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Theorem pclunN 30087
Description: The projective subspace closure of the union of two sets of atoms equals the closure of their projective sum. (Contributed by NM, 12-Sep-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
pclun.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
pclun.p  |-  .+  =  ( + P `  K
)
pclun.c  |-  U  =  ( PCl `  K
)
Assertion
Ref Expression
pclunN  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )

Proof of Theorem pclunN
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  K  e.  V )
2 pclun.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3 pclun.p . . . 4  |-  .+  =  ( + P `  K
)
42, 3paddunssN 29997 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( X  .+  Y
) )
52, 3paddssat 30003 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  A )
6 pclun.c . . . 4  |-  U  =  ( PCl `  K
)
72, 6pclssN 30083 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  ( X  .+  Y )  /\  ( X  .+  Y )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  ( U `  ( X 
.+  Y ) ) )
9 unss 3349 . . . . . . . . 9  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  <->  ( X  u.  Y )  C_  A
)
109biimpi 186 . . . . . . . 8  |-  ( ( X  C_  A  /\  Y  C_  A )  -> 
( X  u.  Y
)  C_  A )
11103adant1 973 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  A )
122, 6pclssidN 30084 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( X  u.  Y
)  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )
131, 11, 12syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
14 unss 3349 . . . . . 6  |-  ( ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) )  <->  ( X  u.  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
1513, 14sylibr 203 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y )
) ) )
16 simp2 956 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  X  C_  A )
17 simp3 957 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  Y  C_  A )
18 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  ( PSubSp `  K )  =  (
PSubSp `  K )
192, 18, 6pclclN 30080 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  u.  Y
)  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y )
)  e.  ( PSubSp `  K ) )
201, 11, 19syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
)
212, 18, 3paddss 30034 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  C_  A  /\  Y  C_  A  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K )
) )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
221, 16, 17, 20, 21syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  (
( X  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) )  /\  Y  C_  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  <->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) ) )
2315, 22mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( X  .+  Y )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
242, 18psubssat 29943 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
251, 20, 24syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )
262, 6pclssN 30083 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( X  .+  Y ) 
C_  ( U `  ( X  u.  Y
) )  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
271, 23, 25, 26syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( U `
 ( X  u.  Y ) ) ) )
2818, 6pclidN 30085 . . . 4  |-  ( ( K  e.  V  /\  ( U `  ( X  u.  Y ) )  e.  ( PSubSp `  K
) )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
291, 20, 28syl2anc 642 . . 3  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( U `  ( X  u.  Y
) ) )  =  ( U `  ( X  u.  Y )
) )
3027, 29sseqtrd 3214 . 2  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  .+  Y ) )  C_  ( U `  ( X  u.  Y ) ) )
318, 30eqssd 3196 1  |-  ( ( K  e.  V  /\  X  C_  A  /\  Y  C_  A )  ->  ( U `  ( X  u.  Y ) )  =  ( U `  ( X  .+  Y ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    u. cun 3150    C_ wss 3152   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Atomscatm 29453   PSubSpcpsubsp 29685   + Pcpadd 29984   PClcpclN 30076
This theorem is referenced by:  pclun2N  30088
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-psubsp 29692  df-padd 29985  df-pclN 30077
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