Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmpt2 Unicode version

Theorem pcmpt2 12988
 Description: Dividing two prime count maps yields a number with all dividing primes confined to an interval. (Contributed by Mario Carneiro, 14-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1
pcmpt.2
pcmpt.3
pcmpt.4
pcmpt.5
pcmpt2.6
Assertion
Ref Expression
pcmpt2
Distinct variable groups:   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()   ()   ()   ()

Proof of Theorem pcmpt2
StepHypRef Expression
1 pcmpt.4 . . 3
2 pcmpt.1 . . . . . . 7
3 pcmpt.2 . . . . . . 7
42, 3pcmptcl 12986 . . . . . 6
54simprd 449 . . . . 5
6 pcmpt.3 . . . . . 6
7 pcmpt2.6 . . . . . 6
8 nnuz 10310 . . . . . . 7
98uztrn2 10292 . . . . . 6
106, 7, 9syl2anc 642 . . . . 5
11 ffvelrn 5701 . . . . 5
125, 10, 11syl2anc 642 . . . 4
1312nnzd 10163 . . 3
1412nnne0d 9835 . . 3
15 ffvelrn 5701 . . . 4
165, 6, 15syl2anc 642 . . 3
17 pcdiv 12952 . . 3
181, 13, 14, 16, 17syl121anc 1187 . 2
19 pcmpt.5 . . . 4
202, 3, 10, 1, 19pcmpt 12987 . . 3
212, 3, 6, 1, 19pcmpt 12987 . . 3
2220, 21oveq12d 5918 . 2
2319eleq1d 2382 . . . . . . . . 9
2423rspcv 2914 . . . . . . . 8
251, 3, 24sylc 56 . . . . . . 7
2625nn0cnd 10067 . . . . . 6
2726subidd 9190 . . . . 5
2827adantr 451 . . . 4
29 prmnn 12808 . . . . . . . . . 10
301, 29syl 15 . . . . . . . . 9
3130nnred 9806 . . . . . . . 8
3231adantr 451 . . . . . . 7
336nnred 9806 . . . . . . . 8
3433adantr 451 . . . . . . 7
3510nnred 9806 . . . . . . . 8
3635adantr 451 . . . . . . 7
37 simpr 447 . . . . . . 7
38 eluzle 10287 . . . . . . . . 9
397, 38syl 15 . . . . . . . 8
4039adantr 451 . . . . . . 7
4132, 34, 36, 37, 40letrd 9018 . . . . . 6
42 iftrue 3605 . . . . . 6
4341, 42syl 15 . . . . 5
44 iftrue 3605 . . . . . 6
4544adantl 452 . . . . 5
4643, 45oveq12d 5918 . . . 4
47 simpr 447 . . . . . 6
4847, 37nsyl3 111 . . . . 5
49 iffalse 3606 . . . . 5
5048, 49syl 15 . . . 4
5128, 46, 503eqtr4d 2358 . . 3
52 iffalse 3606 . . . . . 6
5352oveq2d 5916 . . . . 5
54 0cn 8876 . . . . . . 7
55 ifcl 3635 . . . . . . 7
5626, 54, 55sylancl 643 . . . . . 6
5756subid1d 9191 . . . . 5
5853, 57sylan9eqr 2370 . . . 4
59 simpr 447 . . . . . 6
6059biantrud 493 . . . . 5
6160ifbid 3617 . . . 4
6258, 61eqtrd 2348 . . 3
6351, 62pm2.61dan 766 . 2
6418, 22, 633eqtrd 2352 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   wceq 1633   wcel 1701   wne 2479  wral 2577  cif 3599   class class class wbr 4060   cmpt 4114  wf 5288  cfv 5292  (class class class)co 5900  cc 8780  cr 8781  cc0 8782  c1 8783   cmul 8787   cle 8913   cmin 9082   cdiv 9468  cn 9791  cn0 10012  cz 10071  cuz 10277   cseq 11093  cexp 11151  cprime 12805   cpc 12936 This theorem is referenced by:  pcmptdvds  12989  bposlem6  20581 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-sup 7239  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-n0 10013  df-z 10072  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-fz 10830  df-fl 10972  df-mod 11021  df-seq 11094  df-exp 11152  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-dvds 12579  df-gcd 12733  df-prm 12806  df-pc 12937
 Copyright terms: Public domain W3C validator