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Theorem pcmpt 12940
Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
pcmpt  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
32oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
) )
4 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  1 ) )
54ifbid 3583 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) )
63, 5eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( p  =  1  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) ) )
76imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  1  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) ) ) )
8 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( p  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
98oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( p  =  k  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
) )
10 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( p  =  k  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  k ) )
1110ifbid 3583 . . . . 5  |-  ( p  =  k  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) )
129, 11eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( p  =  k  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) ) )
1312imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) ) ) )
14 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
1514oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
16 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
1716ifbid 3583 . . . . 5  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 ) )
1815, 17eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) )
1918imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) ) )
20 fveq2 5525 . . . . . 6  |-  ( p  =  N  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )
2120oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( p  =  N  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )
) )
22 breq2 4027 . . . . . 6  |-  ( p  =  N  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  N ) )
2322ifbid 3583 . . . . 5  |-  ( p  =  N  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
2421, 23eqeq12d 2297 . . . 4  |-  ( p  =  N  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2524imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) ) )
26 pcmpt.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
27 1z 10053 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
28 seq1 11059 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
30 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
31 1nprm 12763 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  1  e.  Prime
32 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
3331, 32mtbiri 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
34 iffalse 3572 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
36 pcmpt.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
37 1ex 8833 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
3835, 36, 37fvmpt 5602 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
3930, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  1
4029, 39eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
4140oveq2i 5869 . . . . . 6  |-  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  ( P 
pCnt  1 )
42 pc1 12908 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
4341, 42syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  0 )
44 prmuz2 12776 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
45 eluz2b2 10290 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
4645simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
4744, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  < 
P )
48 1re 8837 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
49 eluzelre 10239 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
5044, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
51 ltnle 8902 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 1  <  P  <->  -.  P  <_  1 ) )
5248, 50, 51sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 1  <  P  <->  -.  P  <_  1 ) )
5347, 52mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  <_  1 )
54 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  1  ->  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 )  =  0 )
5553, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 )  =  0 )
5643, 55eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) )
5726, 56syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) )
5826adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  e.  Prime )
59 pcmpt.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
6036, 59pcmptcl 12939 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6160simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
62 peano2nn 9758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
63 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
6461, 62, 63syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
6564adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
6658, 65pccld 12903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
6766nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
6867addid2d 9013 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
6962ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
70 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
71 ovex 5883 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n ^ A )  e. 
_V
7271, 37ifex 3623 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e. 
_V
7370, 72csbex 3092 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  _V
7436fvmpts 5603 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  _V )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
75 nfv 1605 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n
( k  +  1 )  e.  Prime
76 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( k  +  1 )
77 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n ^
7876nfcsb1 3112 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A
7976, 77, 78nfov 5881 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )
80 nfcv 2419 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
1
8175, 79, 80nfif 3589 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )
82 eleq1 2343 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
83 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
84 csbeq1a 3089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  A  =  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )
8583, 84oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ A )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
86 eqidd 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  1  =  1 )
8782, 85, 86ifbieq12d 3587 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 ) )
8870, 81, 87csbief 3122 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )
8974, 88syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  _V )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 ) )
9069, 73, 89sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 ) )
91 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( k  +  1 )  =  P )
9291, 58eqeltrd 2357 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  Prime )
93 iftrue 3571 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
9591csbeq1d 3087 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  =  [_ P  /  n ]_ A )
96 nfcvd 2420 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  F/_ n B )
97 pcmpt.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
9896, 97csbiegf 3121 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  [_ P  /  n ]_ A  =  B )
9958, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  [_ P  /  n ]_ A  =  B
)
10095, 99eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  =  B )
10191, 100oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )  =  ( P ^ B ) )
10290, 94, 1013eqtrd 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( P ^ B ) )
103102oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( P ^ B ) ) )
10497eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
105104rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  B  e.  NN0 ) )
10626, 59, 105sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  B  e.  NN0 )
108 pcidlem 12924 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ B ) )  =  B )
10958, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( P ^ B ) )  =  B )
11068, 103, 1093eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B )
111 oveq1 5865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  0  ->  ( ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  +  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
112111eqeq1d 2291 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  0  ->  ( ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B  <->  ( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B ) )
113110, 112syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  0  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  +  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B ) )
114 nnre 9753 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
115114ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
k  e.  RR )
116 ltp1 9594 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
117 peano2re 8985 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
118 ltnle 8902 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( k  < 
( k  +  1 )  <->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
119117, 118mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
120116, 119mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  RR  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
121115, 120syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
12291breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  k  <->  P  <_  k ) )
123121, 122mtbid 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  -.  P  <_  k )
124 iffalse 3572 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  <_  k  ->  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  =  0 )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  =  0 )
126125eqeq2d 2294 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  if ( P  <_ 
k ,  B , 
0 )  <->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )  =  0 ) )
127 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
128 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
129127, 128syl6eleq 2373 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
130 seqp1 11061 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
131129, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
132131oveq2d 5874 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
13326adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  P  e. 
Prime )
13460simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
135 ffvelrn 5663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
136134, 135sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
137 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  ZZ )
138 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  =/=  0 )
139137, 138jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  =/=  0 ) )
140136, 139syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  =/=  0 ) )
141 nnz 10045 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
142 nnne0 9778 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
143141, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
14464, 143syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
145 pcmul 12904 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  =/=  0 )  /\  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
146133, 140, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P 
pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
147132, 146eqtrd 2315 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
148147adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
149 prmnn 12761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
15026, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
151150nnred 9761 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
152151adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
153152leidd 9339 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  <_  P )
154153, 91breqtrrd 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) )
155 iftrue 3571 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  <_  ( k  +  1 )  ->  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 )  =  B )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 )  =  B )
157148, 156eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 )  <->  ( ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  +  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B ) )
158113, 126, 1573imtr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  if ( P  <_ 
k ,  B , 
0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) )
159158expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  =  P  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) ) )
160147adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
161 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( k  +  1 )  =/= 
P )
162161necomd 2529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  P  =/=  ( k  +  1 ) )
16326ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  P  e. 
Prime )
164 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( k  +  1 )  e. 
Prime )
16559ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
166 nfcsb1v 3113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A
167166nfel1 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0
16884eleq1d 2349 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  e.  NN0  <->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 ) )
169167, 168rspc 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 ) )
170164, 165, 169sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 )
171 prmdvdsexpr 12795 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime  /\  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )  ->  P  =  ( k  +  1 ) ) )
172163, 164, 170, 171syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P 
||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )  ->  P  =  ( k  +  1 ) ) )
173172necon3ad 2482 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P  =/=  ( k  +  1 )  ->  -.  P  ||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ) )
174162, 173mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  -.  P  ||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
17562ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
176175, 73, 89sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 ) )
177176, 93sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
178177breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P 
||  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  P  ||  (
( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ) )
179174, 178mtbird 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  -.  P  ||  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
18061adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  F : NN --> NN )
181180, 175, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
182181adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
183 pceq0 12923 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
184163, 182, 183syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
185179, 184mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
186 iffalse 3572 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )  =  1 )
187176, 186sylan9eq 2335 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  1 )
188187oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  1
) )
18926, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  1
)  =  0 )
190189ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  1 )  =  0 )
191188, 190eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
192185, 191pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
193192oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  0 ) )
19426adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  P  e.  Prime )
195136adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
196194, 195pccld 12903 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  e.  NN0 )
197196nn0cnd 10020 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  e.  CC )
198197addid1d 9012 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  +  0 )  =  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
199160, 193, 1983eqtrd 2319 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
200150adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  P  e.  NN )
201200nnred 9761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  P  e.  RR )
202175nnred 9761 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
203201, 202ltlend 8964 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <  (
k  +  1 )  <-> 
( P  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  =/=  P
) ) )
204 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
k  e.  NN )
205 nnleltp1 10071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( P  <_  k  <->  P  <  ( k  +  1 ) ) )
206200, 204, 205syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <_  k  <->  P  <  ( k  +  1 ) ) )
207 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( k  +  1 )  =/=  P )
208207biantrud 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( P  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  =/=  P
) ) )
209203, 206, 2083bitr4rd 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <_  (
k  +  1 )  <-> 
P  <_  k )
)
210209ifbid 3583 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) )
211199, 210eqeq12d 2297 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 )  <->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) ) )
212211biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  if ( P  <_ 
k ,  B , 
0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) )
213212expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  =/=  P  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) ) )
214159, 213pm2.61dne 2523 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) )
215214expcom 424 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) ) )
216215a2d 23 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) )  ->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) ) )
2177, 13, 19, 25, 57, 216nnind 9764 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )  =  if ( P  <_  N ,  B , 
0 ) ) )
2181, 217mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   _Vcvv 2788   [_csb 3081   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868   NNcn 9746   2c2 9795   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889
This theorem is referenced by:  pcmpt2  12941  pcprod  12943  1arithlem4  12973  chtublem  20450  bposlem3  20525
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890
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