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Theorem pcohtpylem 19046
Description: Lemma for pcohtpy 19047. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
pcohtpy.5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
pcohtpy.6  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
pcohtpylem.7  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )
pcohtpylem.8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
pcohtpylem.9  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, F    x, M, y    x, N, y    ph, x, y   
x, G, y    x, H, y    x, J, y   
x, K, y
Allowed substitution hints:    P( x, y)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables  s 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5  |-  ( ph  ->  F (  ~=ph  `  J
) H )
2 isphtpc 19021 . . . . 5  |-  ( F (  ~=ph  `  J ) H  <->  ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  H  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F
( PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
31, 2sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  H  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F (
PHtpy `  J ) H )  =/=  (/) ) )
43simp1d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  F  e.  ( II 
Cn  J ) )
5 pcohtpy.6 . . . . 5  |-  ( ph  ->  G (  ~=ph  `  J
) K )
6 isphtpc 19021 . . . . 5  |-  ( G (  ~=ph  `  J ) K  <->  ( G  e.  ( II  Cn  J
)  /\  K  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( G
( PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
75, 6sylib 190 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G  e.  ( II  Cn  J )  /\  K  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( G (
PHtpy `  J ) K )  =/=  (/) ) )
87simp1d 970 . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  ( II 
Cn  J ) )
9 pcohtpy.4 . . 3  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
104, 8, 9pcocn 19044 . 2  |-  ( ph  ->  ( F ( *p
`  J ) G )  e.  ( II 
Cn  J ) )
113simp2d 971 . . 3  |-  ( ph  ->  H  e.  ( II 
Cn  J ) )
127simp2d 971 . . 3  |-  ( ph  ->  K  e.  ( II 
Cn  J ) )
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( PHtpy `  J ) H ) )
144, 11, 13phtpy01 19012 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( F ` 
0 )  =  ( H `  0 )  /\  ( F ` 
1 )  =  ( H `  1 ) ) )
1514simprd 451 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( F `  1
)  =  ( H `
 1 ) )
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( PHtpy `  J ) K ) )
178, 12, 16phtpy01 19012 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( G ` 
0 )  =  ( K `  0 )  /\  ( G ` 
1 )  =  ( K `  1 ) ) )
1817simpld 447 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( G `  0
)  =  ( K `
 0 ) )
199, 15, 183eqtr3d 2478 . . 3  |-  ( ph  ->  ( H `  1
)  =  ( K `
 0 ) )
2011, 12, 19pcocn 19044 . 2  |-  ( ph  ->  ( H ( *p
`  J ) K )  e.  ( II 
Cn  J ) )
21 pcohtpylem.7 . . 3  |-  P  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )
22 eqid 2438 . . . 4  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
23 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
24 eqid 2438 . . . 4  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
25 dfii2 18914 . . . 4  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
26 0re 9093 . . . . 5  |-  0  e.  RR
2726a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
28 1re 9092 . . . . 5  |-  1  e.  RR
2928a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3028rehalfcli 10218 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
31 halfgt0 10190 . . . . . . 7  |-  0  <  ( 1  /  2
)
3226, 30, 31ltleii 9198 . . . . . 6  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
33 halflt1 10191 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <  1
3430, 28, 33ltleii 9198 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
3526, 28elicc2i 10978 . . . . . 6  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
3630, 32, 34, 35mpbir3an 1137 . . . . 5  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
3736a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
38 iitopon 18911 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1
) ) )
409adantr 453 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( F `  1
)  =  ( G `
 0 ) )
414, 11, 13phtpyi 19011 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 M y )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 M y )  =  ( F `
 1 ) ) )
4241simprd 451 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 M y )  =  ( F ` 
1 ) )
4342adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1 M y )  =  ( F `
 1 ) )
448, 12, 16phtpyi 19011 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 N y )  =  ( G `
 0 )  /\  ( 1 N y )  =  ( G `
 1 ) ) )
4544simpld 447 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 N y )  =  ( G ` 
0 ) )
4645adantrl 698 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 0 N y )  =  ( G `
 0 ) )
4740, 43, 463eqtr4d 2480 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 1 M y )  =  ( 0 N y ) )
48 simprl 734 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  ->  x  =  ( 1  /  2 ) )
4948oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
50 2cn 10072 . . . . . . . 8  |-  2  e.  CC
51 2ne0 10085 . . . . . . . 8  |-  2  =/=  0
5250, 51recidi 9747 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
5349, 52syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  x
)  =  1 )
5453oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( 1 M y ) )
5553oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
56 1m1e0 10070 . . . . . . 7  |-  ( 1  -  1 )  =  0
5755, 56syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x )  -  1 )  =  0 )
5857oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y )  =  ( 0 N y ) )
5947, 54, 583eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  ( x  =  ( 1  / 
2 )  /\  y  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )
60 retopon 18799 . . . . . . 7  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
61 iccssre 10994 . . . . . . . 8  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
6226, 30, 61mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
63 resttopon 17227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6460, 62, 63mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
6665, 39cnmpt1st 17702 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
6723iihalf1cn 18959 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  z ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
6867a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  z
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
69 oveq2 6091 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
2  x.  z )  =  ( 2  x.  x ) )
7065, 39, 66, 65, 68, 69cnmpt21 17705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
7165, 39cnmpt2nd 17703 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
724, 11phtpycn 19010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H ) 
C_  ( ( II 
tX  II )  Cn  J ) )
7372, 13sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  M  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
7465, 39, 70, 71, 73cnmpt22f 17709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x ) M y ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  J
) )
75 iccssre 10994 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
7630, 28, 75mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
77 resttopon 17227 . . . . . . 7  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
7860, 76, 77mp2an 655 . . . . . 6  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
7978a1i 11 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
8079, 39cnmpt1st 17702 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
8124iihalf2cn 18961 . . . . . . 7  |-  ( z  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  z )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
8281a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  z )  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
8369oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( z  =  x  ->  (
( 2  x.  z
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
8479, 39, 80, 79, 82, 83cnmpt21 17705 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
8579, 39cnmpt2nd 17703 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
868, 12phtpycn 19010 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K ) 
C_  ( ( II 
tX  II )  Cn  J ) )
8786, 16sseldd 3351 . . . . 5  |-  ( ph  ->  N  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
8879, 39, 84, 85, 87cnmpt22f 17709 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  J
) )
8922, 23, 24, 25, 27, 29, 37, 39, 59, 74, 88cnmpt2pc 18955 . . 3  |-  ( ph  ->  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  y  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J
) )
9021, 89syl5eqel 2522 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  J ) )
91 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  ph )
92 elii1 18962 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( s  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  s  <_  ( 1  /  2 ) ) )
93 iihalf1 18958 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9492, 93sylbir 206 . . . . . . . 8  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  s
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9594adantll 696 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
964, 11phtpyhtpy 19009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( F ( PHtpy `  J ) H ) 
C_  ( F ( II Htpy  J ) H ) )
9796, 13sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  M  e.  ( F ( II Htpy  J ) H ) )
9839, 4, 11, 97htpyi 19001 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( 2  x.  s )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( 2  x.  s ) M 0 )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) )  /\  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) ) )
9991, 95, 98syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( ( 2  x.  s ) M 0 )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) )  /\  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) ) )
10099simpld 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  s
) M 0 )  =  ( F `  ( 2  x.  s
) ) )
101 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) )
102101adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) )
103 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) ) )
104103adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( 2  x.  s ) ) )
105100, 102, 1043eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
106 simpll 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  ph )
107 elii2 18963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  s  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  s  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
108107adantll 696 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )
109 iihalf2 18960 . . . . . . . 8  |-  ( s  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  s
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
110108, 109syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( 2  x.  s )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1118, 12phtpyhtpy 19009 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( G ( PHtpy `  J ) K ) 
C_  ( G ( II Htpy  J ) K ) )
112111, 16sseldd 3351 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  ( G ( II Htpy  J ) K ) )
11339, 8, 12, 112htpyi 19001 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( (
2  x.  s )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) )  /\  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
114106, 110, 113syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 )  =  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) )  /\  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 )  =  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
115114simpld 447 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
116 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )
117116adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )
118 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
119118adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
120115, 117, 1193eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
121105, 120pm2.61dan 768 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  s ) ) ,  ( G `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
122 simpr 449 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  s  e.  ( 0 [,] 1
) )
123 0elunit 11017 . . . 4  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
124 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  x  =  s )
125124breq1d 4224 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  s  <_  (
1  /  2 ) ) )
126124oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
127 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  y  =  0 )
128126, 127oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( 2  x.  s
) M 0 ) )
129126oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )
130129, 127oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) )
131125, 128, 130ifbieq12d 3763 . . . . 5  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  0 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  if ( s  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 0 ) ) )
132 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  s ) M 0 )  e. 
_V
133 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 )  e. 
_V
134132, 133ifex 3799 . . . . 5  |-  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 0 ) )  e.  _V
135131, 21, 134ovmpt2a 6206 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  0  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s P 0 )  =  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) ) )
136122, 123, 135sylancl 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 0 )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  s
) M 0 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 0 ) ) )
1374, 8pcovalg 19039 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  s )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  s ) ) ,  ( G `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
138121, 136, 1373eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 0 )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) `  s ) )
13999simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  (
( 2  x.  s
) M 1 )  =  ( H `  ( 2  x.  s
) ) )
140 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) )
141140adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) )
142 iftrue 3747 . . . . . 6  |-  ( s  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) )
143142adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( H `
 ( 2  x.  s ) ) )
144139, 141, 1433eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  s  <_  ( 1  /  2
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
145114simprd 451 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
146 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )
147146adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )
148 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  s  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
149148adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s
) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) )  =  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) )
150145, 147, 1493eqtr4d 2480 . . . 4  |-  ( ( ( ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  s  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
151144, 150pm2.61dan 768 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )  =  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( H `  (
2  x.  s ) ) ,  ( K `
 ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) ) ) )
152 1elunit 11018 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
153 simpl 445 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  x  =  s )
154153breq1d 4224 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  s  <_  (
1  /  2 ) ) )
155153oveq2d 6099 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  s ) )
156 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  y  =  1 )
157155, 156oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( ( 2  x.  s
) M 1 ) )
158155oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) )
159158, 156oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) )
160154, 157, 159ifbieq12d 3763 . . . . 5  |-  ( ( x  =  s  /\  y  =  1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  if ( s  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  - 
1 ) N 1 ) ) )
161 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( ( 2  x.  s ) M 1 )  e. 
_V
162 ovex 6108 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 )  e. 
_V
163161, 162ifex 3799 . . . . 5  |-  if ( s  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s
)  -  1 ) N 1 ) )  e.  _V
164160, 21, 163ovmpt2a 6206 . . . 4  |-  ( ( s  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( s P 1 )  =  if ( s  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  s ) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) ) )
165122, 152, 164sylancl 645 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 1 )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  s
) M 1 ) ,  ( ( ( 2  x.  s )  -  1 ) N 1 ) ) )
16611, 12pcovalg 19039 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( H ( *p
`  J ) K ) `  s )  =  if ( s  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( H `  ( 2  x.  s ) ) ,  ( K `  ( ( 2  x.  s )  -  1 ) ) ) )
167151, 165, 1663eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
s P 1 )  =  ( ( H ( *p `  J
) K ) `  s ) )
1684, 11, 13phtpyi 19011 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 M s )  =  ( F `
 0 )  /\  ( 1 M s )  =  ( F `
 1 ) ) )
169168simpld 447 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 M s )  =  ( F ` 
0 ) )
170 simpl 445 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  x  =  0 )
171170, 32syl6eqbr 4251 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  x  <_  (
1  /  2 ) )
172 iftrue 3747 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )  =  ( ( 2  x.  x ) M y ) )
173171, 172syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( 2  x.  x ) M y ) )
174170oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
17550mul01i 9258 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
176174, 175syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  0 )
177 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  y  =  s )
178176, 177oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x ) M y )  =  ( 0 M s ) )
179173, 178eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( x  =  0  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( 0 M s ) )
180 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( 0 M s )  e. 
_V
181179, 21, 180ovmpt2a 6206 . . . 4  |-  ( ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 0 P s )  =  ( 0 M s ) )
182123, 122, 181sylancr 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 P s )  =  ( 0 M s ) )
1834, 8pco0 19041 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  0
)  =  ( F `
 0 ) )
184183adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  0 )  =  ( F ` 
0 ) )
185169, 182, 1843eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
0 P s )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) ` 
0 ) )
1868, 12, 16phtpyi 19011 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( 0 N s )  =  ( G `
 0 )  /\  ( 1 N s )  =  ( G `
 1 ) ) )
187186simprd 451 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 N s )  =  ( G ` 
1 ) )
18830, 28ltnlei 9196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
18933, 188mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
190 simpl 445 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  x  =  1 )
191190breq1d 4224 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( x  <_ 
( 1  /  2
)  <->  1  <_  (
1  /  2 ) ) )
192189, 191mtbiri 296 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )
193 iffalse 3748 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( ( 2  x.  x ) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) N y ) )
194192, 193syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) N y ) )
195190oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
19650mulid1i 9094 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
197195, 196syl6eq 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( 2  x.  x )  =  2 )
198197oveq1d 6098 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  ( 2  -  1 ) )
199 2m1e1 10097 . . . . . . . 8  |-  ( 2  -  1 )  =  1
200198, 199syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  =  1 )
201 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  y  =  s )
202200, 201oveq12d 6101 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y )  =  ( 1 N s ) )
203194, 202eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( ( x  =  1  /\  y  =  s )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( ( 2  x.  x
) M y ) ,  ( ( ( 2  x.  x )  -  1 ) N y ) )  =  ( 1 N s ) )
204 ovex 6108 . . . . 5  |-  ( 1 N s )  e. 
_V
205203, 21, 204ovmpt2a 6206 . . . 4  |-  ( ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  s  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( 1 P s )  =  ( 1 N s ) )
206152, 122, 205sylancr 646 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 P s )  =  ( 1 N s ) )
2074, 8pco1 19042 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( F ( *p `  J ) G ) `  1
)  =  ( G `
 1 ) )
208207adantr 453 . . 3  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
( F ( *p
`  J ) G ) `  1 )  =  ( G ` 
1 ) )
209187, 206, 2083eqtr4d 2480 . 2  |-  ( (
ph  /\  s  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
1 P s )  =  ( ( F ( *p `  J
) G ) ` 
1 ) )
21010, 20, 90, 138, 167, 185, 209isphtpy2d 19014 1  |-  ( ph  ->  P  e.  ( ( F ( *p `  J ) G ) ( PHtpy `  J )
( H ( *p
`  J ) K ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ifcif 3741   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268   ran crn 4881   ` cfv 5456  (class class class)co 6083    e. cmpt2 6085   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   2c2 10051   (,)cioo 10918   [,]cicc 10921   ↾t crest 13650   topGenctg 13667  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290    tX ctx 17594   IIcii 18907   Htpy chtpy 18994   PHtpycphtpy 18995    ~=ph cphtpc 18996   *pcpco 19027
This theorem is referenced by:  pcohtpy  19047
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-ii 18909  df-htpy 18997  df-phtpy 18998  df-phtpc 19019  df-pco 19032
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