MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Structured version   Unicode version

Theorem pco0 19070
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco0  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 9122 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 0le0 10112 . . . 4  |-  0  <_  0
3 1re 9121 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
43rehalfcli 10247 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
5 halfgt0 10219 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
61, 4, 5ltleii 9227 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
71, 4elicc2i 11007 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
( 1  /  2
) ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1137 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
9 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
10 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
119, 10pcoval1 19069 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F `  ( 2  x.  0 ) ) )
128, 11mpan2 654 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 ( 2  x.  0 ) ) )
13 2cn 10101 . . . 4  |-  2  e.  CC
1413mul01i 9287 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
1514fveq2i 5760 . 2  |-  ( F `
 ( 2  x.  0 ) )  =  ( F `  0
)
1612, 15syl6eq 2490 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1727   class class class wbr 4237   ` cfv 5483  (class class class)co 6110   RRcr 9020   0cc0 9021   1c1 9022    x. cmul 9026    <_ cle 9152    / cdiv 9708   2c2 10080   [,]cicc 10950    Cn ccn 17319   IIcii 18936   *pcpco 19056
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  19075  pcoass  19080  pcorevlem  19082  pcophtb  19085  om1addcl  19089  pi1xfrf  19109  pi1xfr  19111  pi1xfrcnvlem  19112  pi1coghm  19117  conpcon  24953  sconpht2  24956  cvmlift3lem6  25042
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1668  ax-8 1689  ax-13 1729  ax-14 1731  ax-6 1746  ax-7 1751  ax-11 1763  ax-12 1953  ax-ext 2423  ax-rep 4345  ax-sep 4355  ax-nul 4363  ax-pow 4406  ax-pr 4432  ax-un 4730  ax-cnex 9077  ax-resscn 9078  ax-1cn 9079  ax-icn 9080  ax-addcl 9081  ax-addrcl 9082  ax-mulcl 9083  ax-mulrcl 9084  ax-mulcom 9085  ax-addass 9086  ax-mulass 9087  ax-distr 9088  ax-i2m1 9089  ax-1ne0 9090  ax-1rid 9091  ax-rnegex 9092  ax-rrecex 9093  ax-cnre 9094  ax-pre-lttri 9095  ax-pre-lttrn 9096  ax-pre-ltadd 9097  ax-pre-mulgt0 9098
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2291  df-mo 2292  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2716  df-rex 2717  df-reu 2718  df-rmo 2719  df-rab 2720  df-v 2964  df-sbc 3168  df-csb 3268  df-dif 3309  df-un 3311  df-in 3313  df-ss 3320  df-nul 3614  df-if 3764  df-pw 3825  df-sn 3844  df-pr 3845  df-op 3847  df-uni 4040  df-iun 4119  df-br 4238  df-opab 4292  df-mpt 4293  df-id 4527  df-po 4532  df-so 4533  df-xp 4913  df-rel 4914  df-cnv 4915  df-co 4916  df-dm 4917  df-rn 4918  df-res 4919  df-ima 4920  df-iota 5447  df-fun 5485  df-fn 5486  df-f 5487  df-f1 5488  df-fo 5489  df-f1o 5490  df-fv 5491  df-ov 6113  df-oprab 6114  df-mpt2 6115  df-1st 6378  df-2nd 6379  df-riota 6578  df-er 6934  df-map 7049  df-en 7139  df-dom 7140  df-sdom 7141  df-pnf 9153  df-mnf 9154  df-xr 9155  df-ltxr 9156  df-le 9157  df-sub 9324  df-neg 9325  df-div 9709  df-2 10089  df-icc 10954  df-top 16994  df-topon 16997  df-cn 17322  df-pco 19061
  Copyright terms: Public domain W3C validator