MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Unicode version

Theorem pcmptcl 12939
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
pcmptcl  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
2 pm2.27 35 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  A  e.  NN0 ) )
3 iftrue 3571 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  =  ( n ^ A
) )
43adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  ( n ^ A ) )
5 prmnn 12761 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
6 nnexpcl 11116 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( n ^ A
)  e.  NN )
75, 6sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
n ^ A )  e.  NN )
84, 7eqeltrd 2357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
98ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( A  e.  NN0  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e.  NN ) )
102, 9syld 40 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN ) )
11 iffalse 3572 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
12 1nn 9757 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
1311, 12syl6eqel 2371 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
1413a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN ) )
1510, 14pm2.61i 156 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
1615a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e.  NN ) )
1716ralimi2 2615 . . . 4  |-  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
181, 17syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
19 pcmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
2019fmpt 5681 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN  <->  F : NN
--> NN )
2118, 20sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
22 nnuz 10263 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 1z 10053 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2423a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
25 ffvelrn 5663 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  NN )
2621, 25sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  NN )
27 nnmulcl 9769 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( k  x.  p
)  e.  NN )
2827adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  p  e.  NN ) )  -> 
( k  x.  p
)  e.  NN )
2922, 24, 26, 28seqf 11067 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
3021, 29jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   ifcif 3565    e. cmpt 4077   -->wf 5251   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1c1 8738    x. cmul 8742   NNcn 9746   NN0cn0 9965   ZZcz 10024    seq cseq 11046   ^cexp 11104   Primecprime 12758
This theorem is referenced by:  pcmpt  12940  pcmpt2  12941  pcmptdvds  12942  pcprod  12943  1arithlem4  12973  bposlem3  20525  bposlem5  20527  bposlem6  20528
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-er 6660  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-nn 9747  df-n0 9966  df-z 10025  df-uz 10231  df-fz 10783  df-seq 11047  df-exp 11105  df-prm 12759
  Copyright terms: Public domain W3C validator