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Theorem pclunN 30622
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclun.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
pclun.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclunN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  K  e.  V )
2 pclun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 pclun.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
42, 3paddunssN 30532 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( X  .+  Y
) )
52, 3paddssat 30538 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
6 pclun.c . . . 4  |-  U  =  ( PCl `  K
)
72, 6pclssN 30618 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  ( X  .+  Y )  /\  ( X  .+  Y )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
9 unss 3513 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  <->  ( X  u.  Y )  C_  A
)
109biimpi 187 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( X  u.  Y
)  C_  A )
11103adant1 975 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  A )
122, 6pclssidN 30619 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( X  u.  Y
)  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )
131, 11, 12syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
14 unss 3513 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )  <->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
1513, 14sylibr 204 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) ) )
16 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  A )
17 simp3 959 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  Y  C_  A )
18 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
192, 18, 6pclclN 30615 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y )
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
201, 11, 19syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)
212, 18, 3paddss 30569 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
) )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
2315, 22mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
242, 18psubssat 30478 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
251, 20, 24syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
262, 6pclssN 30618 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
271, 23, 25, 26syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
2818, 6pclidN 30620 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
291, 20, 28syl2anc 643 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
3027, 29sseqtrd 3376 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
318, 30eqssd 3357 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    u. cun 3310    C_ wss 3312   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Atomscatm 29988   PSubSpcpsubsp 30220   + Pcpadd 30519   PClcpclN 30611
This theorem is referenced by:  pclun2N  30623
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-psubsp 30227  df-padd 30520  df-pclN 30612
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