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Theorem pcopt 19049
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcopt  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) F )

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
21fveq1i 5731 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( 2  x.  x ) )
3 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F `  0
)  =  Y )
4 iiuni 18913 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
5 eqid 2438 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 17312 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
76adantr 453 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
8 0elunit 11017 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 ffvelrn 5870 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  U. J )
107, 8, 9sylancl 645 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F `  0
)  e.  U. J
)
113, 10eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  Y  e.  U. J )
12 elii1 18962 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
13 iihalf1 18958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1412, 13sylbir 206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 fvconst2g 5947 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  U. J  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( 2  x.  x ) )  =  Y )
1611, 14, 15syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( 2  x.  x ) )  =  Y )
172, 16syl5eq 2482 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( P `  (
2  x.  x ) )  =  Y )
18 simplr 733 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( F `  0
)  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( P `  (
2  x.  x ) )  =  ( F `
 0 ) )
2019ifeq1d 3755 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
2120expr 600 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
22 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
23 iffalse 3748 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F ` 
0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
2422, 23eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
2521, 24pm2.61d1 154 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( P `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2625mpteq2dva 4297 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( P `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 0 ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
27 cntop2 17307 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  Top )
2827adantr 453 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  J  e.  Top )
295toptopon 17000 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3028, 29sylib 190 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
311pcoptcl 19048 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  U. J )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3230, 11, 31syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp1d 970 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  P  e.  ( II  Cn  J ) )
34 simpl 445 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
3533, 34pcoval 19038 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( P `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
36 iffalse 3748 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )
3736adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )
38 elii2 18963 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
39 iihalf2 18960 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4137, 40eqeltrd 2512 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
4241ex 425 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
43 iftrue 3747 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  0 )
4443, 8syl6eqel 2526 . . . . . 6  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4542, 44pm2.61d2 155 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4645adantl 454 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
47 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
497feqmptd 5781 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
50 fveq2 5730 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
51 fvif 5745 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
5250, 51syl6eq 2486 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  -> 
( F `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
5346, 48, 49, 52fmptco 5903 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 0 ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
5426, 35, 533eqtr4d 2480 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F )  =  ( F  o.  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
55 iitopon 18911 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
5756cnmptid 17695 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
588a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5956, 56, 58cnmptc 17696 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
60 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
61 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
62 eqid 2438 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
63 dfii2 18914 . . . . 5  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
64 0re 9093 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
0  e.  RR )
66 1re 9092 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
1  e.  RR )
6866rehalfcli 10218 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
69 halfgt0 10190 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7064, 68, 69ltleii 9198 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
71 halflt1 10191 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7268, 66, 71ltleii 9198 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
7364, 66elicc2i 10978 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
7468, 70, 72, 73mpbir3an 1137 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
76 simprl 734 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
7776oveq2d 6099 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
78 2cn 10072 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
79 2ne0 10085 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
8078, 79recidi 9747 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8177, 80syl6eq 2486 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  1 )
8281oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
83 1m1e0 10070 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8482, 83syl6req 2487 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
0  =  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )
85 retopon 18799 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
86 iccssre 10994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
8764, 68, 86mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
88 resttopon 17227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8985, 87, 88mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
9190, 56, 56, 58cnmpt2c 17704 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
92 iccssre 10994 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
9368, 66, 92mp2an 655 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
94 resttopon 17227 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9585, 93, 94mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9796, 56cnmpt1st 17702 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
9862iihalf2cn 18961 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
9998a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
100 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
101100oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )
10296, 56, 97, 96, 99, 101cnmpt21 17705 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
10360, 61, 62, 63, 65, 67, 75, 56, 84, 91, 102cnmpt2pc 18955 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
104 breq1 4217 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <_  ( 1  /  2 )  <->  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
105 oveq2 6091 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )
106105oveq1d 6098 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
107104, 106ifbieq2d 3761 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y
)  -  1 ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
108107adantr 453 . . . 4  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
10956, 57, 59, 56, 56, 103, 108cnmpt12 17701 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
110 id 21 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
111110, 70syl6eqbr 4251 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
112111, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  0 )
113 c0ex 9087 . . . . 5  |-  0  e.  _V
114112, 47, 113fvmpt 5808 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  0 )
1158, 114mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  0 )
116 1elunit 11018 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
11768, 66ltnlei 9196 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
11871, 117mpbi 201 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
119 breq1 4217 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
120118, 119mtbiri 296 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
121120, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
122 oveq2 6091 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
12378mulid1i 9094 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
124122, 123syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  2 )
125124oveq1d 6098 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
126 2m1e1 10097 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
127125, 126syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  1 )
128121, 127eqtrd 2470 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  1 )
129 1ex 9088 . . . . 5  |-  1  e.  _V
130128, 47, 129fvmpt 5808 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ` 
1 )  =  1 )
131116, 130mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  1 )
13234, 109, 115, 131reparpht 19025 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) ( 
~=ph  `  J ) F )
13354, 132eqbrtrd 4234 1  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726    C_ wss 3322   ifcif 3741   {csn 3816   U.cuni 4017   class class class wbr 4214    e. cmpt 4268    X. cxp 4878   ran crn 4881    o. ccom 4884   -->wf 5452   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    - cmin 9293    / cdiv 9679   2c2 10051   (,)cioo 10918   [,]cicc 10921   ↾t crest 13650   topGenctg 13667   Topctop 16960  TopOnctopon 16961    Cn ccn 17290   IIcii 18907    ~=ph cphtpc 18996   *pcpco 19027
This theorem is referenced by:  pcophtb  19056  pi1grplem  19076  pi1xfr  19082  pi1xfrcnvlem  19083
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-seq 11326  df-exp 11385  df-hash 11621  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-ii 18909  df-htpy 18997  df-phtpy 18998  df-phtpc 19019  df-pco 19032
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