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Theorem pclunN 30709
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclun.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
pclun.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclunN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  K  e.  V )
2 pclun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 pclun.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
42, 3paddunssN 30619 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( X  .+  Y
) )
52, 3paddssat 30625 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
6 pclun.c . . . 4  |-  U  =  ( PCl `  K
)
72, 6pclssN 30705 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  ( X  .+  Y )  /\  ( X  .+  Y )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
9 unss 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  <->  ( X  u.  Y )  C_  A
)
109biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( X  u.  Y
)  C_  A )
11103adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  A )
122, 6pclssidN 30706 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( X  u.  Y
)  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )
131, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
14 unss 3362 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )  <->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
1513, 14sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) ) )
16 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  A )
17 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  Y  C_  A )
18 eqid 2296 . . . . . . . 8  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
192, 18, 6pclclN 30702 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y )
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
201, 11, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)
212, 18, 3paddss 30656 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
) )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
2315, 22mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
242, 18psubssat 30565 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
251, 20, 24syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
262, 6pclssN 30705 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
271, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
2818, 6pclidN 30707 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
291, 20, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
3027, 29sseqtrd 3227 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
318, 30eqssd 3209 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    u. cun 3163    C_ wss 3165   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   Atomscatm 30075   PSubSpcpsubsp 30307   + Pcpadd 30606   PClcpclN 30698
This theorem is referenced by:  pclun2N  30710
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-psubsp 30314  df-padd 30607  df-pclN 30699
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