Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  pclss2polN Unicode version

Theorem pclss2polN 29483
Description: The projective subspace closure is a subset of closed subspace closure. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclss2pol.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclss2pol.o  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
pclss2pol.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclss2polN  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )

Proof of Theorem pclss2polN
StepHypRef Expression
1 simpl 443 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  K  e.  HL )
2 pclss2pol.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 pclss2pol.o . . . 4  |-  ._|_  =  ( _|_ P `  K
)
42, 32polssN 29477 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  ->  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
52, 3polssatN 29470 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  X )  C_  A )
62, 3polssatN 29470 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  C_  A
)
75, 6syldan 456 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  C_  A )
8 pclss2pol.c . . . 4  |-  U  =  ( PCl `  K
)
92, 8pclssN 29456 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) 
C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  ( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
101, 4, 7, 9syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  ( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) ) )
11 eqid 2283 . . . . 5  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
122, 11, 3polsubN 29469 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  X )  C_  A )  ->  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) )  e.  (
PSubSp `  K ) )
135, 12syldan 456 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
(  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)
1411, 8pclidN 29458 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)  ->  ( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
1513, 14syldan 456 . 2  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X
) ) )  =  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
1610, 15sseqtrd 3214 1  |-  ( ( K  e.  HL  /\  X  C_  A )  -> 
( U `  X
)  C_  (  ._|_  `  (  ._|_  `  X ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    C_ wss 3152   ` cfv 5255   Atomscatm 28826   HLchlt 28913   PSubSpcpsubsp 29058   PClcpclN 29449   _|_ PcpolN 29464
This theorem is referenced by:  pcl0N  29484
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 28739  df-ol 28741  df-oml 28742  df-covers 28829  df-ats 28830  df-atl 28861  df-cvlat 28885  df-hlat 28914  df-psubsp 29065  df-pmap 29066  df-pclN 29450  df-polarityN 29465
  Copyright terms: Public domain W3C validator