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Theorem pcmpt2 12941
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
pcmpt2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
pcmpt2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 pcmpt.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
3 pcmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
42, 3pcmptcl 12939 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
54simprd 449 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
6 pcmpt.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 pcmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
8 nnuz 10263 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
98uztrn2 10245 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
106, 7, 9syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
11 ffvelrn 5663 . . . . 5  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  M  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  e.  NN )
125, 10, 11syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
1312nnzd 10116 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
1412nnne0d 9790 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
15 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN  /\  N  e.  NN )  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
)  e.  NN )
165, 6, 15syl2anc 642 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  NN )
17 pcdiv 12905 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0 )  /\  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) ) )
181, 13, 14, 16, 17syl121anc 1187 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )
) ) )
19 pcmpt.5 . . . 4  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
202, 3, 10, 1, 19pcmpt 12940 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
212, 3, 6, 1, 19pcmpt 12940 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
2220, 21oveq12d 5876 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2319eleq1d 2349 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
2423rspcv 2880 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  B  e.  NN0 ) )
251, 3, 24sylc 56 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2625nn0cnd 10020 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2726subidd 9145 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
2827adantr 451 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
29 prmnn 12761 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
301, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
3130nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
3231adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  e.  RR )
336nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3433adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  e.  RR )
3510nnred 9761 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3635adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  M  e.  RR )
37 simpr 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  N )
38 eluzle 10240 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
397, 38syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
4039adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  <_  M )
4132, 34, 36, 37, 40letrd 8973 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  M )
42 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( P  <_  M  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
4341, 42syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
44 iftrue 3571 . . . . . 6  |-  ( P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4544adantl 452 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4643, 45oveq12d 5876 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( B  -  B ) )
47 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
4847, 37nsyl3 111 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) )
49 iffalse 3572 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
)  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
5048, 49syl 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
5128, 46, 503eqtr4d 2325 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
52 iffalse 3572 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  0 )
5352oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( -.  P  <_  N  ->  ( if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  0 ) )
54 0cn 8831 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
55 ifcl 3601 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5626, 54, 55sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5756subid1d 9146 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  - 
0 )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
5853, 57sylan9eqr 2337 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
59 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
6059biantrud 493 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( P  <_  M  <->  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ) )
6160ifbid 3583 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6258, 61eqtrd 2315 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6351, 62pm2.61dan 766 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
6418, 22, 633eqtrd 2319 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230    seq cseq 11046   ^cexp 11104   Primecprime 12758    pCnt cpc 12889
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12942  bposlem6  20528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-sup 7194  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-fz 10783  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890
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