MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpy Unicode version

Theorem pcohtpy 18571
Description: Homotopy invariance of path concatenation. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcohtpy.5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
pcohtpy.6  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
Assertion
Ref Expression
pcohtpy  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( H ( *p `  J ) K ) )

Proof of Theorem pcohtpy
Dummy variables  m  n  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
2 isphtpc 18545 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  H  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  H  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
43simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 pcohtpy.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
6 isphtpc 18545 . . . . 5  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  <->  ( G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  K  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( G
( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
75, 6sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  K  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G (
PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
87simp1d 967 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcohtpy.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
104, 8, 9pcocn 18568 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
113simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
127simp2d 968 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 phtpc01 18547 . . . . . 6  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  ->  ( ( F `  0 )  =  ( H ` 
0 )  /\  ( F `  1 )  =  ( H ` 
1 ) ) )
141, 13syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( H `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( H `  1 ) ) )
1514simprd 449 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
16 phtpc01 18547 . . . . . 6  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  ->  ( ( G `  0 )  =  ( K ` 
0 )  /\  ( G `  1 )  =  ( K ` 
1 ) ) )
175, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
0 )  =  ( K `  0 )  /\  ( G ` 
1 )  =  ( K `  1 ) ) )
1817simpld 445 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( K `
 0 ) )
199, 15, 183eqtr3d 2356 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( K `
 0 ) )
2011, 12, 19pcocn 18568 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( *p
`  J ) K )  e.  ( II 
Cn  J ) )
213simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) )
22 n0 3498 . . . . 5  |-  ( ( F ( PHtpy `  J
) H )  =/=  (/) 
<->  E. m  m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
2321, 22sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. m  m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
247simp3d 969 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) )
25 n0 3498 . . . . 5  |-  ( ( G ( PHtpy `  J
) K )  =/=  (/) 
<->  E. n  n  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
2624, 25sylib 188 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. n  n  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
27 eeanv 1885 . . . 4  |-  ( E. m E. n ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )  <->  ( E. m  m  e.  ( F
( PHtpy `  J ) H )  /\  E. n  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )
2823, 26, 27sylanbrc 645 . . 3  |-  ( ph  ->  E. m E. n
( m  e.  ( F ( PHtpy `  J
) H )  /\  n  e.  ( G
( PHtpy `  J ) K ) ) )
299adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  ( F `  1 )  =  ( G `  0
) )
301adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  F (  ~=ph  `  J ) H )
315adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  G (  ~=ph  `  J ) K )
32 eqid 2316 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) n y ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) n y ) ) )
33 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  m  e.  ( F ( PHtpy `  J
) H ) )
34 simprr 733 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) )
3529, 30, 31, 32, 33, 34pcohtpylem 18570 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
) ,  y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) n y ) ) )  e.  ( ( F ( *p `  J
) G ) (
PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J ) K ) ) )
36 ne0i 3495 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) m y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) n y ) ) )  e.  ( ( F ( *p
`  J ) G ) ( PHtpy `  J
) ( H ( *p `  J ) K ) )  -> 
( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J
) K ) )  =/=  (/) )
3735, 36syl 15 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) ) )  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) )  =/=  (/) )
3837ex 423 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) )  ->  ( ( F ( *p `  J
) G ) (
PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J ) K ) )  =/=  (/) ) )
3938exlimdvv 1628 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. m E. n ( m  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H )  /\  n  e.  ( G ( PHtpy `  J
) K ) )  ->  ( ( F ( *p `  J
) G ) (
PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J ) K ) )  =/=  (/) ) )
4028, 39mpd 14 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J ) ( H ( *p `  J
) K ) )  =/=  (/) )
41 isphtpc 18545 . 2  |-  ( ( F ( *p `  J ) G ) (  ~=ph  `  J ) ( H ( *p
`  J ) K )  <->  ( ( F ( *p `  J
) G )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( H
( *p `  J
) K )  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) )  =/=  (/) ) )
4210, 20, 40, 41syl3anbrc 1136 1  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G ) (  ~=ph  `  J
) ( H ( *p `  J ) K ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1532    = wceq 1633    e. wcel 1701    =/= wne 2479   (/)c0 3489   ifcif 3599   class class class wbr 4060   ` cfv 5292  (class class class)co 5900    e. cmpt2 5902   0cc0 8782   1c1 8783    x. cmul 8787    <_ cle 8913    - cmin 9082    / cdiv 9468   2c2 9840   [,]cicc 10706    Cn ccn 17010   IIcii 18431   PHtpycphtpy 18519    ~=ph cphtpc 18520   *pcpco 18551
This theorem is referenced by:  pcophtb  18580  pi1cpbl  18595  pi1xfrf  18604  pi1xfr  18606  pi1xfrcnvlem  18607
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1537  ax-5 1548  ax-17 1607  ax-9 1645  ax-8 1666  ax-13 1703  ax-14 1705  ax-6 1720  ax-7 1725  ax-11 1732  ax-12 1897  ax-ext 2297  ax-rep 4168  ax-sep 4178  ax-nul 4186  ax-pow 4225  ax-pr 4251  ax-un 4549  ax-inf2 7387  ax-cnex 8838  ax-resscn 8839  ax-1cn 8840  ax-icn 8841  ax-addcl 8842  ax-addrcl 8843  ax-mulcl 8844  ax-mulrcl 8845  ax-mulcom 8846  ax-addass 8847  ax-mulass 8848  ax-distr 8849  ax-i2m1 8850  ax-1ne0 8851  ax-1rid 8852  ax-rnegex 8853  ax-rrecex 8854  ax-cnre 8855  ax-pre-lttri 8856  ax-pre-lttrn 8857  ax-pre-ltadd 8858  ax-pre-mulgt0 8859  ax-pre-sup 8860  ax-mulf 8862
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1533  df-nf 1536  df-sb 1640  df-eu 2180  df-mo 2181  df-clab 2303  df-cleq 2309  df-clel 2312  df-nfc 2441  df-ne 2481  df-nel 2482  df-ral 2582  df-rex 2583  df-reu 2584  df-rmo 2585  df-rab 2586  df-v 2824  df-sbc 3026  df-csb 3116  df-dif 3189  df-un 3191  df-in 3193  df-ss 3200  df-pss 3202  df-nul 3490  df-if 3600  df-pw 3661  df-sn 3680  df-pr 3681  df-tp 3682  df-op 3683  df-uni 3865  df-int 3900  df-iun 3944  df-iin 3945  df-br 4061  df-opab 4115  df-mpt 4116  df-tr 4151  df-eprel 4342  df-id 4346  df-po 4351  df-so 4352  df-fr 4389  df-se 4390  df-we 4391  df-ord 4432  df-on 4433  df-lim 4434  df-suc 4435  df-om 4694  df-xp 4732  df-rel 4733  df-cnv 4734  df-co 4735  df-dm 4736  df-rn 4737  df-res 4738  df-ima 4739  df-iota 5256  df-fun 5294  df-fn 5295  df-f 5296  df-f1 5297  df-fo 5298  df-f1o 5299  df-fv 5300  df-isom 5301  df-ov 5903  df-oprab 5904  df-mpt2 5905  df-of 6120  df-1st 6164  df-2nd 6165  df-riota 6346  df-recs 6430  df-rdg 6465  df-1o 6521  df-2o 6522  df-oadd 6525  df-er 6702  df-map 6817  df-ixp 6861  df-en 6907  df-dom 6908  df-sdom 6909  df-fin 6910  df-fi 7210  df-sup 7239  df-oi 7270  df-card 7617  df-cda 7839  df-pnf 8914  df-mnf 8915  df-xr 8916  df-ltxr 8917  df-le 8918  df-sub 9084  df-neg 9085  df-div 9469  df-nn 9792  df-2 9849  df-3 9850  df-4 9851  df-5 9852  df-6 9853  df-7 9854  df-8 9855  df-9 9856  df-10 9857  df-n0 10013  df-z 10072  df-dec 10172  df-uz 10278  df-q 10364  df-rp 10402  df-xneg 10499  df-xadd 10500  df-xmul 10501  df-ioo 10707  df-icc 10710  df-fz 10830  df-fzo 10918  df-seq 11094  df-exp 11152  df-hash 11385  df-cj 11631  df-re 11632  df-im 11633  df-sqr 11767  df-abs 11768  df-struct 13197  df-ndx 13198  df-slot 13199  df-base 13200  df-sets 13201  df-ress 13202  df-plusg 13268  df-mulr 13269  df-starv 13270  df-sca 13271  df-vsca 13272  df-tset 13274  df-ple 13275  df-ds 13277  df-unif 13278  df-hom 13279  df-cco 13280  df-rest 13376  df-topn 13377  df-topgen 13393  df-pt 13394  df-prds 13397  df-xrs 13452  df-0g 13453  df-gsum 13454  df-qtop 13459  df-imas 13460  df-xps 13462  df-mre 13537  df-mrc 13538  df-acs 13540  df-mnd 14416  df-submnd 14465  df-mulg 14541  df-cntz 14842  df-cmn 15140  df-xmet 16425  df-met 16426  df-bl 16427  df-mopn 16428  df-cnfld 16433  df-top 16692  df-bases 16694  df-topon 16695  df-topsp 16696  df-cld 16812  df-cn 17013  df-cnp 17014  df-tx 17313  df-hmeo 17502  df-xms 17937  df-ms 17938  df-tms 17939  df-ii 18433  df-htpy 18521  df-phtpy 18522  df-phtpc 18543  df-pco 18556
  Copyright terms: Public domain W3C validator