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Theorem pcmpt2 12988
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
pcmpt2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
pcmpt2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 pcmpt.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
3 pcmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
42, 3pcmptcl 12986 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
54simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
6 pcmpt.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 pcmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
8 nnuz 10310 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
98uztrn2 10292 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
106, 7, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
11 ffvelrn 5701 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  e.  NN )
125, 10, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
1312nnzd 10163 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
1412nnne0d 9835 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
15 ffvelrn 5701 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN )
165, 6, 15syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  NN )
17 pcdiv 12952 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0 )  /\  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) ) )
181, 13, 14, 16, 17syl121anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )
) ) )
19 pcmpt.5 . . . 4  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
202, 3, 10, 1, 19pcmpt 12987 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
212, 3, 6, 1, 19pcmpt 12987 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
2220, 21oveq12d 5918 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2319eleq1d 2382 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
2423rspcv 2914 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  B  e.  NN0 ) )
251, 3, 24sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2625nn0cnd 10067 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2726subidd 9190 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
2827adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
29 prmnn 12808 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
301, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
3130nnred 9806 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  e.  RR )
336nnred 9806 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  e.  RR )
3510nnred 9806 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3635adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  M  e.  RR )
37 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  N )
38 eluzle 10287 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
397, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  <_  M )
4132, 34, 36, 37, 40letrd 9018 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  M )
42 iftrue 3605 . . . . . 6  |-  ( P  <_  M  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
4341, 42syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
44 iftrue 3605 . . . . . 6  |-  ( P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4643, 45oveq12d 5918 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( B  -  B ) )
47 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
4847, 37nsyl3 111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) )
49 iffalse 3606 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
)  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
5048, 49syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
5128, 46, 503eqtr4d 2358 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
52 iffalse 3606 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  0 )
5352oveq2d 5916 . . . . 5  |-  ( -.  P  <_  N  ->  ( if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  0 ) )
54 0cn 8876 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
55 ifcl 3635 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5626, 54, 55sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5756subid1d 9191 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  - 
0 )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
5853, 57sylan9eqr 2370 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
59 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
6059biantrud 493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( P  <_  M  <->  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ) )
6160ifbid 3617 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6258, 61eqtrd 2348 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6351, 62pm2.61dan 766 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
6418, 22, 633eqtrd 2352 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   A.wral 2577   ifcif 3599   class class class wbr 4060    e. cmpt 4114   -->wf 5288   ` cfv 5292  (class class class)co 5900   CCcc 8780   RRcr 8781   0cc0 8782   1c1 8783    x. cmul 8787    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   NNcn 9791   NN0cn0 10012   ZZcz 10071   ZZ>=cuz 10277    seq cseq 11093   ^cexp 11151   Primecprime 12805    pCnt cpc 12936
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12989  bposlem6  20581
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-pc 12937
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