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Theorem pconcon 24923
Description: A path-connected space is connected. (Contributed by Mario Carneiro, 11-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
pconcon  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )

Proof of Theorem pconcon
Dummy variables  a 
b  f  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-3an 939 . . . 4  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  <->  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) ) )
2 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( x  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  x )
3 n0 3639 . . . . . . . 8  |-  ( y  =/=  (/)  <->  E. b  b  e.  y )
42, 3anbi12i 680 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b  b  e.  y ) )
5 eeanv 1938 . . . . . . 7  |-  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  <->  ( E. a  a  e.  x  /\  E. b 
b  e.  y ) )
64, 5bitr4i 245 . . . . . 6  |-  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  <->  E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y ) )
7 simpll 732 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  J  e. PCon )
8 simprll 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  x )
9 simplrl 738 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  x  e.  J )
10 elunii 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( a  e.  x  /\  x  e.  J )  ->  a  e.  U. J
)
118, 9, 10syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  a  e.  U. J )
12 simprlr 741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  y )
13 simplrr 739 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  y  e.  J )
14 elunii 4022 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( b  e.  y  /\  y  e.  J )  ->  b  e.  U. J
)
1512, 13, 14syl2anc 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  b  e.  U. J )
16 eqid 2438 . . . . . . . . . . 11  |-  U. J  =  U. J
1716pconcn 24916 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( J  e. PCon  /\  a  e.  U. J  /\  b  e.  U. J )  ->  E. f  e.  (
II  Cn  J )
( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) )
187, 11, 15, 17syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  E. f  e.  ( II  Cn  J
) ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )
19 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =  (/) )
20 simplrr 739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  1 )  =  b )
2120adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  =  b )
22 iiuni 18916 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
23 iicon 18922 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  II  e.  Con
2423a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  II  e.  Con )
25 simprll 740 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f  e.  ( II  Cn  J
) )
269adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  J )
27 uncom 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y  u.  x )  =  ( x  u.  y
)
28 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  u.  y )  =  U. J )
2927, 28syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  u.  x )  =  U. J )
3013adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  e.  J )
31 elssuni 4045 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  e.  J  ->  y  C_ 
U. J )
3230, 31syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  y  C_ 
U. J )
33 incom 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( y  i^i  x )  =  ( x  i^i  y
)
3433, 19syl5eq 2482 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
y  i^i  x )  =  (/) )
35 uneqdifeq 3718 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( y  C_  U. J  /\  ( y  i^i  x
)  =  (/) )  -> 
( ( y  u.  x )  =  U. J 
<->  ( U. J  \ 
y )  =  x ) )
3632, 34, 35syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
( y  u.  x
)  =  U. J  <->  ( U. J  \  y
)  =  x ) )
3729, 36mpbid 203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  =  x )
38 pcontop 24917 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Top )
3938ad3antrrr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  J  e.  Top )
4016opncld 17102 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( J  e.  Top  /\  y  e.  J )  ->  ( U. J  \ 
y )  e.  (
Clsd `  J )
)
4139, 30, 40syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  ( U. J  \  y
)  e.  ( Clsd `  J ) )
4237, 41eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  x  e.  ( Clsd `  J
) )
43 0elunit 11020 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
4443a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  0  e.  ( 0 [,] 1
) )
45 simplrl 738 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
)  ->  ( f `  0 )  =  a )
4645adantl 454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  =  a )
478adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  a  e.  x )
4846, 47eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  0 )  e.  x )
4922, 24, 25, 26, 42, 44, 48concn 17494 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  f : ( 0 [,] 1 ) --> x )
50 1elunit 11021 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
51 ffvelrn 5871 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : ( 0 [,] 1 ) --> x  /\  1  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( f `  1 )  e.  x )
5249, 50, 51sylancl 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
f `  1 )  e.  x )
5321, 52eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  x )
5412adantr 453 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  b  e.  y )
55 inelcm 3684 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( b  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( x  i^i  y
)  =/=  (/) )
5653, 54, 55syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  (
x  i^i  y )  =/=  (/) )
5719, 56pm2.21ddne 2680 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
( f  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( ( f `
 0 )  =  a  /\  ( f `
 1 )  =  b ) )  /\  ( x  u.  y
)  =  U. J
) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
5857expr 600 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( ( x  u.  y )  =  U. J  ->  -.  ( x  u.  y )  =  U. J ) )
5958pm2.01d 164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  ->  -.  ( x  u.  y
)  =  U. J
)
6059neneqad 2676 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  /\  (
f  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( ( f ` 
0 )  =  a  /\  ( f ` 
1 )  =  b ) ) )  -> 
( x  u.  y
)  =/=  U. J
)
6118, 60rexlimddv 2836 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e. PCon  /\  ( x  e.  J  /\  y  e.  J
) )  /\  (
( a  e.  x  /\  b  e.  y
)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) ) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J )
6261exp32 590 . . . . . . 7  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  ( ( x  i^i  y )  =  (/)  ->  ( x  u.  y
)  =/=  U. J
) ) )
6362exlimdvv 1648 . . . . . 6  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( E. a E. b ( a  e.  x  /\  b  e.  y )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
646, 63syl5bi 210 . . . . 5  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  ->  (
( x  i^i  y
)  =  (/)  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
6564imp3a 422 . . . 4  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/) )  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
661, 65syl5bi 210 . . 3  |-  ( ( J  e. PCon  /\  (
x  e.  J  /\  y  e.  J )
)  ->  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6766ralrimivva 2800 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) )
6816toptopon 17003 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
6938, 68sylib 190 . . 3  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
70 dfcon2 17487 . . 3  |-  ( J  e.  (TopOn `  U. J )  ->  ( J  e.  Con  <->  A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( (
x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  ( x  i^i  y )  =  (/) )  ->  ( x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7169, 70syl 16 . 2  |-  ( J  e. PCon  ->  ( J  e. 
Con 
<-> 
A. x  e.  J  A. y  e.  J  ( ( x  =/=  (/)  /\  y  =/=  (/)  /\  (
x  i^i  y )  =  (/) )  ->  (
x  u.  y )  =/=  U. J ) ) )
7267, 71mpbird 225 1  |-  ( J  e. PCon  ->  J  e.  Con )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 937   E.wex 1551    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   A.wral 2707   E.wrex 2708    \ cdif 3319    u. cun 3320    i^i cin 3321    C_ wss 3322   (/)c0 3630   U.cuni 4017   -->wf 5453   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   0cc0 8995   1c1 8996   [,]cicc 10924   Topctop 16963  TopOnctopon 16964   Clsdccld 17085    Cn ccn 17293   Conccon 17479   IIcii 18910  PConcpcon 24911
This theorem is referenced by:  rescon  24938  iinllycon  24946  cvmlift2lem10  25004  cvmlift3  25020
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-cnex 9051  ax-resscn 9052  ax-1cn 9053  ax-icn 9054  ax-addcl 9055  ax-addrcl 9056  ax-mulcl 9057  ax-mulrcl 9058  ax-mulcom 9059  ax-addass 9060  ax-mulass 9061  ax-distr 9062  ax-i2m1 9063  ax-1ne0 9064  ax-1rid 9065  ax-rnegex 9066  ax-rrecex 9067  ax-cnre 9068  ax-pre-lttri 9069  ax-pre-lttrn 9070  ax-pre-ltadd 9071  ax-pre-mulgt0 9072  ax-pre-sup 9073
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-fi 7419  df-sup 7449  df-pnf 9127  df-mnf 9128  df-xr 9129  df-ltxr 9130  df-le 9131  df-sub 9298  df-neg 9299  df-div 9683  df-nn 10006  df-2 10063  df-3 10064  df-n0 10227  df-z 10288  df-uz 10494  df-q 10580  df-rp 10618  df-xneg 10715  df-xadd 10716  df-xmul 10717  df-ioo 10925  df-ico 10927  df-icc 10928  df-seq 11329  df-exp 11388  df-cj 11909  df-re 11910  df-im 11911  df-sqr 12045  df-abs 12046  df-rest 13655  df-topgen 13672  df-psmet 16699  df-xmet 16700  df-met 16701  df-bl 16702  df-mopn 16703  df-top 16968  df-bases 16970  df-topon 16971  df-cld 17088  df-cn 17296  df-con 17480  df-ii 18912  df-pcon 24913
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