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Theorem pcopt2 18537
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcopt2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) F )

Proof of Theorem pcopt2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
21fveq1i 5542 . . . . . . . 8  |-  ( P `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
3 simpr 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F `  1
)  =  Y )
4 iiuni 18401 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
5 eqid 2296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 16992 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
76adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
8 1elunit 10771 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
9 ffvelrn 5679 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  U. J )
107, 8, 9sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F `  1
)  e.  U. J
)
113, 10eqeltrrd 2371 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  Y  e.  U. J )
12 elii2 18450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
13 iihalf2 18447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1412, 13syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 fvconst2g 5743 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  U. J  /\  ( ( 2  x.  x )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  Y )
1611, 14, 15syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  Y )
172, 16syl5eq 2340 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  Y )
18 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( F ` 
1 )  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2331 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( F `  1 ) )
2019anassrs 629 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F `  1 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( P `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( F `
 1 ) )
2120ifeq2da 3604 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( P `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( F ` 
1 ) ) )
2221mpteq2dva 4122 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( P `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  1
) ) ) )
23 simpl 443 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
24 cntop2 16987 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  Top )
2524adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  J  e.  Top )
265toptopon 16687 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2725, 26sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
281pcoptcl 18535 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  U. J )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
2927, 11, 28syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp1d 967 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  P  e.  ( II  Cn  J ) )
3123, 30pcoval 18525 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( P `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
32 iftrue 3584 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
3332adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
34 elii1 18449 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
35 iihalf1 18445 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3634, 35sylbir 204 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3733, 36eqeltrd 2370 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3837ex 423 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
39 iffalse 3585 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  =  1 )
4039, 8syl6eqel 2384 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4138, 40pm2.61d1 151 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4241adantl 452 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
43 eqidd 2297 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) )
447feqmptd 5591 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
45 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) )
46 fvif 5556 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( F ` 
1 ) )
4745, 46syl6eq 2344 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  -> 
( F `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 1 ) ) )
4842, 43, 44, 47fmptco 5707 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  1
) ) ) )
4922, 31, 483eqtr4d 2338 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P )  =  ( F  o.  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ) )
50 iitopon 18399 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
5150a1i 10 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
5251cnmptid 17371 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
53 0elunit 10770 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
5453a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5551, 51, 54cnmptc 17372 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
56 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
57 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
58 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
59 dfii2 18402 . . . . 5  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
60 0re 8854 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6160a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
0  e.  RR )
62 1re 8853 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6362a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
1  e.  RR )
64 rehalfcl 9954 . . . . . . . 8  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
6562, 64ax-mp 8 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
66 halfgt0 9948 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
6760, 65, 66ltleii 8957 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
68 halflt1 9949 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
6965, 62, 68ltleii 8957 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
7060, 62elicc2i 10732 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
7165, 67, 69, 70mpbir3an 1134 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
7271a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
73 simprl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
7473oveq2d 5890 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
75 2cn 9832 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
76 2ne0 9845 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
7775, 76recidi 9507 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
7874, 77syl6eq 2344 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  1 )
79 retopon 18288 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
80 iccssre 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
8160, 65, 80mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
82 resttopon 16908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8379, 81, 82mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
8483a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8584, 51cnmpt1st 17378 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
8657iihalf1cn 18446 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
8786a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
88 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
8984, 51, 85, 84, 87, 88cnmpt21 17381 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  y
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
90 iccssre 10747 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
9165, 62, 90mp2an 653 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
92 resttopon 16908 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9379, 91, 92mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
9493a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
958a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9694, 51, 51, 95cnmpt2c 17380 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
9756, 57, 58, 59, 61, 63, 72, 51, 78, 89, 96cnmpt2pc 18442 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  y ) ,  1 ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
98 breq1 4042 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <_  ( 1  /  2 )  <->  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
99 oveq2 5882 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )
100 eqidd 2297 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  1  =  1 )
10198, 99, 100ifbieq12d 3600 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  1 )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 ) )
102101adantr 451 . . . 4  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  1 )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )
10351, 52, 55, 51, 51, 97, 102cnmpt12 17377 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
104 id 19 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
105104, 67syl6eqbr 4076 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
106105, 32syl 15 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
107 oveq2 5882 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
10875mul01i 9018 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
109107, 108syl6eq 2344 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
110106, 109eqtrd 2328 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  0 )
111 eqid 2296 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 ) )
112 c0ex 8848 . . . . 5  |-  0  e.  _V
113110, 111, 112fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ` 
0 )  =  0 )
11453, 113mp1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) `
 0 )  =  0 )
11565, 62ltnlei 8955 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
11668, 115mpbi 199 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
117 breq1 4042 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
118116, 117mtbiri 294 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
119118, 39syl 15 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  1 )
120 1ex 8849 . . . . 5  |-  1  e.  _V
121119, 111, 120fvmpt 5618 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ` 
1 )  =  1 )
1228, 121mp1i 11 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) `
 1 )  =  1 )
12323, 103, 114, 122reparpht 18512 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ) ( 
~=ph  `  J ) F )
12449, 123eqbrtrd 4059 1  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    C_ wss 3165   ifcif 3578   {csn 3653   U.cuni 3843   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093    X. cxp 4703   ran crn 4706    o. ccom 4709   -->wf 5267   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   2c2 9811   (,)cioo 10672   [,]cicc 10675   ↾t crest 13341   topGenctg 13358   Topctop 16647  TopOnctopon 16648    Cn ccn 16970   IIcii 18395    ~=ph cphtpc 18483   *pcpco 18514
This theorem is referenced by:  pcophtb  18543  pi1xfrcnvlem  18570
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-seq 11063  df-exp 11121  df-hash 11354  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-ii 18397  df-htpy 18484  df-phtpy 18485  df-phtpc 18506  df-pco 18519
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