MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Structured version   Unicode version

Theorem pcmptcl 13262
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
pcmptcl  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
2 pm2.27 38 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  A  e.  NN0 ) )
3 iftrue 3747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  =  ( n ^ A
) )
43adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  ( n ^ A ) )
5 prmnn 13084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
6 nnexpcl 11396 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( n ^ A
)  e.  NN )
75, 6sylan 459 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
n ^ A )  e.  NN )
84, 7eqeltrd 2512 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
98ex 425 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( A  e.  NN0  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e.  NN ) )
102, 9syld 43 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN ) )
11 iffalse 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
12 1nn 10013 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
1311, 12syl6eqel 2526 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
1413a1d 24 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN ) )
1510, 14pm2.61i 159 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
1615a1d 24 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e.  NN ) )
1716ralimi2 2780 . . . 4  |-  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
181, 17syl 16 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
19 pcmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
2019fmpt 5892 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN  <->  F : NN
--> NN )
2118, 20sylib 190 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
22 nnuz 10523 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 1z 10313 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2423a1i 11 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
2521ffvelrnda 5872 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  NN )
26 nnmulcl 10025 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( k  x.  p
)  e.  NN )
2726adantl 454 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  p  e.  NN ) )  -> 
( k  x.  p
)  e.  NN )
2822, 24, 25, 27seqf 11346 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
2921, 28jca 520 1  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726   A.wral 2707   ifcif 3741    e. cmpt 4268   -->wf 5452  (class class class)co 6083   1c1 8993    x. cmul 8997   NNcn 10002   NN0cn0 10223   ZZcz 10284    seq cseq 11325   ^cexp 11384   Primecprime 13081
This theorem is referenced by:  pcmpt  13263  pcmpt2  13264  pcmptdvds  13265  pcprod  13266  1arithlem4  13296  bposlem3  21072  bposlem5  21074  bposlem6  21075
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-er 6907  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-nn 10003  df-n0 10224  df-z 10285  df-uz 10491  df-fz 11046  df-seq 11326  df-exp 11385  df-prm 13082
  Copyright terms: Public domain W3C validator