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Theorem pcopt 18912
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Jeff Madsen, 19-Jun-2010.) (Revised by Mario Carneiro, 20-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcopt  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) F )

Proof of Theorem pcopt
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
21fveq1i 5663 . . . . . . . . 9  |-  ( P `
 ( 2  x.  x ) )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( 2  x.  x ) )
3 simpr 448 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F `  0
)  =  Y )
4 iiuni 18776 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
5 eqid 2381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 17226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
76adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
8 0elunit 10941 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
9 ffvelrn 5801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  0  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  0 )  e.  U. J )
107, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F `  0
)  e.  U. J
)
113, 10eqeltrrd 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  Y  e.  U. J )
12 elii1 18825 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
13 iihalf1 18821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1412, 13sylbir 205 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 fvconst2g 5878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Y  e.  U. J  /\  ( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( 2  x.  x ) )  =  Y )
1611, 14, 15syl2an 464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( 2  x.  x ) )  =  Y )
172, 16syl5eq 2425 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( P `  (
2  x.  x ) )  =  Y )
18 simplr 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( F `  0
)  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2416 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  -> 
( P `  (
2  x.  x ) )  =  ( F `
 0 ) )
2019ifeq1d 3690 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  /  2
) ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
2120expr 599 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
22 iffalse 3683 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
23 iffalse 3683 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( F ` 
0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )
2422, 23eqtr4d 2416 . . . . 5  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( P `  ( 2  x.  x
) ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
2521, 24pm2.61d1 153 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( P `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
2625mpteq2dva 4230 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( P `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 0 ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
27 cntop2 17221 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  Top )
2827adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  J  e.  Top )
295toptopon 16915 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
3028, 29sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
311pcoptcl 18911 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  U. J )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3230, 11, 31syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3332simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  P  e.  ( II  Cn  J ) )
34 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
3533, 34pcoval 18901 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( P `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
36 iffalse 3683 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )
3736adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )
38 elii2 18826 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
39 iihalf2 18823 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4038, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4137, 40eqeltrd 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  e.  ( 0 [,] 1
) )
4241ex 424 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
43 iftrue 3682 . . . . . . 7  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  0 )
4443, 8syl6eqel 2469 . . . . . 6  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4542, 44pm2.61d2 154 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4645adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
47 eqid 2381 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
4847a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) )
497feqmptd 5712 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
50 fveq2 5662 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
51 fvif 5677 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  0 ) ,  ( F `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
5250, 51syl6eq 2429 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  -> 
( F `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  0
) ,  ( F `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) )
5346, 48, 49, 52fmptco 5834 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 0 ) ,  ( F `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) )
5426, 35, 533eqtr4d 2423 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F )  =  ( F  o.  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
55 iitopon 18774 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
5655a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
5756cnmptid 17608 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
588a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5956, 56, 58cnmptc 17609 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
60 eqid 2381 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
61 eqid 2381 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
62 eqid 2381 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
63 dfii2 18777 . . . . 5  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
64 0re 9018 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6564a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
0  e.  RR )
66 1re 9017 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6766a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
1  e.  RR )
6866rehalfcli 10142 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
69 halfgt0 10114 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
7064, 68, 69ltleii 9121 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
71 halflt1 10115 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
7268, 66, 71ltleii 9121 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
7364, 66elicc2i 10902 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
7468, 70, 72, 73mpbir3an 1136 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
7574a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
76 simprl 733 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
7776oveq2d 6030 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
78 2cn 9996 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
79 2ne0 10009 . . . . . . . . 9  |-  2  =/=  0
8078, 79recidi 9671 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
8177, 80syl6eq 2429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  1 )
8281oveq1d 6029 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( ( 2  x.  y )  -  1 )  =  ( 1  -  1 ) )
83 1m1e0 9994 . . . . . 6  |-  ( 1  -  1 )  =  0
8482, 83syl6req 2430 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
0 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
0  =  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )
85 retopon 18662 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
86 iccssre 10918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
8764, 68, 86mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
88 resttopon 17141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8985, 87, 88mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
9089a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
9190, 56, 56, 58cnmpt2c 17617 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
92 iccssre 10918 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
9368, 66, 92mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
94 resttopon 17141 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9585, 93, 94mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
9695a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9796, 56cnmpt1st 17615 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) ) ) )
9862iihalf2cn 18824 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  |->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  Cn  II )
9998a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  Cn  II ) )
100 oveq2 6022 . . . . . . 7  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
101100oveq1d 6029 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )
10296, 56, 97, 96, 99, 101cnmpt21 17618 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
10360, 61, 62, 63, 65, 67, 75, 56, 84, 91, 102cnmpt2pc 18818 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y )  -  1 ) ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
104 breq1 4150 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <_  ( 1  /  2 )  <->  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
105 oveq2 6022 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )
106105oveq1d 6029 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( 2  x.  y
)  -  1 )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
107104, 106ifbieq2d 3696 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y
)  -  1 ) )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
108107adantr 452 . . . 4  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  y )  - 
1 ) )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )
10956, 57, 59, 56, 56, 103, 108cnmpt12 17614 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
110 id 20 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
111110, 70syl6eqbr 4184 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
112111, 43syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  0 )
113 c0ex 9012 . . . . 5  |-  0  e.  _V
114112, 47, 113fvmpt 5739 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ` 
0 )  =  0 )
1158, 114mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) `
 0 )  =  0 )
116 1elunit 10942 . . . 4  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
11768, 66ltnlei 9119 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
11871, 117mpbi 200 . . . . . . . 8  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
119 breq1 4150 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
120118, 119mtbiri 295 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
121120, 36syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
122 oveq2 6022 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  1 ) )
12378mulid1i 9019 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
124122, 123syl6eq 2429 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  1  ->  (
2  x.  x )  =  2 )
125124oveq1d 6029 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  ( 2  -  1 ) )
126 2m1e1 10021 . . . . . . 7  |-  ( 2  -  1 )  =  1
127125, 126syl6eq 2429 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  =  1 )
128121, 127eqtrd 2413 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  1 )
129 1ex 9013 . . . . 5  |-  1  e.  _V
130128, 47, 129fvmpt 5739 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) ) ) ` 
1 )  =  1 )
131116, 130mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) `
 1 )  =  1 )
13234, 109, 115, 131reparpht 18888 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  0 ,  ( ( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) ) ( 
~=ph  `  J ) F )
13354, 132eqbrtrd 4167 1  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  0 )  =  Y )  -> 
( P ( *p
`  J ) F ) (  ~=ph  `  J
) F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3257   ifcif 3676   {csn 3751   U.cuni 3951   class class class wbr 4147    e. cmpt 4201    X. cxp 4810   ran crn 4813    o. ccom 4816   -->wf 5384   ` cfv 5388  (class class class)co 6014   RRcr 8916   0cc0 8917   1c1 8918    x. cmul 8922    < clt 9047    <_ cle 9048    - cmin 9217    / cdiv 9603   2c2 9975   (,)cioo 10842   [,]cicc 10845   ↾t crest 13569   topGenctg 13586   Topctop 16875  TopOnctopon 16876    Cn ccn 17204   IIcii 18770    ~=ph cphtpc 18859   *pcpco 18890
This theorem is referenced by:  pcophtb  18919  pi1grplem  18939  pi1xfr  18945  pi1xfrcnvlem  18946
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2362  ax-rep 4255  ax-sep 4265  ax-nul 4273  ax-pow 4312  ax-pr 4338  ax-un 4635  ax-inf2 7523  ax-cnex 8973  ax-resscn 8974  ax-1cn 8975  ax-icn 8976  ax-addcl 8977  ax-addrcl 8978  ax-mulcl 8979  ax-mulrcl 8980  ax-mulcom 8981  ax-addass 8982  ax-mulass 8983  ax-distr 8984  ax-i2m1 8985  ax-1ne0 8986  ax-1rid 8987  ax-rnegex 8988  ax-rrecex 8989  ax-cnre 8990  ax-pre-lttri 8991  ax-pre-lttrn 8992  ax-pre-ltadd 8993  ax-pre-mulgt0 8994  ax-pre-sup 8995  ax-addf 8996  ax-mulf 8997
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2506  df-ne 2546  df-nel 2547  df-ral 2648  df-rex 2649  df-reu 2650  df-rmo 2651  df-rab 2652  df-v 2895  df-sbc 3099  df-csb 3189  df-dif 3260  df-un 3262  df-in 3264  df-ss 3271  df-pss 3273  df-nul 3566  df-if 3677  df-pw 3738  df-sn 3757  df-pr 3758  df-tp 3759  df-op 3760  df-uni 3952  df-int 3987  df-iun 4031  df-iin 4032  df-br 4148  df-opab 4202  df-mpt 4203  df-tr 4238  df-eprel 4429  df-id 4433  df-po 4438  df-so 4439  df-fr 4476  df-se 4477  df-we 4478  df-ord 4519  df-on 4520  df-lim 4521  df-suc 4522  df-om 4780  df-xp 4818  df-rel 4819  df-cnv 4820  df-co 4821  df-dm 4822  df-rn 4823  df-res 4824  df-ima 4825  df-iota 5352  df-fun 5390  df-fn 5391  df-f 5392  df-f1 5393  df-fo 5394  df-f1o 5395  df-fv 5396  df-isom 5397  df-ov 6017  df-oprab 6018  df-mpt2 6019  df-of 6238  df-1st 6282  df-2nd 6283  df-riota 6479  df-recs 6563  df-rdg 6598  df-1o 6654  df-2o 6655  df-oadd 6658  df-er 6835  df-map 6950  df-ixp 6994  df-en 7040  df-dom 7041  df-sdom 7042  df-fin 7043  df-fi 7345  df-sup 7375  df-oi 7406  df-card 7753  df-cda 7975  df-pnf 9049  df-mnf 9050  df-xr 9051  df-ltxr 9052  df-le 9053  df-sub 9219  df-neg 9220  df-div 9604  df-nn 9927  df-2 9984  df-3 9985  df-4 9986  df-5 9987  df-6 9988  df-7 9989  df-8 9990  df-9 9991  df-10 9992  df-n0 10148  df-z 10209  df-dec 10309  df-uz 10415  df-q 10501  df-rp 10539  df-xneg 10636  df-xadd 10637  df-xmul 10638  df-ioo 10846  df-icc 10849  df-fz 10970  df-fzo 11060  df-seq 11245  df-exp 11304  df-hash 11540  df-cj 11825  df-re 11826  df-im 11827  df-sqr 11961  df-abs 11962  df-struct 13392  df-ndx 13393  df-slot 13394  df-base 13395  df-sets 13396  df-ress 13397  df-plusg 13463  df-mulr 13464  df-starv 13465  df-sca 13466  df-vsca 13467  df-tset 13469  df-ple 13470  df-ds 13472  df-unif 13473  df-hom 13474  df-cco 13475  df-rest 13571  df-topn 13572  df-topgen 13588  df-pt 13589  df-prds 13592  df-xrs 13647  df-0g 13648  df-gsum 13649  df-qtop 13654  df-imas 13655  df-xps 13657  df-mre 13732  df-mrc 13733  df-acs 13735  df-mnd 14611  df-submnd 14660  df-mulg 14736  df-cntz 15037  df-cmn 15335  df-xmet 16613  df-met 16614  df-bl 16615  df-mopn 16616  df-cnfld 16621  df-top 16880  df-bases 16882  df-topon 16883  df-topsp 16884  df-cld 17000  df-cn 17207  df-cnp 17208  df-tx 17509  df-hmeo 17702  df-xms 18253  df-ms 18254  df-tms 18255  df-ii 18772  df-htpy 18860  df-phtpy 18861  df-phtpc 18882  df-pco 18895
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