Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  pcohtpylem Structured version   Unicode version

Theorem pcohtpylem 19046
 Description: Lemma for pcohtpy 19047. (Contributed by Jeff Madsen, 15-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 24-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
pcohtpy.4
pcohtpy.5
pcohtpy.6
pcohtpylem.7
pcohtpylem.8
pcohtpylem.9
Assertion
Ref Expression
pcohtpylem
Distinct variable groups:   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem pcohtpylem
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcohtpy.5 . . . . 5
2 isphtpc 19021 . . . . 5
31, 2sylib 190 . . . 4
43simp1d 970 . . 3
5 pcohtpy.6 . . . . 5
6 isphtpc 19021 . . . . 5
75, 6sylib 190 . . . 4
87simp1d 970 . . 3
9 pcohtpy.4 . . 3
104, 8, 9pcocn 19044 . 2
113simp2d 971 . . 3
127simp2d 971 . . 3
13 pcohtpylem.8 . . . . . 6
144, 11, 13phtpy01 19012 . . . . 5
1514simprd 451 . . . 4
16 pcohtpylem.9 . . . . . 6
178, 12, 16phtpy01 19012 . . . . 5
1817simpld 447 . . . 4
199, 15, 183eqtr3d 2478 . . 3
2011, 12, 19pcocn 19044 . 2
21 pcohtpylem.7 . . 3
22 eqid 2438 . . . 4
23 eqid 2438 . . . 4 t t
24 eqid 2438 . . . 4 t t
25 dfii2 18914 . . . 4 t
26 0re 9093 . . . . 5
2726a1i 11 . . . 4
28 1re 9092 . . . . 5
2928a1i 11 . . . 4
3028rehalfcli 10218 . . . . . 6
31 halfgt0 10190 . . . . . . 7
3226, 30, 31ltleii 9198 . . . . . 6
33 halflt1 10191 . . . . . . 7
3430, 28, 33ltleii 9198 . . . . . 6
3526, 28elicc2i 10978 . . . . . 6
3630, 32, 34, 35mpbir3an 1137 . . . . 5
3736a1i 11 . . . 4
38 iitopon 18911 . . . . 5 TopOn
3938a1i 11 . . . 4 TopOn
409adantr 453 . . . . . 6
414, 11, 13phtpyi 19011 . . . . . . . 8
4241simprd 451 . . . . . . 7
4342adantrl 698 . . . . . 6
448, 12, 16phtpyi 19011 . . . . . . . 8
4544simpld 447 . . . . . . 7
4645adantrl 698 . . . . . 6
4740, 43, 463eqtr4d 2480 . . . . 5
48 simprl 734 . . . . . . . 8
4948oveq2d 6099 . . . . . . 7
50 2cn 10072 . . . . . . . 8
51 2ne0 10085 . . . . . . . 8
5250, 51recidi 9747 . . . . . . 7
5349, 52syl6eq 2486 . . . . . 6
5453oveq1d 6098 . . . . 5
5553oveq1d 6098 . . . . . . 7
56 1m1e0 10070 . . . . . . 7
5755, 56syl6eq 2486 . . . . . 6
5857oveq1d 6098 . . . . 5
5947, 54, 583eqtr4d 2480 . . . 4
60 retopon 18799 . . . . . . 7 TopOn
61 iccssre 10994 . . . . . . . 8
6226, 30, 61mp2an 655 . . . . . . 7
63 resttopon 17227 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
6460, 62, 63mp2an 655 . . . . . 6 t TopOn
6564a1i 11 . . . . 5 t TopOn
6665, 39cnmpt1st 17702 . . . . . 6 t t
6723iihalf1cn 18959 . . . . . . 7 t
6867a1i 11 . . . . . 6 t
69 oveq2 6091 . . . . . 6
7065, 39, 66, 65, 68, 69cnmpt21 17705 . . . . 5 t
7165, 39cnmpt2nd 17703 . . . . 5 t
724, 11phtpycn 19010 . . . . . 6
7372, 13sseldd 3351 . . . . 5
7465, 39, 70, 71, 73cnmpt22f 17709 . . . 4 t
75 iccssre 10994 . . . . . . . 8
7630, 28, 75mp2an 655 . . . . . . 7
77 resttopon 17227 . . . . . . 7 TopOn t TopOn
7860, 76, 77mp2an 655 . . . . . 6 t TopOn
7978a1i 11 . . . . 5 t TopOn
8079, 39cnmpt1st 17702 . . . . . 6 t t
8124iihalf2cn 18961 . . . . . . 7 t
8281a1i 11 . . . . . 6 t
8369oveq1d 6098 . . . . . 6
8479, 39, 80, 79, 82, 83cnmpt21 17705 . . . . 5 t
8579, 39cnmpt2nd 17703 . . . . 5 t
868, 12phtpycn 19010 . . . . . 6
8786, 16sseldd 3351 . . . . 5
8879, 39, 84, 85, 87cnmpt22f 17709 . . . 4 t
8922, 23, 24, 25, 27, 29, 37, 39, 59, 74, 88cnmpt2pc 18955 . . 3
9021, 89syl5eqel 2522 . 2
91 simpll 732 . . . . . . 7
92 elii1 18962 . . . . . . . . 9
93 iihalf1 18958 . . . . . . . . 9
9492, 93sylbir 206 . . . . . . . 8
9594adantll 696 . . . . . . 7
964, 11phtpyhtpy 19009 . . . . . . . . 9 Htpy
9796, 13sseldd 3351 . . . . . . . 8 Htpy
9839, 4, 11, 97htpyi 19001 . . . . . . 7
9991, 95, 98syl2anc 644 . . . . . 6
10099simpld 447 . . . . 5
101 iftrue 3747 . . . . . 6
102101adantl 454 . . . . 5
103 iftrue 3747 . . . . . 6
104103adantl 454 . . . . 5
105100, 102, 1043eqtr4d 2480 . . . 4
106 simpll 732 . . . . . . 7
107 elii2 18963 . . . . . . . . 9
108107adantll 696 . . . . . . . 8
109 iihalf2 18960 . . . . . . . 8
110108, 109syl 16 . . . . . . 7
1118, 12phtpyhtpy 19009 . . . . . . . . 9 Htpy
112111, 16sseldd 3351 . . . . . . . 8 Htpy
11339, 8, 12, 112htpyi 19001 . . . . . . 7
114106, 110, 113syl2anc 644 . . . . . 6
115114simpld 447 . . . . 5
116 iffalse 3748 . . . . . 6
117116adantl 454 . . . . 5
118 iffalse 3748 . . . . . 6
119118adantl 454 . . . . 5
120115, 117, 1193eqtr4d 2480 . . . 4
121105, 120pm2.61dan 768 . . 3
122 simpr 449 . . . 4
123 0elunit 11017 . . . 4
124 simpl 445 . . . . . . 7
125124breq1d 4224 . . . . . 6
126124oveq2d 6099 . . . . . . 7
127 simpr 449 . . . . . . 7
128126, 127oveq12d 6101 . . . . . 6
129126oveq1d 6098 . . . . . . 7
130129, 127oveq12d 6101 . . . . . 6
131125, 128, 130ifbieq12d 3763 . . . . 5
132 ovex 6108 . . . . . 6
133 ovex 6108 . . . . . 6
134132, 133ifex 3799 . . . . 5
135131, 21, 134ovmpt2a 6206 . . . 4
136122, 123, 135sylancl 645 . . 3
1374, 8pcovalg 19039 . . 3
138121, 136, 1373eqtr4d 2480 . 2
13999simprd 451 . . . . 5
140 iftrue 3747 . . . . . 6
141140adantl 454 . . . . 5
142 iftrue 3747 . . . . . 6
143142adantl 454 . . . . 5
144139, 141, 1433eqtr4d 2480 . . . 4
145114simprd 451 . . . . 5
146 iffalse 3748 . . . . . 6
147146adantl 454 . . . . 5
148 iffalse 3748 . . . . . 6
149148adantl 454 . . . . 5
150145, 147, 1493eqtr4d 2480 . . . 4
151144, 150pm2.61dan 768 . . 3
152 1elunit 11018 . . . 4
153 simpl 445 . . . . . . 7
154153breq1d 4224 . . . . . 6
155153oveq2d 6099 . . . . . . 7
156 simpr 449 . . . . . . 7
157155, 156oveq12d 6101 . . . . . 6
158155oveq1d 6098 . . . . . . 7
159158, 156oveq12d 6101 . . . . . 6
160154, 157, 159ifbieq12d 3763 . . . . 5
161 ovex 6108 . . . . . 6
162 ovex 6108 . . . . . 6
163161, 162ifex 3799 . . . . 5
164160, 21, 163ovmpt2a 6206 . . . 4
165122, 152, 164sylancl 645 . . 3
16611, 12pcovalg 19039 . . 3
167151, 165, 1663eqtr4d 2480 . 2
1684, 11, 13phtpyi 19011 . . . 4
169168simpld 447 . . 3
170 simpl 445 . . . . . . . 8
171170, 32syl6eqbr 4251 . . . . . . 7
172 iftrue 3747 . . . . . . 7
173171, 172syl 16 . . . . . 6
174170oveq2d 6099 . . . . . . . 8
17550mul01i 9258 . . . . . . . 8
176174, 175syl6eq 2486 . . . . . . 7
177 simpr 449 . . . . . . 7
178176, 177oveq12d 6101 . . . . . 6
179173, 178eqtrd 2470 . . . . 5
180 ovex 6108 . . . . 5
181179, 21, 180ovmpt2a 6206 . . . 4
182123, 122, 181sylancr 646 . . 3
1834, 8pco0 19041 . . . 4
184183adantr 453 . . 3
185169, 182, 1843eqtr4d 2480 . 2
1868, 12, 16phtpyi 19011 . . . 4
187186simprd 451 . . 3
18830, 28ltnlei 9196 . . . . . . . . 9
18933, 188mpbi 201 . . . . . . . 8
190 simpl 445 . . . . . . . . 9
191190breq1d 4224 . . . . . . . 8
192189, 191mtbiri 296 . . . . . . 7
193 iffalse 3748 . . . . . . 7
194192, 193syl 16 . . . . . 6
195190oveq2d 6099 . . . . . . . . . 10
19650mulid1i 9094 . . . . . . . . . 10
197195, 196syl6eq 2486 . . . . . . . . 9
198197oveq1d 6098 . . . . . . . 8
199 2m1e1 10097 . . . . . . . 8
200198, 199syl6eq 2486 . . . . . . 7
201 simpr 449 . . . . . . 7
202200, 201oveq12d 6101 . . . . . 6
203194, 202eqtrd 2470 . . . . 5
204 ovex 6108 . . . . 5
205203, 21, 204ovmpt2a 6206 . . . 4
206152, 122, 205sylancr 646 . . 3
2074, 8pco1 19042 . . . 4
208207adantr 453 . . 3
209187, 206, 2083eqtr4d 2480 . 2
21010, 20, 90, 138, 167, 185, 209isphtpy2d 19014 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wa 360   w3a 937   wceq 1653   wcel 1726   wne 2601   wss 3322  c0 3630  cif 3741   class class class wbr 4214   cmpt 4268   crn 4881  cfv 5456  (class class class)co 6083   cmpt2 6085  cr 8991  cc0 8992  c1 8993   cmul 8997   clt 9122   cle 9123   cmin 9293   cdiv 9679  c2 10051  cioo 10918  cicc 10921   ↾t crest 13650  ctg 13667  TopOnctopon 16961   ccn 17290   ctx 17594  cii 18907   Htpy chtpy 18994  cphtpy 18995   cphtpc 18996  cpco 19027 This theorem is referenced by:  pcohtpy  19047 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-mulf 9072 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-ii 18909  df-htpy 18997  df-phtpy 18998  df-phtpc 19019  df-pco 19032
 Copyright terms: Public domain W3C validator