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Theorem pclfinclN 30115
Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 30065 and also pclcmpatN 30066. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfincl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfincl.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
pclfincl.s  |-  S  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
pclfinclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( U `  X )  e.  S )

Proof of Theorem pclfinclN
Dummy variables  q  p  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
21anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A
) ) )
3 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( U `
 x )  =  ( U `  (/) ) )
43eleq1d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( U `  x )  e.  S  <->  ( U `  (/) )  e.  S
) )
52, 4imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( U `  (/) )  e.  S
) ) )
6 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
76anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) ) )
8 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( U `  x )  =  ( U `  y ) )
98eleq1d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( U `  x
)  e.  S  <->  ( U `  y )  e.  S
) )
107, 9imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x )  e.  S )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) ) )
11 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1211anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
) )
13 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U `  x )  =  ( U `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413eleq1d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( U `
 x )  e.  S  <->  ( U `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  S ) )
1512, 14imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  -> 
( U `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) )
16 sseq1 3305 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  A  <->  X  C_  A
) )
1716anbi2d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  X  C_  A ) ) )
18 fveq2 5661 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( U `  x )  =  ( U `  X ) )
1918eleq1d 2446 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( U `  x
)  e.  S  <->  ( U `  X )  e.  S
) )
2017, 19imbi12d 312 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x )  e.  S )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  e.  S ) ) )
21 pclfincl.c . . . . . . 7  |-  U  =  ( PCl `  K
)
2221pcl0N 30087 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  (/) )  =  (/) )
23 pclfincl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubCl `  K )
24230psubclN 30108 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  (/)  e.  S
)
2522, 24eqeltrd 2454 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  (/) )  e.  S )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A )  ->  ( U `  (/) )  e.  S )
27 anass 631 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A
)  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y 
C_  A  /\  z  e.  A ) ) )
28 vex 2895 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2928snss 3862 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
3029anbi2i 676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  z  e.  A )  <->  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A
) )
31 unss 3457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  <->  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )
3230, 31bitri 241 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  z  e.  A )  <->  ( y  u.  { z } )  C_  A
)
3332anbi2i 676 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  A
) )  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)
3427, 33bitr2i 242 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A ) )
35 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  =  (/) )
3635uneq1d 3436 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  =  (
(/)  u.  { z } ) )
37 uncom 3427 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ z } )  =  ( { z }  u.  (/) )
38 un0 3588 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  u.  (/) )  =  { z }
3937, 38eqtri 2400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ z } )  =  { z }
4036, 39syl6eq 2428 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  =  {
z } )
4140fveq2d 5665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  ( U `
 { z } ) )
42 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
43 hlatl 29526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
45 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
46 pclfincl.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
47 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
4846, 47snatpsubN 29915 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  z  e.  A )  ->  { z }  e.  ( PSubSp `  K ) )
4944, 45, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  e.  ( PSubSp `  K ) )
5047, 21pclidN 30061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { z }  e.  (
PSubSp `  K ) )  ->  ( U `  { z } )  =  { z } )
5142, 49, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  { z } )  =  {
z } )
5241, 51eqtrd 2412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  { z } )
5346, 23atpsubclN 30110 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  A )  ->  { z }  e.  S )
5442, 45, 53syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  e.  S )
5552, 54eqeltrd 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S )
5655exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  (
( U `  y
)  e.  S  -> 
( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
57 simplrl 737 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
5846, 21pclssidN 30060 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  ( U `  y ) )
5958ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  C_  ( U `  y
) )
60 unss1 3452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( U `  y )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
)  u.  { z } ) )
6159, 60syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
)  u.  { z } ) )
62 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  e.  S )
6346, 23psubclssatN 30106 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y )  e.  S )  -> 
( U `  y
)  C_  A )
6457, 62, 63syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  C_  A )
65 snssi 3878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
6665ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  C_  A )
67 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( + P `  K )  =  ( + P `  K )
6846, 67paddunssN 29973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y ) 
C_  A  /\  {
z }  C_  A
)  ->  ( ( U `  y )  u.  { z } ) 
C_  ( ( U `
 y ) ( + P `  K
) { z } ) )
6957, 64, 66, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } ) )
7061, 69sstrd 3294 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } ) )
7146, 67paddssat 29979 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y ) 
C_  A  /\  {
z }  C_  A
)  ->  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } )  C_  A
)
7257, 64, 66, 71syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  C_  A
)
7346, 21pclssN 30059 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  /\  ( ( U `
 y ) ( + P `  K
) { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  C_  ( U `  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) ) )
7457, 70, 72, 73syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  C_  ( U `  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) ) )
75 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
7646, 67, 23paddatclN 30114 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  e.  S
)
7757, 62, 75, 76syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  e.  S
)
7847, 23psubclsubN 30105 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  e.  S )  -> 
( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  e.  ( PSubSp `  K
) )
7957, 77, 78syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  e.  (
PSubSp `  K ) )
8047, 21pclidN 30061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) )
8157, 79, 80syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) )
8274, 81sseqtrd 3320 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  C_  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } ) )
83 hllat 29529 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
8457, 83syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
85 simpllr 736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  =/=  (/) )
8646, 21pcl0bN 30088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  -> 
( ( U `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
8786ad2antlr 708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
8887necon3bid 2578 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  =/=  (/)  <->  y  =/=  (/) ) )
8985, 88mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  =/=  (/) )
90 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
91 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
9290, 91, 46, 67elpaddat 29969 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  y
)  C_  A  /\  z  e.  A )  /\  ( U `  y
)  =/=  (/) )  -> 
( q  e.  ( ( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  <->  ( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) ) )
9384, 64, 75, 89, 92syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  <->  ( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) ) )
94 simp1rl 1022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
95943ad2ant1 978 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  ->  K  e.  HL )
9695adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  K  e.  HL )
97 simprl 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  w  e.  ( PSubSp `  K ) )
98 simpl13 1034 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q  e.  A )
99 unss 3457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  <->  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w )
100 simpl 444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  ->  y  C_  w )
10199, 100sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  w  ->  y  C_  w )
102101ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
y  C_  w )
103 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  p  e.  ( U `  y ) )
10447, 21elpcliN 30058 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  w  /\  w  e.  ( PSubSp `  K ) )  /\  p  e.  ( U `  y ) )  ->  p  e.  w )
10596, 102, 97, 103, 104syl31anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  p  e.  w )
10628snss 3862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  w  <->  { z }  C_  w )
107106biimpri 198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { z }  C_  w  ->  z  e.  w )
108107adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  ->  z  e.  w )
10999, 108sylbir 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  w  ->  z  e.  w )
110109ad2antll 710 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
z  e.  w )
111 simpl3 962 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )
11290, 91, 46, 47psubspi2N 29913 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  q  e.  A )  /\  (
p  e.  w  /\  z  e.  w  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) )  ->  q  e.  w )
11396, 97, 98, 105, 110, 111, 112syl33anc 1199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q  e.  w )
114113exp520 1174 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  (
p  e.  ( U `
 y )  -> 
( q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) ) )
115114rexlimdv 2765 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  ( E. p  e.  ( U `  y )
q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) )
1161153expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  A  -> 
( E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) ) )
117116imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y ) q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  ->  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) )
11893, 117sylbid 207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  ->  (
w  e.  ( PSubSp `  K )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) ) )
119118ralrimdv 2731 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  ->  A. w  e.  ( PSubSp `  K )
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) )
120 simplrr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  C_  A )
121120, 75jca 519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  C_  A  /\  z  e.  A )
)
122121, 32sylib 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
123 vex 2895 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  q  e. 
_V
12446, 47, 21, 123elpclN 30057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
q  e.  ( U `
 ( y  u. 
{ z } ) )  <->  A. w  e.  (
PSubSp `  K ) ( ( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) )
12557, 122, 124syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( U `
 ( y  u. 
{ z } ) )  <->  A. w  e.  (
PSubSp `  K ) ( ( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) )
126119, 125sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  ->  q  e.  ( U `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
127126ssrdv 3290 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  C_  ( U `  ( y  u.  { z } ) ) )
12882, 127eqssd 3301 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) )
129128, 77eqeltrd 2454 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S )
130129exp43 596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( ( U `  y )  e.  S  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
13156, 130pm2.61dane 2621 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( ( U `  y )  e.  S  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
132131a2d 24 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S )  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
133132imp4b 574 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) )  -> 
( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S ) )
13434, 133syl5bi 209 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) )
135134ex 424 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S )  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) )
1365, 10, 15, 20, 26, 135findcard2 7277 . . 3  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X
)  e.  S ) )
1371363impib 1151 . 2  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  e.  S )
1381373coml 1160 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( U `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2543   A.wral 2642   E.wrex 2643    u. cun 3254    C_ wss 3256   (/)c0 3564   {csn 3750   class class class wbr 4146   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   Fincfn 7038   lecple 13456   joincjn 14321   Latclat 14394   Atomscatm 29429   AtLatcal 29430   HLchlt 29516   PSubSpcpsubsp 29661   + Pcpadd 29960   PClcpclN 30052   PSubClcpscN 30099
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-1o 6653  df-er 6834  df-en 7039  df-fin 7042  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-pclN 30053  df-polarityN 30068  df-psubclN 30100
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