MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcmptcl Unicode version

Theorem pcmptcl 12955
Description: Closure for the prime power map. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Mar-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
pcmpt.1  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
pcmpt.2  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
Assertion
Ref Expression
pcmptcl  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )

Proof of Theorem pcmptcl
Dummy variables  k  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcmpt.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. n  e.  Prime  A  e.  NN0 )
2 pm2.27 35 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  A  e.  NN0 ) )
3 iftrue 3584 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  =  ( n ^ A
) )
43adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  ( n ^ A ) )
5 prmnn 12777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  Prime  ->  n  e.  NN )
6 nnexpcl 11132 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  NN  /\  A  e.  NN0 )  -> 
( n ^ A
)  e.  NN )
75, 6sylan 457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  (
n ^ A )  e.  NN )
84, 7eqeltrd 2370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( n  e.  Prime  /\  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
98ex 423 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( A  e.  NN0  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e.  NN ) )
102, 9syld 40 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN ) )
11 iffalse 3585 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  =  1 )
12 1nn 9773 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  NN
1311, 12syl6eqel 2384 . . . . . . . 8  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
1413a1d 22 . . . . . . 7  |-  ( -.  n  e.  Prime  ->  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN ) )
1510, 14pm2.61i 156 . . . . . 6  |-  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  ->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
1615a1d 22 . . . . 5  |-  ( ( n  e.  Prime  ->  A  e.  NN0 )  -> 
( n  e.  NN  ->  if ( n  e. 
Prime ,  ( n ^ A ) ,  1 )  e.  NN ) )
1716ralimi2 2628 . . . 4  |-  ( A. n  e.  Prime  A  e. 
NN0  ->  A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
181, 17syl 15 . . 3  |-  ( ph  ->  A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN )
19 pcmpt.1 . . . 4  |-  F  =  ( n  e.  NN  |->  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 ) )
2019fmpt 5697 . . 3  |-  ( A. n  e.  NN  if ( n  e.  Prime ,  ( n ^ A
) ,  1 )  e.  NN  <->  F : NN
--> NN )
2118, 20sylib 188 . 2  |-  ( ph  ->  F : NN --> NN )
22 nnuz 10279 . . 3  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
23 1z 10069 . . . 4  |-  1  e.  ZZ
2423a1i 10 . . 3  |-  ( ph  ->  1  e.  ZZ )
25 ffvelrn 5679 . . . 4  |-  ( ( F : NN --> NN  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `  k
)  e.  NN )
2621, 25sylan 457 . . 3  |-  ( (
ph  /\  k  e.  NN )  ->  ( F `
 k )  e.  NN )
27 nnmulcl 9785 . . . 4  |-  ( ( k  e.  NN  /\  p  e.  NN )  ->  ( k  x.  p
)  e.  NN )
2827adantl 452 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( k  e.  NN  /\  p  e.  NN ) )  -> 
( k  x.  p
)  e.  NN )
2922, 24, 26, 28seqf 11083 . 2  |-  ( ph  ->  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN )
3021, 29jca 518 1  |-  ( ph  ->  ( F : NN --> NN  /\  seq  1 (  x.  ,  F ) : NN --> NN ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   ifcif 3578    e. cmpt 4093   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   1c1 8754    x. cmul 8758   NNcn 9762   NN0cn0 9981   ZZcz 10040    seq cseq 11062   ^cexp 11120   Primecprime 12774
This theorem is referenced by:  pcmpt  12956  pcmpt2  12957  pcmptdvds  12958  pcprod  12959  1arithlem4  12989  bposlem3  20541  bposlem5  20543  bposlem6  20544
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-nn 9763  df-n0 9982  df-z 10041  df-uz 10247  df-fz 10799  df-seq 11063  df-exp 11121  df-prm 12775
  Copyright terms: Public domain W3C validator