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Theorem pcmpt2 13262
Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
pcmpt.3  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
pcmpt.4  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
pcmpt.5  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
pcmpt2.6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
Assertion
Ref Expression
pcmpt2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
Distinct variable groups:    B, n    P, n
Allowed substitution hints:    ph( n)    A( n)    F( n)    M( n)    N( n)

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 pcmpt.1 . . . . . . 7  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
3 pcmpt.2 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
42, 3pcmptcl 13260 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
54simprd 450 . . . . 5  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
6 pcmpt.3 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  NN )
7 pcmpt2.6 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )
8 nnuz 10521 . . . . . . 7  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
98uztrn2 10503 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  NN  /\  M  e.  ( ZZ>= `  N ) )  ->  M  e.  NN )
106, 7, 9syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  NN )
115, 10ffvelrnd 5871 . . . 4  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  NN )
1211nnzd 10374 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ )
1311nnne0d 10044 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  =/=  0 )
145, 6ffvelrnd 5871 . . 3  |-  ( ph  ->  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N )  e.  NN )
15 pcdiv 13226 . . 3  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  e.  ZZ  /\  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  =/=  0 )  /\  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )  e.  NN )  ->  ( P  pCnt  ( (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
)  /  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) ) )
161, 12, 13, 14, 15syl121anc 1189 . 2  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1
(  x.  ,  F
) `  N )
) ) )
17 pcmpt.5 . . . 4  |-  ( n  =  P  ->  A  =  B )
182, 3, 10, 1, 17pcmpt 13261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M
) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
192, 3, 6, 1, 17pcmpt 13261 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) )  =  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )
2018, 19oveq12d 6099 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  M ) )  -  ( P  pCnt  (  seq  1 (  x.  ,  F ) `  N
) ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) ) )
2117eleq1d 2502 . . . . . . . . 9  |-  ( n  =  P  ->  ( A  e.  NN0  <->  B  e.  NN0 ) )
2221rspcv 3048 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  B  e.  NN0 ) )
231, 3, 22sylc 58 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  NN0 )
2423nn0cnd 10276 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
2524subidd 9399 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  B
)  =  0 )
2625adantr 452 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( B  -  B )  =  0 )
27 prmnn 13082 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
281, 27syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
2928nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  RR )
3029adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  e.  RR )
316nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  RR )
3231adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  e.  RR )
3310nnred 10015 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  RR )
3433adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  M  e.  RR )
35 simpr 448 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  N )
36 eluzle 10498 . . . . . . . . 9  |-  ( M  e.  ( ZZ>= `  N
)  ->  N  <_  M )
377, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  <_  M )
3837adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  N  <_  M )
3930, 32, 34, 35, 38letrd 9227 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  P  <_  M )
40 iftrue 3745 . . . . . 6  |-  ( P  <_  M  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
4139, 40syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  B )
42 iftrue 3745 . . . . . 6  |-  ( P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4342adantl 453 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  B )
4441, 43oveq12d 6099 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( B  -  B ) )
45 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
4645, 35nsyl3 113 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) )
47 iffalse 3746 . . . . 5  |-  ( -.  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
)  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
4846, 47syl 16 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  if (
( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 )  =  0 )
4926, 44, 483eqtr4d 2478 . . 3  |-  ( (
ph  /\  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
50 iffalse 3746 . . . . . 6  |-  ( -.  P  <_  N  ->  if ( P  <_  N ,  B ,  0 )  =  0 )
5150oveq2d 6097 . . . . 5  |-  ( -.  P  <_  N  ->  ( if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  0 ) )
52 0cn 9084 . . . . . . 7  |-  0  e.  CC
53 ifcl 3775 . . . . . . 7  |-  ( ( B  e.  CC  /\  0  e.  CC )  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5424, 52, 53sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  if ( P  <_  M ,  B , 
0 )  e.  CC )
5554subid1d 9400 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  - 
0 )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
5651, 55sylan9eqr 2490 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( P  <_  M ,  B ,  0 ) )
57 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  -.  P  <_  N )
5857biantrud 494 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( P  <_  M  <->  ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ) )
5958ifbid 3757 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6056, 59eqtrd 2468 . . 3  |-  ( (
ph  /\  -.  P  <_  N )  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N ) ,  B ,  0 ) )
6149, 60pm2.61dan 767 . 2  |-  ( ph  ->  ( if ( P  <_  M ,  B ,  0 )  -  if ( P  <_  N ,  B ,  0 ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
6216, 20, 613eqtrd 2472 1  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  (
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 M )  / 
(  seq  1 (  x.  ,  F ) `
 N ) ) )  =  if ( ( P  <_  M  /\  -.  P  <_  N
) ,  B , 
0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705   ifcif 3739   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266   -->wf 5450   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   NN0cn0 10221   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488    seq cseq 11323   ^cexp 11382   Primecprime 13079    pCnt cpc 13210
This theorem is referenced by:  pcmptdvds  13263  bposlem6  21073
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-sup 7446  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-n0 10222  df-z 10283  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-fz 11044  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211
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