Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclss2polN Structured version   Unicode version

Theorem pclss2polN 30656
Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclss2pol.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclss2pol.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
pclss2pol.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclss2polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem pclss2polN
StepHypRef Expression
1 simpl 444 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  HL )
2 pclss2pol.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 pclss2pol.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
42, 32polssN 30650 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
52, 3polssatN 30643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
62, 3polssatN 30643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  C_  A
)
75, 6syldan 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  A )
8 pclss2pol.c . . . 4  |-  U  =  ( PCl `  K
)
92, 8pclssN 30629 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  ( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
101, 4, 7, 9syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  ( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
11 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
122, 11, 3polsubN 30642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  (
PSubSp `  K ) )
135, 12syldan 457 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)
1411, 8pclidN 30631 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  ( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
1513, 14syldan 457 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
1610, 15sseqtrd 3377 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    C_ wss 3313   ` cfv 5447   Atomscatm 29999   HLchlt 30086   PSubSpcpsubsp 30231   PClcpclN 30622   _|_ PcpolN 30637
This theorem is referenced by:  pcl0N  30657
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4313  ax-sep 4323  ax-nul 4331  ax-pow 4370  ax-pr 4396  ax-un 4694
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2703  df-rex 2704  df-reu 2705  df-rmo 2706  df-rab 2707  df-v 2951  df-sbc 3155  df-csb 3245  df-dif 3316  df-un 3318  df-in 3320  df-ss 3327  df-nul 3622  df-if 3733  df-pw 3794  df-sn 3813  df-pr 3814  df-op 3816  df-uni 4009  df-int 4044  df-iun 4088  df-iin 4089  df-br 4206  df-opab 4260  df-mpt 4261  df-id 4491  df-xp 4877  df-rel 4878  df-cnv 4879  df-co 4880  df-dm 4881  df-rn 4882  df-res 4883  df-ima 4884  df-iota 5411  df-fun 5449  df-fn 5450  df-f 5451  df-f1 5452  df-fo 5453  df-f1o 5454  df-fv 5455  df-ov 6077  df-oprab 6078  df-mpt2 6079  df-1st 6342  df-2nd 6343  df-undef 6536  df-riota 6542  df-poset 14396  df-plt 14408  df-lub 14424  df-glb 14425  df-join 14426  df-meet 14427  df-p0 14461  df-p1 14462  df-lat 14468  df-clat 14530  df-oposet 29912  df-ol 29914  df-oml 29915  df-covers 30002  df-ats 30003  df-atl 30034  df-cvlat 30058  df-hlat 30087  df-psubsp 30238  df-pmap 30239  df-pclN 30623  df-polarityN 30638
  Copyright terms: Public domain W3C validator