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Theorem pcmpt 12956
Description: Construct a function with given prime count characteristics. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
Assertion
Ref Expression
pcmpt  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.3 . 2  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
2 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )
32oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
) )
4 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( p  =  1  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  1 ) )
54ifbid 3596 . . . . 5  |-  ( p  =  1  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) )
63, 5eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( p  =  1  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) ) )
76imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  1  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) ) ) )
8 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( p  =  k  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )
98oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( p  =  k  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
) )
10 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( p  =  k  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  k ) )
1110ifbid 3596 . . . . 5  |-  ( p  =  k  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) )
129, 11eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( p  =  k  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) ) )
1312imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  k  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) ) ) )
14 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )
1514oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) ) )
16 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  ( k  +  1 ) ) )
1716ifbid 3596 . . . . 5  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 ) )
1815, 17eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) )
1918imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  ( k  +  1 )  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) ) )
20 fveq2 5541 . . . . . 6  |-  ( p  =  N  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
)  =  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )
2120oveq2d 5890 . . . . 5  |-  ( p  =  N  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )
) )
22 breq2 4043 . . . . . 6  |-  ( p  =  N  ->  ( P  <_  p  <->  P  <_  N ) )
2322ifbid 3596 . . . . 5  |-  ( p  =  N  ->  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
2421, 23eqeq12d 2310 . . . 4  |-  ( p  =  N  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  p
) )  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 )  <-> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2524imbi2d 307 . . 3  |-  ( p  =  N  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  p )
)  =  if ( P  <_  p ,  B ,  0 ) )  <->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) ) )
26 pcmpt.4 . . . 4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
27 1z 10069 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  ZZ
28 seq1 11075 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  ZZ  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 ) )
2927, 28ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  ( F `
 1 )
30 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
31 1nprm 12779 . . . . . . . . . . . 12  |-  -.  1  e.  Prime
32 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  =  1  ->  (
n  e.  Prime  <->  1  e.  Prime ) )
3331, 32mtbiri 294 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  =  1  ->  -.  n  e.  Prime )
34 iffalse 3585 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
3533, 34syl 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  =  1  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
36 pcmpt.1 . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
37 1ex 8849 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  _V
3835, 36, 37fvmpt 5618 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  e.  NN  ->  ( F `  1 )  =  1 )
3930, 38ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( F `
 1 )  =  1
4029, 39eqtri 2316 . . . . . . 7  |-  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
)  =  1
4140oveq2i 5885 . . . . . 6  |-  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  ( P 
pCnt  1 )
42 pc1 12924 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  1 )  =  0 )
4341, 42syl5eq 2340 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  0 )
44 prmuz2 12792 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
45 eluz2b2 10306 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( P  e.  NN  /\  1  < 
P ) )
4645simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  1  <  P )
4744, 46syl 15 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  1  < 
P )
48 1re 8853 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
49 eluzelre 10255 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  P  e.  RR )
5044, 49syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  RR )
51 ltnle 8918 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  P  e.  RR )  ->  ( 1  <  P  <->  -.  P  <_  1 ) )
5248, 50, 51sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( 1  <  P  <->  -.  P  <_  1 ) )
5347, 52mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( P  e.  Prime  ->  -.  P  <_  1 )
54 iffalse 3585 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  1  ->  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 )  =  0 )
5553, 54syl 15 . . . . 5  |-  ( P  e.  Prime  ->  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 )  =  0 )
5643, 55eqtr4d 2331 . . . 4  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  1 )
)  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) )
5726, 56syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  1
) )  =  if ( P  <_  1 ,  B ,  0 ) )
5826adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  e.  Prime )
59 pcmpt.2 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
6036, 59pcmptcl 12955 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
6160simpld 445 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
62 peano2nn 9774 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  e.  NN  ->  (
k  +  1 )  e.  NN )
63 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  ( k  +  1 )  e.  NN )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )
6461, 62, 63syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
6564adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
6658, 65pccld 12919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  NN0 )
6766nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  e.  CC )
6867addid2d 9029 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
6962ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
70 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  +  1 )  e. 
_V
71 ovex 5899 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n ^ A )  e. 
_V
7271, 37ifex 3636 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e. 
_V
7370, 72csbex 3105 . . . . . . . . . . . . 13  |-  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  _V
7436fvmpts 5619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  _V )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
75 nfv 1609 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/ n
( k  +  1 )  e.  Prime
76 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n
( k  +  1 )
77 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n ^
7876nfcsb1 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  F/_ n [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A
7976, 77, 78nfov 5897 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )
80 nfcv 2432 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  F/_ n
1
8175, 79, 80nfif 3602 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  F/_ n if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )
82 eleq1 2356 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n  e.  Prime  <->  ( k  +  1 )  e. 
Prime ) )
83 id 19 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  n  =  ( k  +  1 ) )
84 csbeq1a 3102 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  A  =  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )
8583, 84oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  (
n ^ A )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
86 eqidd 2297 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  1  =  1 )
8782, 85, 86ifbieq12d 3600 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 ) )
8870, 81, 87csbief 3135 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )
8974, 88syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( k  +  1 )  e.  NN  /\  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  _V )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 ) )
9069, 73, 89sylancl 643 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 ) )
91 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( k  +  1 )  =  P )
9291, 58eqeltrd 2370 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  Prime )
93 iftrue 3584 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
9492, 93syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
9591csbeq1d 3100 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  =  [_ P  /  n ]_ A )
96 nfcvd 2433 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( P  e.  Prime  ->  F/_ n B )
97 pcmpt.5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
9896, 97csbiegf 3134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  [_ P  /  n ]_ A  =  B )
9958, 98syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  [_ P  /  n ]_ A  =  B
)
10095, 99eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  =  B )
10191, 100oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )  =  ( P ^ B ) )
10290, 94, 1013eqtrd 2332 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  ( P ^ B ) )
103102oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( P ^ B ) ) )
10497eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
105104rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  B  e.  NN0 ) )
10626, 59, 105sylc 56 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
107106adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  B  e.  NN0 )
108 pcidlem 12940 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  B  e.  NN0 )  ->  ( P  pCnt  ( P ^ B ) )  =  B )
10958, 107, 108syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  ( P ^ B ) )  =  B )
11068, 103, 1093eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B )
111 oveq1 5881 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  0  ->  ( ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  +  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
112111eqeq1d 2304 . . . . . . . . 9  |-  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  0  ->  ( ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B  <->  ( 0  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B ) )
113110, 112syl5ibrcom 213 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  0  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  +  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B ) )
114 nnre 9769 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  NN  ->  k  e.  RR )
115114ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
k  e.  RR )
116 ltp1 9610 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  k  <  ( k  +  1 ) )
117 peano2re 9001 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  +  1 )  e.  RR )
118 ltnle 8918 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( k  +  1 )  e.  RR )  ->  ( k  < 
( k  +  1 )  <->  -.  ( k  +  1 )  <_ 
k ) )
119117, 118mpdan 649 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  RR  ->  (
k  <  ( k  +  1 )  <->  -.  (
k  +  1 )  <_  k ) )
120116, 119mpbid 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  RR  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
121115, 120syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  -.  ( k  +  1 )  <_  k )
12291breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( k  +  1 )  <_  k  <->  P  <_  k ) )
123121, 122mtbid 291 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  -.  P  <_  k )
124 iffalse 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( -.  P  <_  k  ->  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  =  0 )
125123, 124syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  =  0 )
126125eqeq2d 2307 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  if ( P  <_ 
k ,  B , 
0 )  <->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )  =  0 ) )
127 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  NN )
128 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
129127, 128syl6eleq 2386 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  k  e.  ( ZZ>= `  1 )
)
130 seqp1 11077 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ZZ>= `  1
)  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
131129, 130syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) )  =  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  x.  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
132131oveq2d 5890 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( P 
pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) ) )
13326adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  P  e. 
Prime )
13460simprd 449 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
135 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
136134, 135sylan 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  e.  NN )
137 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  ZZ )
138 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  =/=  0 )
139137, 138jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  NN  ->  ( (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  =/=  0 ) )
140136, 139syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  =/=  0 ) )
141 nnz 10061 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ )
142 nnne0 9794 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 )
143141, 142jca 518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN  ->  (
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
14464, 143syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )
145 pcmul 12920 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  =/=  0 )  /\  ( ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  ZZ  /\  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =/=  0 ) )  -> 
( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  x.  ( F `  (
k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
146133, 140, 144, 145syl3anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P 
pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
)  x.  ( F `
 ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
147132, 146eqtrd 2328 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
148147adantrr 697 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
149 prmnn 12777 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
15026, 149syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
151150nnred 9777 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
152151adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  e.  RR )
153152leidd 9355 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  <_  P )
154153, 91breqtrrd 4065 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  P  <_  ( k  +  1 ) )
155 iftrue 3584 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  <_  ( k  +  1 )  ->  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 )  =  B )
156154, 155syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  ->  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 )  =  B )
157148, 156eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 )  <->  ( ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  +  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  B ) )
158113, 126, 1573imtr4d 259 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =  P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  if ( P  <_ 
k ,  B , 
0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) )
159158expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  =  P  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) ) )
160147adantrr 697 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) ) )
161 simplrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( k  +  1 )  =/= 
P )
162161necomd 2542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  P  =/=  ( k  +  1 ) )
16326ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  P  e. 
Prime )
164 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( k  +  1 )  e. 
Prime )
16559ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
166 nfcsb1v 3126 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  F/_ n [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A
167166nfel1 2442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  F/ n [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0
16884eleq1d 2362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  =  ( k  +  1 )  ->  ( A  e.  NN0  <->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 ) )
169167, 168rspc 2891 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 ) )
170164, 165, 169sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 )
171 prmdvdsexpr 12811 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
k  +  1 )  e.  Prime  /\  [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A  e.  NN0 )  ->  ( P  ||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )  ->  P  =  ( k  +  1 ) ) )
172163, 164, 170, 171syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P 
||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A )  ->  P  =  ( k  +  1 ) ) )
173172necon3ad 2495 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P  =/=  ( k  +  1 )  ->  -.  P  ||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ) )
174162, 173mpd 14 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  -.  P  ||  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
17562ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  NN )
176175, 73, 89sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  =  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ,  1 ) )
177176, 93sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  =  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) )
178177breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P 
||  ( F `  ( k  +  1 ) )  <->  P  ||  (
( k  +  1 ) ^ [_ (
k  +  1 )  /  n ]_ A
) ) )
179174, 178mtbird 292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  -.  P  ||  ( F `  (
k  +  1 ) ) )
18061adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  F : NN --> NN )
181180, 175, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( F `  (
k  +  1 ) )  e.  NN )
182181adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( F `
 ( k  +  1 ) )  e.  NN )
183 pceq0 12939 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( F `  ( k  +  1 ) )  e.  NN )  -> 
( ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
184163, 182, 183syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )
185179, 184mpbird 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  ( k  +  1 )  e. 
Prime )  ->  ( P 
pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
186 iffalse 3585 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( -.  ( k  +  1 )  e.  Prime  ->  if ( ( k  +  1 )  e.  Prime ,  ( ( k  +  1 ) ^ [_ ( k  +  1 )  /  n ]_ A ) ,  1 )  =  1 )
187176, 186sylan9eq 2348 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( F `  ( k  +  1 ) )  =  1 )
188187oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  1
) )
18926, 42syl 15 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  1
)  =  0 )
190189ad2antrr 706 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  1 )  =  0 )
191188, 190eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/=  P ) )  /\  -.  (
k  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
192185, 191pm2.61dan 766 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) )  =  0 )
193192oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  +  ( P  pCnt  ( F `  ( k  +  1 ) ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  +  0 ) )
19426adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  P  e.  Prime )
195136adantrr 697 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k )  e.  NN )
196194, 195pccld 12919 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  e.  NN0 )
197196nn0cnd 10036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  e.  CC )
198197addid1d 9028 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  +  0 )  =  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
199160, 193, 1983eqtrd 2332 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) ) )
200150adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  P  e.  NN )
201200nnred 9777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  P  e.  RR )
202175nnred 9777 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( k  +  1 )  e.  RR )
203201, 202ltlend 8980 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <  (
k  +  1 )  <-> 
( P  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  =/=  P
) ) )
204 simprl 732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
k  e.  NN )
205 nnleltp1 10087 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( P  e.  NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( P  <_  k  <->  P  <  ( k  +  1 ) ) )
206200, 204, 205syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <_  k  <->  P  <  ( k  +  1 ) ) )
207 simprr 733 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( k  +  1 )  =/=  P )
208207biantrud 493 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <_  (
k  +  1 )  <-> 
( P  <_  (
k  +  1 )  /\  ( k  +  1 )  =/=  P
) ) )
209203, 206, 2083bitr4rd 277 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( P  <_  (
k  +  1 )  <-> 
P  <_  k )
)
210209ifbid 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  ->  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) )
211199, 210eqeq12d 2310 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 )  <->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 k ) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) ) )
212211biimprd 214 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  ( k  +  1 )  =/= 
P ) )  -> 
( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k ) )  =  if ( P  <_ 
k ,  B , 
0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  ( k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) )
213212expr 598 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( k  +  1 )  =/=  P  ->  (
( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) ) )
214159, 213pm2.61dne 2536 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  k
) )  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) )
215214expcom 424 . . . 4  |-  ( k  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 )  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  ( k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_ 
( k  +  1 ) ,  B , 
0 ) ) ) )
216215a2d 23 . . 3  |-  ( k  e.  NN  ->  (
( ph  ->  ( P 
pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  k )
)  =  if ( P  <_  k ,  B ,  0 ) )  ->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  (
k  +  1 ) ) )  =  if ( P  <_  (
k  +  1 ) ,  B ,  0 ) ) ) )
2177, 13, 19, 25, 57, 216nnind 9780 . 2  |-  ( N  e.  NN  ->  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N ) )  =  if ( P  <_  N ,  B , 
0 ) ) )
2181, 217mpcom 32 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   _Vcvv 2801   [_csb 3094   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884   NNcn 9762   2c2 9811   NN0cn0 9981   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246    seq cseq 11062   ^cexp 11120    || cdivides 12547   Primecprime 12774    pCnt cpc 12905
This theorem is referenced by:  pcmpt2  12957  pcprod  12959  1arithlem4  12989  chtublem  20466  bposlem3  20541
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-sup 7210  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-fz 10799  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906
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