MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco0 Unicode version

Theorem pco0 18992
Description: The starting point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco0  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )

Proof of Theorem pco0
StepHypRef Expression
1 0re 9047 . . . 4  |-  0  e.  RR
2 0le0 10037 . . . 4  |-  0  <_  0
3 1re 9046 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
43rehalfcli 10172 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
5 halfgt0 10144 . . . . 5  |-  0  <  ( 1  /  2
)
61, 4, 5ltleii 9152 . . . 4  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
71, 4elicc2i 10932 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( 0  e.  RR  /\  0  <_  0  /\  0  <_ 
( 1  /  2
) ) )
81, 2, 6, 7mpbir3an 1136 . . 3  |-  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )
9 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
10 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
119, 10pcoval1 18991 . . 3  |-  ( (
ph  /\  0  e.  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F `  ( 2  x.  0 ) ) )
128, 11mpan2 653 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 ( 2  x.  0 ) ) )
13 2cn 10026 . . . 4  |-  2  e.  CC
1413mul01i 9212 . . 3  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
1514fveq2i 5690 . 2  |-  ( F `
 ( 2  x.  0 ) )  =  ( F `  0
)
1612, 15syl6eq 2452 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4172   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   RRcr 8945   0cc0 8946   1c1 8947    x. cmul 8951    <_ cle 9077    / cdiv 9633   2c2 10005   [,]cicc 10875    Cn ccn 17242   IIcii 18858   *pcpco 18978
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  18997  pcoass  19002  pcorevlem  19004  pcophtb  19007  om1addcl  19011  pi1xfrf  19031  pi1xfr  19033  pi1xfrcnvlem  19034  pi1coghm  19039  conpcon  24875  sconpht2  24878  cvmlift3lem6  24964
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-2 10014  df-icc 10879  df-top 16918  df-topon 16921  df-cn 17245  df-pco 18983
  Copyright terms: Public domain W3C validator