Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclfinclN Unicode version

Theorem pclfinclN 29512
Description: The projective subspace closure of a finite set of atoms is a closed subspace. Compare the (non-closed) subspace version pclfinN 29462 and also pclcmpatN 29463. (Contributed by NM, 13-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclfincl.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclfincl.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
pclfincl.s  |-  S  =  ( PSubCl `  K )
Assertion
Ref Expression
pclfinclN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( U `  X )  e.  S )

Proof of Theorem pclfinclN
Dummy variables  q  p  w  x  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x 
C_  A  <->  (/)  C_  A
) )
21anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A
) ) )
3 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( U `
 x )  =  ( U `  (/) ) )
43eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( U `  x )  e.  S  <->  ( U `  (/) )  e.  S
) )
52, 4imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A
)  ->  ( U `  (/) )  e.  S
) ) )
6 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  C_  A  <->  y  C_  A ) )
76anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) ) )
8 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  ( U `  x )  =  ( U `  y ) )
98eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
( U `  x
)  e.  S  <->  ( U `  y )  e.  S
) )
107, 9imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x )  e.  S )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) ) )
11 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( x  C_  A 
<->  ( y  u.  {
z } )  C_  A ) )
1211anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
) )
13 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( U `  x )  =  ( U `  ( y  u.  { z } ) ) )
1413eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( U `
 x )  e.  S  <->  ( U `  ( y  u.  {
z } ) )  e.  S ) )
1512, 14imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  ( y  u. 
{ z } )  ->  ( ( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  -> 
( U `  x
)  e.  S )  <-> 
( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) )
16 sseq1 3199 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  (
x  C_  A  <->  X  C_  A
) )
1716anbi2d 684 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  <->  ( K  e.  HL  /\  X  C_  A ) ) )
18 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( x  =  X  ->  ( U `  x )  =  ( U `  X ) )
1918eleq1d 2349 . . . . 5  |-  ( x  =  X  ->  (
( U `  x
)  e.  S  <->  ( U `  X )  e.  S
) )
2017, 19imbi12d 311 . . . 4  |-  ( x  =  X  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  x  C_  A )  ->  ( U `  x )  e.  S )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  e.  S ) ) )
21 pclfincl.c . . . . . . 7  |-  U  =  ( PCl `  K
)
2221pcl0N 29484 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  (/) )  =  (/) )
23 pclfincl.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( PSubCl `  K )
24230psubclN 29505 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  (/)  e.  S
)
2522, 24eqeltrd 2357 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  ( U `  (/) )  e.  S )
2625adantr 451 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (/)  C_  A )  ->  ( U `  (/) )  e.  S )
27 anass 630 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A
)  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y 
C_  A  /\  z  e.  A ) ) )
28 vex 2791 . . . . . . . . . . 11  |-  z  e. 
_V
2928snss 3748 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  A  <->  { z }  C_  A )
3029anbi2i 675 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  z  e.  A )  <->  ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A
) )
31 unss 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  { z }  C_  A
)  <->  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  A )
3230, 31bitri 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  z  e.  A )  <->  ( y  u.  { z } )  C_  A
)
3332anbi2i 675 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  C_  A  /\  z  e.  A
) )  <->  ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )
)
3427, 33bitr2i 241 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  <->  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A ) )
35 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  =  (/) )
3635uneq1d 3328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  =  (
(/)  u.  { z } ) )
37 uncom 3319 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  u. 
{ z } )  =  ( { z }  u.  (/) )
38 un0 3479 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( { z }  u.  (/) )  =  { z }
3937, 38eqtri 2303 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (/)  u. 
{ z } )  =  { z }
4036, 39syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  =  {
z } )
4140fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  ( U `
 { z } ) )
42 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
43 hlatl 28923 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  AtLat )
45 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
46 pclfincl.a . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  A  =  ( Atoms `  K )
47 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
4846, 47snatpsubN 29312 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  z  e.  A )  ->  { z }  e.  ( PSubSp `  K ) )
4944, 45, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  e.  ( PSubSp `  K ) )
5047, 21pclidN 29458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  { z }  e.  (
PSubSp `  K ) )  ->  ( U `  { z } )  =  { z } )
5142, 49, 50syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  { z } )  =  {
z } )
5241, 51eqtrd 2315 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  { z } )
5346, 23atpsubclN 29507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  HL  /\  z  e.  A )  ->  { z }  e.  S )
5442, 45, 53syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  e.  S )
5552, 54eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S )
5655exp43 595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  =  (/) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  (
( U `  y
)  e.  S  -> 
( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
57 simplrl 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  HL )
5846, 21pclssidN 29457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  ( U `  y ) )
5958ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  C_  ( U `  y
) )
60 unss1 3344 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  ( U `  y )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
)  u.  { z } ) )
6159, 60syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
)  u.  { z } ) )
62 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  e.  S )
6346, 23psubclssatN 29503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y )  e.  S )  -> 
( U `  y
)  C_  A )
6457, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  C_  A )
65 snssi 3759 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( z  e.  A  ->  { z }  C_  A )
6665ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  { z }  C_  A )
67 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( + P `  K )  =  ( + P `  K )
6846, 67paddunssN 29370 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y ) 
C_  A  /\  {
z }  C_  A
)  ->  ( ( U `  y )  u.  { z } ) 
C_  ( ( U `
 y ) ( + P `  K
) { z } ) )
6957, 64, 66, 68syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } ) )
7061, 69sstrd 3189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } ) )
7146, 67paddssat 29376 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y ) 
C_  A  /\  {
z }  C_  A
)  ->  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } )  C_  A
)
7257, 64, 66, 71syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  C_  A
)
7346, 21pclssN 29456 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  /\  ( ( U `
 y ) ( + P `  K
) { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  C_  ( U `  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) ) )
7457, 70, 72, 73syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  C_  ( U `  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) ) )
75 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  z  e.  A )
7646, 67, 23paddatclN 29511 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  e.  S
)
7757, 62, 75, 76syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  e.  S
)
7847, 23psubclsubN 29502 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  e.  S )  -> 
( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  e.  ( PSubSp `  K
) )
7957, 77, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  e.  (
PSubSp `  K ) )
8047, 21pclidN 29458 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) )
8157, 79, 80syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) )
8274, 81sseqtrd 3214 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  C_  ( ( U `  y )
( + P `  K ) { z } ) )
83 hllat 28926 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
8457, 83syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  K  e.  Lat )
85 simpllr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  =/=  (/) )
8646, 21pcl0bN 29485 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  -> 
( ( U `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
8786ad2antlr 707 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
8887necon3bid 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
)  =/=  (/)  <->  y  =/=  (/) ) )
8985, 88mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  y )  =/=  (/) )
90 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
91 eqid 2283 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( join `  K )  =  (
join `  K )
9290, 91, 46, 67elpaddat 29366 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  Lat  /\  ( U `  y
)  C_  A  /\  z  e.  A )  /\  ( U `  y
)  =/=  (/) )  -> 
( q  e.  ( ( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  <->  ( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) ) )
9384, 64, 75, 89, 92syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  <->  ( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) ) )
94 simp1rl 1020 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  K  e.  HL )
95943ad2ant1 976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  ->  K  e.  HL )
9695adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  K  e.  HL )
97 simprl 732 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  w  e.  ( PSubSp `  K ) )
98 simpl13 1032 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q  e.  A )
99 unss 3349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  <->  ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w )
100 simpl 443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  ->  y  C_  w )
10199, 100sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  w  ->  y  C_  w )
102101ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
y  C_  w )
103 simpl2 959 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  p  e.  ( U `  y ) )
10447, 21elpcliN 29455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  w  /\  w  e.  ( PSubSp `  K ) )  /\  p  e.  ( U `  y ) )  ->  p  e.  w )
10596, 102, 97, 103, 104syl31anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  ->  p  e.  w )
10628snss 3748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( z  e.  w  <->  { z }  C_  w )
107106biimpri 197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( { z }  C_  w  ->  z  e.  w )
108107adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( y  C_  w  /\  { z }  C_  w
)  ->  z  e.  w )
10999, 108sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( y  u.  { z } )  C_  w  ->  z  e.  w )
110109ad2antll 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
z  e.  w )
111 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )
11290, 91, 46, 47psubspi2N 29310 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  q  e.  A )  /\  (
p  e.  w  /\  z  e.  w  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) ) )  ->  q  e.  w )
11396, 97, 98, 105, 110, 111, 112syl33anc 1197 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  /\  p  e.  ( U `  y
)  /\  q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  /\  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  w ) )  -> 
q  e.  w )
114113exp520 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  (
p  e.  ( U `
 y )  -> 
( q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) ) )
115114rexlimdv 2666 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
)  /\  q  e.  A )  ->  ( E. p  e.  ( U `  y )
q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) )
1161153expia 1153 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  A  -> 
( E. p  e.  ( U `  y
) q ( le
`  K ) ( p ( join `  K
) z )  -> 
( w  e.  (
PSubSp `  K )  -> 
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) ) )
117116imp3a 420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( q  e.  A  /\  E. p  e.  ( U `  y ) q ( le `  K ) ( p ( join `  K
) z ) )  ->  ( w  e.  ( PSubSp `  K )  ->  ( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) ) )
11893, 117sylbid 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  ->  (
w  e.  ( PSubSp `  K )  ->  (
( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) ) )
119118ralrimdv 2632 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  ->  A. w  e.  ( PSubSp `  K )
( ( y  u. 
{ z } ) 
C_  w  ->  q  e.  w ) ) )
120 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  y  C_  A )
121120, 75jca 518 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  C_  A  /\  z  e.  A )
)
122121, 32sylib 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
y  u.  { z } )  C_  A
)
123 vex 2791 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  q  e. 
_V
12446, 47, 21, 123elpclN 29454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  (
q  e.  ( U `
 ( y  u. 
{ z } ) )  <->  A. w  e.  (
PSubSp `  K ) ( ( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) )
12557, 122, 124syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( U `
 ( y  u. 
{ z } ) )  <->  A. w  e.  (
PSubSp `  K ) ( ( y  u.  {
z } )  C_  w  ->  q  e.  w
) ) )
126119, 125sylibrd 225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
q  e.  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } )  ->  q  e.  ( U `  (
y  u.  { z } ) ) ) )
127126ssrdv 3185 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  (
( U `  y
) ( + P `  K ) { z } )  C_  ( U `  ( y  u.  { z } ) ) )
12882, 127eqssd 3196 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  =  ( ( U `  y ) ( + P `  K ) { z } ) )
129128, 77eqeltrd 2357 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( y  e. 
Fin  /\  y  =/=  (/) )  /\  ( K  e.  HL  /\  y  C_  A ) )  /\  ( ( U `  y )  e.  S  /\  z  e.  A
) )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S )
130129exp43 595 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( ( U `  y )  e.  S  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
13156, 130pm2.61dane 2524 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( ( U `  y )  e.  S  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
132131a2d 23 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S )  ->  (
( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( z  e.  A  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) ) )
133132imp4b 573 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) )  -> 
( ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  /\  z  e.  A )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S ) )
13434, 133syl5bi 208 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  ( y  u.  { z } )  C_  A )  ->  ( U `  (
y  u.  { z } ) )  e.  S ) )
135134ex 423 . . . 4  |-  ( y  e.  Fin  ->  (
( ( K  e.  HL  /\  y  C_  A )  ->  ( U `  y )  e.  S )  ->  (
( K  e.  HL  /\  ( y  u.  {
z } )  C_  A )  ->  ( U `  ( y  u.  { z } ) )  e.  S ) ) )
1365, 10, 15, 20, 26, 135findcard2 7098 . . 3  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X
)  e.  S ) )
1371363impib 1149 . 2  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  ( U `  X )  e.  S )
1381373coml 1158 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A  /\  X  e.  Fin )  ->  ( U `  X )  e.  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   E.wrex 2544    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Fincfn 6863   lecple 13215   joincjn 14078   Latclat 14151   Atomscatm 28826   AtLatcal 28827   HLchlt 28913   PSubSpcpsubsp 29058   + Pcpadd 29357   PClcpclN 29449   PSubClcpscN 29496
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-1o 6479  df-er 6660  df-en 6864  df-fin 6867  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-padd 29358  df-pclN 29450  df-polarityN 29465  df-psubclN 29497
  Copyright terms: Public domain W3C validator