MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pco1 Structured version   Unicode version

Theorem pco1 19042
Description: The ending point of a path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
pcoval.2  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
pcoval.3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
Assertion
Ref Expression
pco1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )

Proof of Theorem pco1
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcoval.2 . . . 4  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
2 pcoval.3 . . . 4  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
31, 2pcoval 19038 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
43fveq1d 5732 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) `  1
) )
5 1elunit 11018 . . 3  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
6 halflt1 10191 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7 1re 9092 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
87rehalfcli 10218 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
98, 7ltnlei 9196 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
106, 9mpbi 201 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
11 breq1 4217 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
1210, 11mtbiri 296 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
13 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
1412, 13syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
15 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
16 2cn 10072 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  CC
1716mulid1i 9094 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1815, 17syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  2 )
1918oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
20 2m1e1 10097 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
2119, 20syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  1 )
2221fveq2d 5734 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  ( G `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( G ` 
1 ) )
2314, 22eqtrd 2470 . . . 4  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  ( G ` 
1 ) )
24 eqid 2438 . . . 4  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
25 fvex 5744 . . . 4  |-  ( G `
 1 )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5808 . . 3  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( G `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) ` 
1 )  =  ( G `  1 ) )
275, 26ax-mp 8 . 2  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ) `  1
)  =  ( G `
 1 )
284, 27syl6eq 2486 1  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    = wceq 1653    e. wcel 1726   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   2c2 10051   [,]cicc 10921    Cn ccn 17290   IIcii 18907   *pcpco 19027
This theorem is referenced by:  pcohtpylem  19046  pcorevlem  19053  pcophtb  19056  om1addcl  19060  pi1xfrf  19080  pi1xfr  19082  pi1xfrcnvlem  19083  pi1coghm  19088  conpcon  24924  sconpht2  24927  cvmlift3lem6  25013
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-er 6907  df-map 7022  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-2 10060  df-icc 10925  df-top 16965  df-topon 16968  df-cn 17293  df-pco 19032
  Copyright terms: Public domain W3C validator