^cexp 11104   abscabs 11719    || cdivides 12531
This theorem is referenced by:  pcprecl  12892  pcprendvds  12893  pcpremul  12896
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-rp 10355  df-fl 10925  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532
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