Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Unicode version

Theorem pcohtpylem 18533
 Description: Lemma for pcohtpy 18534. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4
pcohtpy.5
pcohtpy.6
pcohtpylem.7
pcohtpylem.8
pcohtpylem.9
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5
2 isphtpc 18508 . . . . 5
31, 2sylib 188 . . . 4
43simp1d 967 . . 3
5 pcohtpy.6 . . . . 5
6 isphtpc 18508 . . . . 5
75, 6sylib 188 . . . 4
87simp1d 967 . . 3
9 pcohtpy.4 . . 3
104, 8, 9pcocn 18531 . 2
113simp2d 968 . . 3
127simp2d 968 . . 3
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6
144, 11, 13phtpy01 18499 . . . . 5
1514simprd 449 . . . 4
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6
178, 12, 16phtpy01 18499 . . . . 5
1817simpld 445 . . . 4
199, 15, 183eqtr3d 2336 . . 3
2011, 12, 19pcocn 18531 . 2
21 pcohtpylem.7 . . 3
22 eqid 2296 . . . 4
23 eqid 2296 . . . 4 t t
24 eqid 2296 . . . 4 t t
25 dfii2 18402 . . . 4 t
26 0re 8854 . . . . 5
2726a1i 10 . . . 4
28 1re 8853 . . . . 5
2928a1i 10 . . . 4
30 rehalfcl 9954 . . . . . . 7
3128, 30ax-mp 8 . . . . . 6
32 halfgt0 9948 . . . . . . 7
3326, 31, 32ltleii 8957 . . . . . 6
34 halflt1 9949 . . . . . . 7
3531, 28, 34ltleii 8957 . . . . . 6
3626, 28elicc2i 10732 . . . . . 6
3731, 33, 35, 36mpbir3an 1134 . . . . 5
3837a1i 10 . . . 4
39 iitopon 18399 . . . . 5 TopOn
4039a1i 10 . . . 4 TopOn
419adantr 451 . . . . . 6
424, 11, 13phtpyi 18498 . . . . . . . 8
4342simprd 449 . . . . . . 7
4443adantrl 696 . . . . . 6
458, 12, 16phtpyi 18498 . . . . . . . 8
4645simpld 445 . . . . . . 7
4746adantrl 696 . . . . . 6
4841, 44, 473eqtr4d 2338 . . . . 5
49 simprl 732 . . . . . . . 8
5049oveq2d 5890 . . . . . . 7
51 2cn 9832 . . . . . . . 8
52 2ne0 9845 . . . . . . . 8
5351, 52recidi 9507 . . . . . . 7
5450, 53syl6eq 2344 . . . . . 6
5554oveq1d 5889 . . . . 5
5654oveq1d 5889 . . . . . . 7
57 1m1e0 9830 . . . . . . 7
5856, 57syl6eq 2344 . . . . . 6
5958oveq1d 5889 . . . . 5
6048, 55, 593eqtr4d 2338 . . . 4
61 retopon 18288 . . . . . . 7 TopOn
62 iccssre 10747 . . . . . . . 8
6326, 31, 62mp2an 653 . . . . . . 7
64 resttopon 16908 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
6561, 63, 64mp2an 653 . . . . . 6 t TopOn
6665a1i 10 . . . . 5 t TopOn
6766, 40cnmpt1st 17378 . . . . . 6 t t
6823iihalf1cn 18446 . . . . . . 7 t
6968a1i 10 . . . . . 6 t
70 oveq2 5882 . . . . . 6
7166, 40, 67, 66, 69, 70cnmpt21 17381 . . . . 5 t
7266, 40cnmpt2nd 17379 . . . . 5 t
734, 11phtpycn 18497 . . . . . 6
7473, 13sseldd 3194 . . . . 5
7566, 40, 71, 72, 74cnmpt22f 17385 . . . 4 t
76 iccssre 10747 . . . . . . . 8
7731, 28, 76mp2an 653 . . . . . . 7
78 resttopon 16908 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
7961, 77, 78mp2an 653 . . . . . 6 t TopOn
8079a1i 10 . . . . 5 t TopOn
8180, 40cnmpt1st 17378 . . . . . 6 t t
8224iihalf2cn 18448 . . . . . . 7 t
8382a1i 10 . . . . . 6 t
8470oveq1d 5889 . . . . . 6
8580, 40, 81, 80, 83, 84cnmpt21 17381 . . . . 5 t
8680, 40cnmpt2nd 17379 . . . . 5 t
878, 12phtpycn 18497 . . . . . 6
8887, 16sseldd 3194 . . . . 5
8980, 40, 85, 86, 88cnmpt22f 17385 . . . 4 t
9022, 23, 24, 25, 27, 29, 38, 40, 60, 75, 89cnmpt2pc 18442 . . 3
9121, 90syl5eqel 2380 . 2
92 simpll 730 . . . . . . 7
93 elii1 18449 . . . . . . . . 9
94 iihalf1 18445 . . . . . . . . 9
9593, 94sylbir 204 . . . . . . . 8
9695adantll 694 . . . . . . 7
974, 11phtpyhtpy 18496 . . . . . . . . 9 Htpy
9897, 13sseldd 3194 . . . . . . . 8 Htpy
9940, 4, 11, 98htpyi 18488 . . . . . . 7
10092, 96, 99syl2anc 642 . . . . . 6
101100simpld 445 . . . . 5
102 iftrue 3584 . . . . . 6
103102adantl 452 . . . . 5
104 iftrue 3584 . . . . . 6
105104adantl 452 . . . . 5
106101, 103, 1053eqtr4d 2338 . . . 4
107 simpll 730 . . . . . . 7
108 elii2 18450 . . . . . . . . 9
109108adantll 694 . . . . . . . 8
110 iihalf2 18447 . . . . . . . 8
111109, 110syl 15 . . . . . . 7
1128, 12phtpyhtpy 18496 . . . . . . . . 9 Htpy
113112, 16sseldd 3194 . . . . . . . 8 Htpy
11440, 8, 12, 113htpyi 18488 . . . . . . 7
115107, 111, 114syl2anc 642 . . . . . 6
116115simpld 445 . . . . 5
117 iffalse 3585 . . . . . 6
118117adantl 452 . . . . 5
119 iffalse 3585 . . . . . 6
120119adantl 452 . . . . 5
121116, 118, 1203eqtr4d 2338 . . . 4
122106, 121pm2.61dan 766 . . 3
123 simpr 447 . . . 4
124 0elunit 10770 . . . 4
125 simpl 443 . . . . . . 7
126125breq1d 4049 . . . . . 6
127125oveq2d 5890 . . . . . . 7
128 simpr 447 . . . . . . 7
129127, 128oveq12d 5892 . . . . . 6
130127oveq1d 5889 . . . . . . 7
131130, 128oveq12d 5892 . . . . . 6
132126, 129, 131ifbieq12d 3600 . . . . 5
133 ovex 5899 . . . . . 6
134 ovex 5899 . . . . . 6
135133, 134ifex 3636 . . . . 5
136132, 21, 135ovmpt2a 5994 . . . 4
137123, 124, 136sylancl 643 . . 3
1384, 8pcovalg 18526 . . 3
139122, 137, 1383eqtr4d 2338 . 2
140100simprd 449 . . . . 5
141 iftrue 3584 . . . . . 6
142141adantl 452 . . . . 5
143 iftrue 3584 . . . . . 6
144143adantl 452 . . . . 5
145140, 142, 1443eqtr4d 2338 . . . 4
146115simprd 449 . . . . 5
147 iffalse 3585 . . . . . 6
148147adantl 452 . . . . 5
149 iffalse 3585 . . . . . 6
150149adantl 452 . . . . 5
151146, 148, 1503eqtr4d 2338 . . . 4
152145, 151pm2.61dan 766 . . 3
153 1elunit 10771 . . . 4
154 simpl 443 . . . . . . 7
155154breq1d 4049 . . . . . 6
156154oveq2d 5890 . . . . . . 7
157 simpr 447 . . . . . . 7
158156, 157oveq12d 5892 . . . . . 6
159156oveq1d 5889 . . . . . . 7
160159, 157oveq12d 5892 . . . . . 6
161155, 158, 160ifbieq12d 3600 . . . . 5
162 ovex 5899 . . . . . 6
163 ovex 5899 . . . . . 6
164162, 163ifex 3636 . . . . 5
165161, 21, 164ovmpt2a 5994 . . . 4
166123, 153, 165sylancl 643 . . 3
16711, 12pcovalg 18526 . . 3
168152, 166, 1673eqtr4d 2338 . 2
1694, 11, 13phtpyi 18498 . . . 4
170169simpld 445 . . 3
171 simpl 443 . . . . . . . 8
172171, 33syl6eqbr 4076 . . . . . . 7
173 iftrue 3584 . . . . . . 7
174172, 173syl 15 . . . . . 6
175171oveq2d 5890 . . . . . . . 8
17651mul01i 9018 . . . . . . . 8
177175, 176syl6eq 2344 . . . . . . 7
178 simpr 447 . . . . . . 7
179177, 178oveq12d 5892 . . . . . 6
180174, 179eqtrd 2328 . . . . 5
181 ovex 5899 . . . . 5
182180, 21, 181ovmpt2a 5994 . . . 4
183124, 123, 182sylancr 644 . . 3
1844, 8pco0 18528 . . . 4
185184adantr 451 . . 3
186170, 183, 1853eqtr4d 2338 . 2
1878, 12, 16phtpyi 18498 . . . 4
188187simprd 449 . . 3
18931, 28ltnlei 8955 . . . . . . . . 9
19034, 189mpbi 199 . . . . . . . 8
191 simpl 443 . . . . . . . . 9
192191breq1d 4049 . . . . . . . 8
193190, 192mtbiri 294 . . . . . . 7
194 iffalse 3585 . . . . . . 7
195193, 194syl 15 . . . . . 6
196191oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10
19751mulid1i 8855 . . . . . . . . . 10
198196, 197syl6eq 2344 . . . . . . . . 9
199198oveq1d 5889 . . . . . . . 8
200 ax-1cn 8811 . . . . . . . . 9
201 1p1e2 9856 . . . . . . . . 9
20251, 200, 200, 201subaddrii 9151 . . . . . . . 8
203199, 202syl6eq 2344 . . . . . . 7
204 simpr 447 . . . . . . 7
205203, 204oveq12d 5892 . . . . . 6
206195, 205eqtrd 2328 . . . . 5
207 ovex 5899 . . . . 5
208206, 21, 207ovmpt2a 5994 . . . 4
209153, 123, 208sylancr 644 . . 3
2104, 8pco1 18529 . . . 4
211210adantr 451 . . 3
212188, 209, 2113eqtr4d 2338 . 2
21310, 20, 91, 139, 168, 186, 212isphtpy2d 18501 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 358   w3a 934   wceq 1632   wcel 1696   wne 2459   wss 3165  c0 3468  cif 3578   class class class wbr 4039   cmpt 4093   crn 4706  cfv 5271  (class class class)co 5874   cmpt2 5876  cr 8752  cc0 8753  c1 8754   cmul 8758   clt 8883   cle 8884   cmin 9053   cdiv 9439  c2 9811  cioo 10672  cicc 10675   ↾t crest 13341  ctg 13358  TopOnctopon 16648   ccn 16970   ctx 17271  cii 18395   Htpy chtpy 18481  cphtpy 18482   cphtpc 18483  cpco 18514 This theorem is referenced by:  pcohtpy  18534 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-mulf 8833 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-pco 18519
 Copyright terms: Public domain W3C validator