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Theorem pcopt2 18921
Description: Concatenation with a point does not affect homotopy class. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Feb-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
pcopt.1  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
Assertion
Ref Expression
pcopt2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) F )

Proof of Theorem pcopt2
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 pcopt.1 . . . . . . . . 9  |-  P  =  ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y } )
21fveq1i 5671 . . . . . . . 8  |-  ( P `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )  =  ( ( ( 0 [,] 1 )  X. 
{ Y } ) `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) )
3 simpr 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F `  1
)  =  Y )
4 iiuni 18784 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 0 [,] 1 )  = 
U. II
5 eqid 2389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  U. J  =  U. J
64, 5cnf 17234 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
76adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J
)
8 1elunit 10950 . . . . . . . . . . 11  |-  1  e.  ( 0 [,] 1
)
9 ffvelrn 5809 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( F : ( 0 [,] 1 ) --> U. J  /\  1  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  ( F `  1 )  e.  U. J )
107, 8, 9sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F `  1
)  e.  U. J
)
113, 10eqeltrrd 2464 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  Y  e.  U. J )
12 elii2 18834 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  x  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) )
13 iihalf2 18831 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  ->  (
( 2  x.  x
)  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1412, 13syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  /  2 ) )  ->  ( ( 2  x.  x )  - 
1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
15 fvconst2g 5886 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Y  e.  U. J  /\  ( ( 2  x.  x )  -  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  Y )
1611, 14, 15syl2an 464 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( ( ( 0 [,] 1 )  X.  { Y }
) `  ( (
2  x.  x )  -  1 ) )  =  Y )
172, 16syl5eq 2433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  Y )
18 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( F ` 
1 )  =  Y )
1917, 18eqtr4d 2424 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) ) )  ->  ( P `  ( ( 2  x.  x )  -  1 ) )  =  ( F `  1 ) )
2019anassrs 630 . . . . 5  |-  ( ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J
)  /\  ( F `  1 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  /\  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( P `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) )  =  ( F `
 1 ) )
2120ifeq2da 3710 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( P `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( F ` 
1 ) ) )
2221mpteq2dva 4238 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( P `  (
( 2  x.  x
)  -  1 ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  1
) ) ) )
23 simpl 444 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  F  e.  ( II  Cn  J ) )
24 cntop2 17229 . . . . . . . 8  |-  ( F  e.  ( II  Cn  J )  ->  J  e.  Top )
2524adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  J  e.  Top )
265toptopon 16923 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  Top  <->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
2725, 26sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  J  e.  (TopOn `  U. J ) )
281pcoptcl 18919 . . . . . 6  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  U. J )  /\  Y  e.  U. J )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
2927, 11, 28syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( P  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( P ` 
0 )  =  Y  /\  ( P ` 
1 )  =  Y ) )
3029simp1d 969 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  P  e.  ( II  Cn  J ) )
3123, 30pcoval 18909 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( P `
 ( ( 2  x.  x )  - 
1 ) ) ) ) )
32 iftrue 3690 . . . . . . . . 9  |-  ( x  <_  ( 1  / 
2 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
3332adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
34 elii1 18833 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  <->  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  /\  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
35 iihalf1 18829 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  ->  (
2  x.  x )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3634, 35sylbir 205 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  -> 
( 2  x.  x
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3733, 36eqeltrd 2463 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  /\  x  <_  ( 1  / 
2 ) )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
3837ex 424 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) ) )
39 iffalse 3691 . . . . . . 7  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  =  1 )
4039, 8syl6eqel 2477 . . . . . 6  |-  ( -.  x  <_  ( 1  /  2 )  ->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4138, 40pm2.61d1 153 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
4241adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  x  e.  ( 0 [,] 1
) )  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  e.  ( 0 [,] 1 ) )
43 eqidd 2390 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) )
447feqmptd 5720 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  F  =  ( y  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  ( F `  y ) ) )
45 fveq2 5670 . . . . 5  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  -> 
( F `  y
)  =  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) )
46 fvif 5685 . . . . 5  |-  ( F `
 if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( F `  ( 2  x.  x ) ) ,  ( F ` 
1 ) )
4745, 46syl6eq 2437 . . . 4  |-  ( y  =  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 )  -> 
( F `  y
)  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( F `  (
2  x.  x ) ) ,  ( F `
 1 ) ) )
4842, 43, 44, 47fmptco 5842 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( F `
 ( 2  x.  x ) ) ,  ( F `  1
) ) ) )
4922, 31, 483eqtr4d 2431 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P )  =  ( F  o.  ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ) )
50 iitopon 18782 . . . . 5  |-  II  e.  (TopOn `  ( 0 [,] 1 ) )
5150a1i 11 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  ->  II  e.  (TopOn `  (
0 [,] 1 ) ) )
5251cnmptid 17616 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  x )  e.  ( II  Cn  II ) )
53 0elunit 10949 . . . . . 6  |-  0  e.  ( 0 [,] 1
)
5453a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
0  e.  ( 0 [,] 1 ) )
5551, 51, 54cnmptc 17617 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  0 )  e.  ( II  Cn  II ) )
56 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  =  (
topGen `  ran  (,) )
57 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )
58 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  =  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )
59 dfii2 18785 . . . . 5  |-  II  =  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] 1
) )
60 0re 9026 . . . . . 6  |-  0  e.  RR
6160a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
0  e.  RR )
62 1re 9025 . . . . . 6  |-  1  e.  RR
6362a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
1  e.  RR )
6462rehalfcli 10150 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
65 halfgt0 10122 . . . . . . . 8  |-  0  <  ( 1  /  2
)
6660, 64, 65ltleii 9129 . . . . . . 7  |-  0  <_  ( 1  /  2
)
67 halflt1 10123 . . . . . . . 8  |-  ( 1  /  2 )  <  1
6864, 62, 67ltleii 9129 . . . . . . 7  |-  ( 1  /  2 )  <_ 
1
6960, 62elicc2i 10910 . . . . . . 7  |-  ( ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( (
1  /  2 )  e.  RR  /\  0  <_  ( 1  /  2
)  /\  ( 1  /  2 )  <_ 
1 ) )
7064, 66, 68, 69mpbir3an 1136 . . . . . 6  |-  ( 1  /  2 )  e.  ( 0 [,] 1
)
7170a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( 1  /  2
)  e.  ( 0 [,] 1 ) )
72 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
y  =  ( 1  /  2 ) )
7372oveq2d 6038 . . . . . 6  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) ) )
74 2cn 10004 . . . . . . 7  |-  2  e.  CC
75 2ne0 10017 . . . . . . 7  |-  2  =/=  0
7674, 75recidi 9679 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  ( 1  / 
2 ) )  =  1
7773, 76syl6eq 2437 . . . . 5  |-  ( ( ( F  e.  ( II  Cn  J )  /\  ( F ` 
1 )  =  Y )  /\  ( y  =  ( 1  / 
2 )  /\  z  e.  ( 0 [,] 1
) ) )  -> 
( 2  x.  y
)  =  1 )
78 retopon 18670 . . . . . . . 8  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )
79 iccssre 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( 0  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  C_  RR )
8060, 64, 79mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( 0 [,] ( 1  / 
2 ) )  C_  RR
81 resttopon 17149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( 0 [,] (
1  /  2 ) )  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8278, 80, 81mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )
8382a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  e.  (TopOn `  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) ) )
8483, 51cnmpt1st 17623 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  y )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  (
( topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) ) ) )
8557iihalf1cn 18830 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2
) )  |->  ( 2  x.  x ) )  e.  ( ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
0 [,] ( 1  /  2 ) ) )  Cn  II )
8685a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) 
|->  ( 2  x.  x
) )  e.  ( ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( 0 [,] (
1  /  2 ) ) )  Cn  II ) )
87 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  y ) )
8883, 51, 84, 83, 86, 87cnmpt21 17626 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] ( 1  /  2 ) ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  ( 2  x.  y
) )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( 0 [,] ( 1  /  2
) ) )  tX  II )  Cn  II ) )
89 iccssre 10926 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )
9064, 62, 89mp2an 654 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 )  C_  RR
91 resttopon 17149 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( topGen `  ran  (,) )  e.  (TopOn `  RR )  /\  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
)  C_  RR )  ->  ( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
9278, 90, 91mp2an 654 . . . . . . 7  |-  ( (
topGen `  ran  (,) )t  (
( 1  /  2
) [,] 1 ) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )
9392a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( topGen `  ran  (,) )t  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) )  e.  (TopOn `  ( ( 1  / 
2 ) [,] 1
) ) )
948a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
1  e.  ( 0 [,] 1 ) )
9593, 51, 51, 94cnmpt2c 17625 . . . . 5  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( ( 1  /  2
) [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  1 )  e.  ( ( ( ( topGen ` 
ran  (,) )t  ( ( 1  /  2 ) [,] 1 ) )  tX  II )  Cn  II ) )
9656, 57, 58, 59, 61, 63, 71, 51, 77, 88, 95cnmpt2pc 18826 . . . 4  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( y  e.  ( 0 [,] 1 ) ,  z  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( y  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  y ) ,  1 ) )  e.  ( ( II  tX  II )  Cn  II ) )
97 breq1 4158 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
y  <_  ( 1  /  2 )  <->  x  <_  ( 1  /  2 ) ) )
98 oveq2 6030 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
2  x.  y )  =  ( 2  x.  x ) )
99 eqidd 2390 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  1  =  1 )
10097, 98, 99ifbieq12d 3706 . . . . 5  |-  ( y  =  x  ->  if ( y  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  1 )  =  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 ) )
101100adantr 452 . . . 4  |-  ( ( y  =  x  /\  z  =  0 )  ->  if ( y  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  y ) ,  1 )  =  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )
10251, 52, 55, 51, 51, 96, 101cnmpt12 17622 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) )  e.  ( II  Cn  II ) )
103 id 20 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  0  ->  x  =  0 )
104103, 66syl6eqbr 4192 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  x  <_  ( 1  /  2
) )
105104, 32syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  ( 2  x.  x ) )
106 oveq2 6030 . . . . . . 7  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  ( 2  x.  0 ) )
10774mul01i 9190 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  0 )  =  0
108106, 107syl6eq 2437 . . . . . 6  |-  ( x  =  0  ->  (
2  x.  x )  =  0 )
109105, 108eqtrd 2421 . . . . 5  |-  ( x  =  0  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  0 )
110 eqid 2389 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 ) )  =  ( x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 ) )
111 c0ex 9020 . . . . 5  |-  0  e.  _V
112109, 110, 111fvmpt 5747 . . . 4  |-  ( 0  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ` 
0 )  =  0 )
11353, 112mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) `
 0 )  =  0 )
11464, 62ltnlei 9127 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1  /  2 )  <  1  <->  -.  1  <_  ( 1  /  2
) )
11567, 114mpbi 200 . . . . . . 7  |-  -.  1  <_  ( 1  /  2
)
116 breq1 4158 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1  ->  (
x  <_  ( 1  /  2 )  <->  1  <_  ( 1  /  2 ) ) )
117115, 116mtbiri 295 . . . . . 6  |-  ( x  =  1  ->  -.  x  <_  ( 1  / 
2 ) )
118117, 39syl 16 . . . . 5  |-  ( x  =  1  ->  if ( x  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x
) ,  1 )  =  1 )
119 1ex 9021 . . . . 5  |-  1  e.  _V
120118, 110, 119fvmpt 5747 . . . 4  |-  ( 1  e.  ( 0 [,] 1 )  ->  (
( x  e.  ( 0 [,] 1 ) 
|->  if ( x  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ` 
1 )  =  1 )
1218, 120mp1i 12 . . 3  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( ( x  e.  ( 0 [,] 1
)  |->  if ( x  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) `
 1 )  =  1 )
12223, 102, 113, 121reparpht 18896 . 2  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F  o.  (
x  e.  ( 0 [,] 1 )  |->  if ( x  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 2  x.  x ) ,  1 ) ) ) ( 
~=ph  `  J ) F )
12349, 122eqbrtrd 4175 1  |-  ( ( F  e.  ( II 
Cn  J )  /\  ( F `  1 )  =  Y )  -> 
( F ( *p
`  J ) P ) (  ~=ph  `  J
) F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3265   ifcif 3684   {csn 3759   U.cuni 3959   class class class wbr 4155    e. cmpt 4209    X. cxp 4818   ran crn 4821    o. ccom 4824   -->wf 5392   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   RRcr 8924   0cc0 8925   1c1 8926    x. cmul 8930    < clt 9055    <_ cle 9056    - cmin 9225    / cdiv 9611   2c2 9983   (,)cioo 10850   [,]cicc 10853   ↾t crest 13577   topGenctg 13594   Topctop 16883  TopOnctopon 16884    Cn ccn 17212   IIcii 18778    ~=ph cphtpc 18867   *pcpco 18898
This theorem is referenced by:  pcophtb  18927  pi1xfrcnvlem  18954
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643  ax-inf2 7531  ax-cnex 8981  ax-resscn 8982  ax-1cn 8983  ax-icn 8984  ax-addcl 8985  ax-addrcl 8986  ax-mulcl 8987  ax-mulrcl 8988  ax-mulcom 8989  ax-addass 8990  ax-mulass 8991  ax-distr 8992  ax-i2m1 8993  ax-1ne0 8994  ax-1rid 8995  ax-rnegex 8996  ax-rrecex 8997  ax-cnre 8998  ax-pre-lttri 8999  ax-pre-lttrn 9000  ax-pre-ltadd 9001  ax-pre-mulgt0 9002  ax-pre-sup 9003  ax-addf 9004  ax-mulf 9005
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-pss 3281  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-tp 3767  df-op 3768  df-uni 3960  df-int 3995  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-tr 4246  df-eprel 4437  df-id 4441  df-po 4446  df-so 4447  df-fr 4484  df-se 4485  df-we 4486  df-ord 4527  df-on 4528  df-lim 4529  df-suc 4530  df-om 4788  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-isom 5405  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-of 6246  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-riota 6487  df-recs 6571  df-rdg 6606  df-1o 6662  df-2o 6663  df-oadd 6666  df-er 6843  df-map 6958  df-ixp 7002  df-en 7048  df-dom 7049  df-sdom 7050  df-fin 7051  df-fi 7353  df-sup 7383  df-oi 7414  df-card 7761  df-cda 7983  df-pnf 9057  df-mnf 9058  df-xr 9059  df-ltxr 9060  df-le 9061  df-sub 9227  df-neg 9228  df-div 9612  df-nn 9935  df-2 9992  df-3 9993  df-4 9994  df-5 9995  df-6 9996  df-7 9997  df-8 9998  df-9 9999  df-10 10000  df-n0 10156  df-z 10217  df-dec 10317  df-uz 10423  df-q 10509  df-rp 10547  df-xneg 10644  df-xadd 10645  df-xmul 10646  df-ioo 10854  df-icc 10857  df-fz 10978  df-fzo 11068  df-seq 11253  df-exp 11312  df-hash 11548  df-cj 11833  df-re 11834  df-im 11835  df-sqr 11969  df-abs 11970  df-struct 13400  df-ndx 13401  df-slot 13402  df-base 13403  df-sets 13404  df-ress 13405  df-plusg 13471  df-mulr 13472  df-starv 13473  df-sca 13474  df-vsca 13475  df-tset 13477  df-ple 13478  df-ds 13480  df-unif 13481  df-hom 13482  df-cco 13483  df-rest 13579  df-topn 13580  df-topgen 13596  df-pt 13597  df-prds 13600  df-xrs 13655  df-0g 13656  df-gsum 13657  df-qtop 13662  df-imas 13663  df-xps 13665  df-mre 13740  df-mrc 13741  df-acs 13743  df-mnd 14619  df-submnd 14668  df-mulg 14744  df-cntz 15045  df-cmn 15343  df-xmet 16621  df-met 16622  df-bl 16623  df-mopn 16624  df-cnfld 16629  df-top 16888  df-bases 16890  df-topon 16891  df-topsp 16892  df-cld 17008  df-cn 17215  df-cnp 17216  df-tx 17517  df-hmeo 17710  df-xms 18261  df-ms 18262  df-tms 18263  df-ii 18780  df-htpy 18868  df-phtpy 18869  df-phtpc 18890  df-pco 18903
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